《直线平面简单几何体》练习题.

9.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是( )
《直线、平面、简单几何体》练习题
(C )厂+ s = 2-d
(D)广=f-2
■ r r
■ r ■
(A) a 十b-c (B)b-a-c
13，所有棱长之和为 20,则这个长方体的一条对角线长是(
旧 (C ) 5 CD) 6
PA 丄平面ABCD ，连结AC 、BD 、PB 、PC 、PD ,则下列各组向量中,
(A) PC 与 BD (B)DA 与PE
(C)PD 与 AB (D)PA 与 CD
8.下列命题中，正确的是( )
(A)首尾相连的四条线段共面 (C)三条两两相交的直线共面 三条互相平行的直线共面
若四点中有三点共线，则这四个点共面
一.选择题
1.正20面体有r 个顶点、
S 条边，t 个面，则(
)
2
在空间四迫形ABCD 中，设晶1=7, I D
=了， =T P 则才=()
3.已知直线丨丄平面 ①a// 3I 0丨丄m 其中正确的命题是( (A)①与②
(B
) ，直线 ② ) ③与④
(C)②与④
4.如图，△ (A) 2 对 (C) 4 对
有下列四个命题： ③丨// m —1 a 丄3
(D)①与③
ABC 在平面a 内，P 毛a ，则图中异面直线的对数是( (B) 3 对 (D) 5 对
④丨丄m n MB
5.已知异面直线 的直线有且仅有( (A) 1 条 (
a 、
)
(B) 2 b 所成的角为50° P 为空间一定点，则过
P 且与 a 、b 所成的角都是 30°
(C) 3 条 (D) 4 条
(C) a-b-C
■ r r
(D )b —a 十
6.长方体的全面积为
7.已知矩形ABCD ， 数量积不恒为零的是
(B) (D)
(A) 2 万cm (B) 2 质cm (C) 2 后cm (D) 6 cm
11.长方体ABCD-A 1B1C1D1 中，若AB=5 , AD=4 ,
=3
丄，且此长方体内接于球O,则
球O的表面积为
(B) 25血打(D) 200理
IP rp
坛如圖正四面体AK沖E在心F在O）上且訂沪15）,跖
J f佻）=8 1十P _其中LX ^为EF与AC所的角，P）泊灰与2^所戚的角，则（）
S
(A) f(l)
(B) f(l)
(C) f(l)
(D) f(l) 在（0,
在（0,
在（0,
在（0,
+X）上是增函数
+X）上是减函数
1）上是增函数，在（1, +X）上是减函数
+X）上为常数
二.填空题
13.四边形ABCD是矩形，AB = 2, BC = 1, PC丄平面AC , PC=2,则点P到直线BD
离为
的距
14.若AC、BD分别是夹在两个平行平面a、 B间的两条线段，且AC = 13 , BD = 15,
BD在平面B上的射影长的和是14,则a B间的距离为_______________
AC、
15.已知正三棱柱ABC —A1B1C1的底面边长为6，高为4，则异面直线A1B与B1C所成的角的余弦值是.
16.在直四棱柱ABCD —A B' C'中，当底面四边形ABCD满足条件（写岀符合题意的一个条件）. 时，有A'C丄B' D'
（A）有一条侧棱与底面垂直
（C）有一个侧面与底面的一条边垂直（B）有一条侧棱与底面的两边垂直（D）有两个相邻的侧面是矩形
10.正方形ABCD的边长为6 cm,点E在AD上，且AE」AD，点F在BC上，且BF =
3BC,把正方形沿对角线BD折成直二面角A —BD —C后，则EF =（）
3
卫
三、解答题
17 .如图，在棱长为2的正方体ABCD —A I B I C I D I中, E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标
系.
(1)写岀A、B1、E、D1的坐标；
⑵求AB 1与D1E所成的角的余弦值.
19 .一只小船以10 ms的速度，由南向北等速驶过湖面，在离湖面汽车由西
向东以20 ms的速度等速前进，如图所示，现在小船在水面桥上B点以西30 m
处，求小船与汽车间的最短距离(可以不考虑汽车和小船本身的大小，线段AB分
别垂直于小船和汽车的路线).
18 .已知矩形ABCD所在平面外一点P，
AB、PC的中点.
⑴
⑵
⑶
求证：EF //平面PAD ;
求证：EF丄CD ;
若/ PDA = 45° 求EF与平面ABCD
PA丄平面ABCD , E、F分别是
所成的角的大小.
20 m高处的桥上，一辆
A点以南40 m处，汽车在
D
D
20.已知四边形ABCD是矩形, 尸匹丄平面A BCD , N是PB中点，M是AD中点，二面角P-BC-D大小是4亍.求证:
⑴MN //平面PCD ;
⑵MN丄BC ;
丄平面PBC
⑶平面MNB
四、附加题
21 .设棱锥M —ABCD的底面是正方形，且MA = MD , MA丄AB，如图，△ AMD的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
参考答案： 一、 选择题
二、填空题
三、解答题
1. A
2. B
3. D
4. B
5. B
6. A
7. A
8. D 9. B 10. A 11. C 12. D
14. 12
16.如： ① 对角线
AC 丄 BD ;
ABCD 为菱形; ③四边形 ABCD 为正方形；④ AB = BC 且AD = CD
17 解=⑴ A (2, 2
"B I (2,
% 2）,卫（0, 1, 0）, D 】（0,爲 2） ⑵■/ AB1 =(0,
二I 貳1 = 2晶
EDi = Co,
「一- —r _
AB1 • ED1
…cos {AB1S ED1} ------------------------------------
I A 57| ■ |S7| 阳占EE 所成的角的余弦值
遵.
ED 严 0— 2+4=2
________ —扳
18 •证法一：如图，建立空间直角坐标系 A — xyz , 设 AB = 2a , BC = 2b , PA = 2c ,则： A(0, 0, 0) , B(2a, 0, 0) , C(2a, 2b, 0), D(0, 2b, 0) , P(0, 0, 2c)
••• E 为AB 的中点，F 为PC 的中点 ••• E(a, 0, 0), F(a, b, c) (1) •「胡=(0, b, C ),
= (0, 0, 2c)，矗口 = (0, 2b, 0)
EP 与曲、AD 共面
E 星平面PAD ••• E
F // 平面 PAD .
(2) ••• CD = (-2a, 0, 0)
••• CD 丽=(-2a, 0, 0) (0；b, c) = 0 ••• CD 丄 EF . (3)若/ PDA = 45° 则有 2b = 2c ,即卩 b = c ,
• E? = (0, b, b)，丽=(0, 0, 2b)
•••価，血=45
••• AP 丄平面AC ,.••血P 是平面AC 的法向量 ••• EF 与平面AC 所成的角为：90° —《丽，忑＞ =
EF II 平面 PAD .
在矩形 ABCD 中，••• EO II BC , BC 丄 CD EO 丄 CD
•/ FO II PA , PA 丄平面 AC FO 丄平面AC EO 为EF 在平面AC CD 丄 EF .
FO = EO
•/ FO 丄平面AC △ FOE 是直角三角形 / FEO = 45° .
若/ PDA = 45° 则 PA = AD = BC EO 理兀C , FO 幻 PA
co
2b _ _____ __________ 也
S 《丽，忑律曲压=2 证法二：连 AC ，设AC 中点为 O ,连OF 、OE (1)在^ PAC 中，••• • FO II PA ................ F 、O 分别为PC 、AC 的中点 在^ ABC 中，••• E 、
••• EO II BC O 分别为AB 、AC 的中点
又 •/ BC II AD ••• EO II AD
综合①、②可知：平面
••• E F I 匚平面EFo
②
EFO // 平面
PAD
内的射影
5
ME i-EF +MF
设 AD = EF = a ，..' S A MEF = 1
19 .解：如图，设经过时间 t (S )汽车在C 点，船在D 点，则:
CB = 130 — 20 t|，AB = |40— 10 t|，AB = 20. •/ CB 丄 DA ，CB 丄 AB ，AB 丄 DA ，
CD +瓯+ X5
帀| 2=両+臥+呈)2=臣| 2+ |臥2+丽|2
=(30 — 20 t)2+ 20 2+ (40 — 10 t)2 = 100[5(t — 2)2+ 9]
•当t = 2时，CD 取最小值30 ( m ).
答：小船与汽车间的最短距离是 30m .
20.证明：⑴取 PC 中点 E ，连NE , DE. ••• M 、N 是AD 、PB 中点，ABCD 是矩形 NE II DM II BC 且 NE=DM= 3 BC
•••四边形MNED 是平行四边形 MN//DE •/ MN 面 PCD ，DE 匚面 PCD ••• MN //平面 PCD (2)T PD 丄面 ABCD
PD 丄 BC
•/ ABCD 是矩形••• DC 丄 BC ••• PD CDC = D BC 丄面 PDC ••• DEU 面 PDC ••• BC 丄 DE •/ DE//MN MN
丄BC
⑶••• BC 丄面 PDC :丄 PCD 是二面角 P-BC-D 的平面角，/ PCD=450 •••/ PDC 是等腰直角三角形 ••• DE 丄 PC
••• DE//MN ••• MN 丄 PC ••• MN 丄 BC ，BCC PC=C
■/ MN u 面 MNB •••平面 ••• MN 丄面 PBC MNB 丄平面PBC 21 .解：如图，••• AB 丄 AD ，AB 丄 MA
••• AB 丄平面MAD
设E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则 • EF 丄平面MAD EF II AB
••• EF 丄 ME
设球 O 是与平面 MAD 、平面 ABCD 由对称性可设 O 为^ MEF 的内心，则球
、平面MBC 都相切的球, O 的半径r 满足：r =
閱
C
2
且当a = &，即 a-^ 时，上式等号成立 •••当AD = ME = VI 时，与平面 MAD 、平面ABCD 、平面MBC 都相切的球的最大半径为
再作 0G 丄ME 于G ,过G 作GH 丄MA 于H ，易证 0G //平面 MAB ••• G 到平面 MAB 的距离就是球心 0到平面
GH fJLG
•/ △ MGH sA MAE ，•血巨-MA ，
曲G ，AE H G - MA
•点0到平面MAB 同样，点 0到平面MCD 的距离大于球 0的半径
•••球0在棱锥M — ABCD 中，且不可能再大，因而所求的最大球的半径为
• ME - a ，MF -
MAB 的距离
其中 MG - VI -少-1) - 1，AE - 3
的距离大于球 0的半径。