试卷4答案

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玉溪师范学院2005—2006学年下学期期末试卷答案及评分标准

《初等几何研究》试卷4

一、填空题（本大题共8题，每空2分，共20分）

1、 归谬法；

2、锐； 3

、； 4、三角形奠基法，基础三角形； 5、CD BE <；

6

、

7

； 7、阿氏圆，AB 的中垂线； 8、222

5610

a a a =+。 二、计算题（本大题共2题，每小题8分，共16分）

1、解： BD AB ⊥ ∴在Rt DBA ?中，有22222248640AD DB AB =+=+=----3分

又

CA ⊥棱AB ，平面α⊥平面β，CA AD ∴⊥----2分

于是在Rt CAD ?中，有

2222

6640676CD CA AD =+=+=----------2分

故26CD cm =-------------------------1分 2、解：设正方形ABCD 的边长为a ，利用托雷密定理 在圆内接四边形PABC 中，有PB AC PA BC PC AB ?=?+?

即PB = 得3

2

PB = ①------3分

在圆内接四边形PDAC 中，有PD AC DA PC PA DC ?+?=?

即2

PD a +

= 得12PD = ②------3分

由①、②知，313

224

PB PD ?=

?=----------------2分 三、证明题（本大题共4题，每小题10分，共40分）

1、证明：1°当AB 与CD 平行时，结论显然成立；----2分 2°当AB 与CD 不平行时，

将AB 与CD 各平移到ME 和MF 的位置上， 得ABEM 和MFCD ，由于M 是AD 的中点，

所以BE ╩FC ，BECF 成为平行四边形，从而EF 必经过BC 的中点N ，且N 是EF 的中点，----5分

ME AB CD MF === EMF ∴?是等腰三角形，MN 是EMF ?的中线，也就是EMF ∠

的平分

C

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线，说明直线MN 与ME 、MF 所成的角相等，即直线MN 与AB 、CD 所成的交角相等。----------3分 2、已知：梯形ABCD 中，,AD BC E F G H 、、、分别是AB 、DB 、AC 、DC 的中点。

求证：E 、F 、G 、H 四点共线。-----2分 证明：连接EF 、EG ，则，

EF 是ABD ?的中位线，于是EF AD -----2分

EG 是ABC ?的中位线，于是EG BC AD ------2分

所以EF 与EG 重合（过一点有且只有一条直线与已知直线平行）， E 、F 、G 三点共线.------2分 同理可证H 、G 、F 三点共线。故Ｅ、F 、G 、H 四点共线。----------------------2分 3、证明：

E AC C

F AB B ⊥⊥ ∴B 、F 、E 、C 四点共圆-----------------2分

于是 12∠=∠---------------------------1分 在APB ?与QAC ?中，

AB QC =，BP AC =

APB QAC ∴???------------------------2分

于是AP AQ = ① 3=4∠∠----------2分

又

45=90 ∠+∠ 3590∴∠+∠= ， 于是AP AQ ⊥ ②

由 ①、② 知，AP 与AQ 垂直且相等。--------3分 4、证明：BC=CD BC CD ∴= 12∴∠=∠

又

ADP ACB ∠=∠ ADP ACB ∴?~?-------------3分 于是 AD AC =AP AB 即 AB AD AC AP ?=?①----------2分

又

2=1=3∠∠∠，C ∠公用 BPC ABC ∴??-------2分

于是 AC BC =BC PC

即 2

BC AC PC =? ②------------2分

由①+②式， 得2

2

AB AD BC =AC ?+---------------------------1分

四、轨迹（本大题共1题，每题12分，共12分）

（1）探求 ------------------4分 假设AB 与CD 是定圆

(r)O 内互相垂直的两弦，其交点为P ，且222

A B C D =4k

+（定值），过点

B

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O 作OM AB ⊥，

ON CD ⊥ ,则M 、N 分别是AB 、CD 的中点，于是 222221OM =r AB 4OB BM =--, 222221

ON =OD D =r CD 4N --

222222221

OP =OM ON =2r (AB +CD )=2r 4

k +--，

P 在22

O(2r -上。

（2）证明----------------5分

1完备性（见探求）；

02 纯粹性：设P 是22O(2r

-上任一点，则P 作互垂的两弦AB 与

CD ，过O 作OM AB,ON CD ⊥⊥，则M 、N 分别是AB 、CD 的中点，从而

22222222AB +CD =4(MB +ND )=4(r OM )+(r ON )??--??222=42r (OM +ON )??-??22

=4(2r OP

)-

224[2]r =-2=4k ，即点P 合于条件。

由o

o

12、

知，点P 的轨迹是22O(2r -.

(3) 讨论 ------------------3分 当2

2

2r k >时，轨迹是22O(2r -；当222r k =时，轨迹退缩为孤立点O ；当222r k <时，

轨迹不存在。

五、作图题（本大题共1题，每题12分，共12分）

已知：ABC ?； 求作：直线EF ，使EF

BC 且平分ABC ?的面积。

（1）分析：假设直线EF 已作出， 则 221AEF ABC S S AE AB ??:=:=:2，

于是 22

12

AE AB =--------------------3分

（2）作法：①取AB 的中点M ，作DM AB ⊥，使DM AM =；②以A 为圆心，AD 为半径画弧，

交AB 于点E ；③过E 作EF

BC 交AC 于F ，则EF 即为所求。--------------4分

（3）证明:由作法知, EF

BC ， 所以22AEF ABC S S AE AB ??:=:

2222221

22

AE AD DM AM AM AB ==+==

2212AE AB ∴:=: 故 1

2

AEF ABC S S ??=

-------------------3分 （4）讨论:本题恒有三解。--------------2分

B

C