信号与系统 连续时间LTI系统的稳定性

H (s)

B(s) A(s)

bmsm an s n
bm1sm1 L bn1sn1 L
b1s b0 a1s a0
H
其中，m n，ai (i
(s) 的分母多项式为
0,1 A(s)
, 2 ,3，L ansn
，n) 与sbn j ( j an s 1snn11 L
定其稳定性。
信号与系统
【例5-7-6】已知某因果系统的系统函数为
为使系统稳定，k 应该满足什么条件？
H (s)

s3

3s2
1 3s
1
k
，
解：要使系统稳定，则 A(s) s3 3s2 3s 1 k 的系数必须全部大于 0
则有
k 1 0 即 k 1
罗斯阵列为 s3 s2
信号与系统
一．系统稳定性的定义
系统稳定定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定 （Bounded Input Bounded Output）
系统稳定性是系统本身的特性，与输入信号无关。
连续时间LTI系统稳定性的问题和系统因果性是密切相关的，这里只 考虑因果系统的稳定性。
连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为 h(t) 0, t 0
1 1
U1(s) U3(s) U3(s) U3(s) U2(s)
1
1 1
1
s
s
sC s
同时有
1
U
2
(s)

Fra Baidu bibliotek
KU
4
(s)

K
1
s
1
U3
(s)
s
由上述两方程容易求得
H(s) U2(s) U1(s)

s2
K (3 K)s 1
U 2 (s)
信号与系统
二．系统稳定性的判断
解：若 a3 0 ，不难得出 ，系统稳定的必要条件为
列写由罗斯阵列 a2 0, a1 0, a0 0 使系统稳定，根据罗斯判据
s3
a3
a1
s2
a2
a0
s1 1 a3 a1 a1a2 a3a0
a2 a2 a0
a2
s0
a0
a3 0

a1a2
a2
0 a3a0
连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即

h(t)dt

信号与系统
二．系统稳定性的判断
由系统函数判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性 H(s) 的假分式时，不稳定。
H(s) 的真分式，有可能稳定。 由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不在虚轴上，则系统
1
3
3
1 k
s1 1 1 3 8 k 3 3 1 k 3
s0
1 k
要使系统稳定，有
8 k

0
3
1 k 0
故
8 k 1
信号与系统
【例5-7-7】对于三阶系统，分母多项式为 A(s) a3s3 a2s2 a1s a0 ， 为使系统稳定， a3, a2 , a1, a0 应该满足什么条件？
作业 2013-6-20
P183 5-15， 5-17
4s s2
1 2s
8
(2)
H 2 (s)

s3
s2 2s3
s 9
1
解：（1） A(s) s3 4s2 3s 2
（2） A(s) 2s3 9
分母多项式中缺项，所以系统不稳定；
信号与系统
（3）A(s) 3s3 s2 2s 8
分母多项式满足稳定系统的必要条件，但是否稳定还需进一步分解检验。
信号与系统
二．系统稳定性的判断
例：设系统方框图如图所示，求
（1）系统函数H(s) （2）系统稳定，参数K满足的条件
R(s)
1

s

K
C(s)
(s 1)(s 5)
解： 由Mason公式可以很容易求得系统函数为
K
H
(s)

C(s) R(s)

s(s 1
1)( s K

5)

K
s(s 1)(s 5) K
s(s 1)(s 5)
信号与系统
二．系统稳定性的判断
H
(s)

C(s) R(s)

s3

K 6s2
5s

K
由系统函数可知，系统属于 3 阶，所以系统稳定要满足的条件为
K 0 并且 6 5 K
即
0 K 30
信号与系统
二．系统稳定性的判断
例： 设运放是理想的，求电路系统的：
信号与系统
罗斯准则为：
（1）阵列中首列元素同号时，其根全位于 s 左半平面，则系统为稳定系统；
s （2）阵列中首列元素有变号时，则含有 右半平面根，右半平面根的个数
为变号次数，则系统为不稳定系统。
通常联合使用罗斯—霍尔维茨准则：（简化判别过程） (1)使用霍尔维茨准则剔除不稳定的系统。 (2)满足霍尔维茨准则的，还不能确定系统的稳定的性。可以罗斯准则最终确
对 A(s) 进行因式分解，得
A(s) 3s3 s2 2s 8 (s2 s 2)(3s 4)
(s 1 7 j)(s 1 7 j)(3s 4)
22
22
可见，A(s) 有一对正实部
信号与系统
罗斯（Routh）判断法
设 n 阶连续线性时不变系统的系统函数为
是稳定的。
（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于
平面的左半平面，则系统是临界稳定的。
（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
的极点时，系统是不稳定的。
信号与系统
二．系统稳定性的判断
➢当系统的参数都是给定具体数值时，当然可以应用上面讨论的方法，计算 出系统函数的每一个极点，然后根据极点位置来判断系统是否稳定 。
a0n,1,2, 3a，nL2，ma) n均4为实L常数。 ana11s aan03 an5 L
将各项系数排成罗斯表，即
sn2 xn1 xn3 xn5 L
罗斯阵列前两行由 A(s)
sn3 yn1 yn3 yn5 L
多项式的系数构成。
sn4 zn1 zn3 zn5 L
第三行以后的系数由递推式计算。
MMMM
s0 n1 0
0L
信号与系统
xn1
1 an1
an an1
an2 ; an3
xn3
1 an1
an an1
an4 L an5
yn1
1 xn1
an1 xn1
an3 ; xn3
yn3
1 xn1
a n1 xn1
（2）二阶系统 A(s) s2 a1s a0只要参数满足a1 0, a0 0
即为稳定。a1 0 或a0 0 属于为临界稳定。
（3）三阶系统 A(s) s3 a2s2 a1s a0 必须满足条件
a2 0, a1 0, a0 0且 a1a2 a0系统才是稳定的
an5 L xn5
zn1


1 yn1
xn1 yn1
xn3 ; yn3
zn3


1 yn1
xn1 yn1
xn5 L yn5
en1


1 zn1
yn1 zn1
yn3 ; dn3
en3


1 zn1
yn1 zn1
yn5 L zn5
M
M
依此类推，将罗斯表列出。如果是 n 阶系统， 罗斯表就有 n 1 行。
（2）
H (s)

U 2 (s) U1(s)

s2

K (3 K)s
1
显然，系统稳定条件为 K 3
（3）临界稳定时，K 3，这时
所以系统的冲激响应为
H (s)

3 s2 1
h(t) L1 H(s) 3sin(t)u(t)
信号与系统
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信号与系统
➢但在系统有参数是未定，或需要判断系统参数满足什么条件下系统是否稳 定一类问题时，应用上面的方法就很不方便了。 必须借助于其他稳定性的判别方法
➢劳斯（Rooth)判据 ➢霍尔维茨(Horwitz)判据 简单详细介绍这两个判据，然后介绍由这两个判据得到的适用3阶或3阶 以下系统稳定的简化的判别方法。
信号与系统
系统稳定的必要条件是：
A(s) 的各项系数 ai 都不等于零，并且 ai 全为正实数或全为负实数。
霍尔维茨多项式：
信号与系统
【例5-7-5】已知系统函数 H (s) 如下，试判断该系统是否稳定？
(1)
s2 2s 1 H1(s) s3 4s2 3s 2
；
(3)
H3
(s)

s2 3s3
霍尔维茨（Hurwitz）判断法
设 n 阶连续线性时不变系统的系统函数为
H (s)

B(s) A(s)

bmsm an s n
bm1sm1 L bn1sn1 L
b1s b0 a1s a0
其中，m n ，ai (i 0,1 , 2 , 3，L ，n) 与 bj ( j 0,1,2,3，L ，m) 均为实常数。

a2
0
即
a0 0
a3 0
a1aa22
0 a3a0
a0 0
信号与系统
二．系统稳定性的判断
三阶以下系统稳定的判定的充要条件
假设系统函数分母多项式的最高项系数为1
A(s) sn an1sn1 L a1s a0
（1）一阶系统 A(s) s a0 ，显然只要参数满足 a0 0 即为稳定。a0 0 为临界稳定。
1F
1
（1）系统函数 H (s) U2 (s)
u1
K
u3 1
u2
U1(s)
1F
（2）为使电路系统稳定，求 K 值范围
（3）欲使电路临界稳定，求 K 值以及此时电路的冲激响应h ( t )
信号与系统
二．系统稳定性的判断
1 1 sC s
解：（1）对节点U3列写节点方程
1
U4(s) K
U1(s) U3(s)1