磁悬浮控制系统设计——自动控制原理大作业

原题

原题图片

物理背景描述

对于上图所示的磁悬浮系统,如果钢球在参考位置附近有很小的位移时,影像探测器上的电压e(伏特)由球的位移x（米)决定,即e=100x。

作用在钢球上向上的力f(牛顿）由电流i（安培）以及位移共同决定,其近似关系为f= 0.5i+20x

功率放大器为压流转换装置，其输入输出关系为i=u+V0。

钢球质量m=20（克），地球表面的重力加速度为g=9.8（牛顿／千克)。

其中V0为恒定偏置电压,以保持钢球处于平衡状态时的位移x=0。

问题的描述

以电压ｕ为控制信号，位移x为输出信号,建立系统的传递函数;以影像探测器输出电压e为反馈信号，并给定参考位移(输入)信号ｒ,构成闭环负反馈系统。试设计适当的控制器,使得闭环系统满足下列性能指标:

跟踪阶跃信号的稳态误差为零，跟踪单位斜坡信号的稳态误差小于０.01;

单位阶跃响应的超调量不大于3０％，过渡过程时间不大于1秒(∆=2%)。

求控制器的传递函数。

问题推导

1．当x=0，r=0时：

e=0,u=0;

i=V0;

f=0.5V0;

0.5V0−mg=m d 2x

dt2

=0；

mg=0.5V0

2．系统闭环传递函数：

u=r−e;

i=r−e+V0=r+V0−100x;

f=0.5r+0.5V0−50x+20x=0.5r+0.5V0−30x;

F=f−mg=0.5r+0.5V0−30x−mg=m d 2x

dt2

;

m d2x

dt2

+30x=0.5r+0.5V0−mg; (mg=0.5r)

m d2x

dt2

+30x=0.5r；取拉氏变换

G(s)=x(s)

r(s)=0.5

ms2+30

; （m=0.02kg）

G(s)=25

s2+1500

3.系统开环传递函数

前向通道传递函数：

F=f−mg=m d2x

dt2

;

20x+0.5i−mg=m d2x

dt2

;

20x+0.5u+0.5V0−mg=m d2x

dt2

; （mg=0.5r)

m d2x

dt2

−20x=0.5r; 取拉氏变换

G(s)=x(s)

r(s)=0.5

ms−20

; (m=0.02kg)

G(s)=25

s2−1000开环传递函数:

G(s)=e∗25

s2−1000=2500

s2−1000

问题求解

原问题分析

为满足跟踪阶跃信号的稳态误差为零，则应加一积分环节。则开环发大传递函数应为:G(s)=25k

s3−1000s

其根轨迹如下图所示:

此开环传递函数有三个极点：p１=３１.6228，p２=0,p３＝-31.622８。

从P1点出发的根轨迹,严重影响到系统的稳定性。无论系统有三条还是三条以上根轨迹，总有一条根轨迹全部落在右半平面,系统总是不稳定的；尽管用一个零点与p１构成一对偶极子也很难消除其对系统的影响。可以先看一下1＊e31.6228t曲线。

1＊e31.6228t的增长曲线如下:

1*e 31.6228t 的增长斜率太大,很难进行调节。

确定控制环节的放大倍数k

因此设想对G (s )

=

25s 2−1000

加局部反馈校正以改变极点位置。

若反馈环节的传递函数为：as +b

则：

G (s )=

25

s +25as+25b−1000

;

可以写成:

G (s )=

25k

s(s 2+(p1+p2)s+p1p2)

;

闭环传递函数为:

G (s )=

25k

s(s +(p1+p2)s+p1p2)+25kh

偏差传递函数为:

E (s )=

s(s 2+(p1+p2)s+p1p2)

s(s +(p1+p2)s+p1p2)+25kh

;

ess=lim

s→0

s∗E(s)∗R(s)；

ess=1

100lim

s→0

s2(s2+(p1+p2)s+p1p2)

s(s+(p1+p2)s+p1p2)+25kh

∗1

s

;

ess=p1p2

2500kh =1

100

;

25kh=p1p2;

kh=1

25

p1p2=b−40

确定反馈环节参数a、b

单位阶跃响应的超调量不大于３0%，过渡过程时间不大于1秒(∆=2%)。

ωnξ>4; ζ>0.36; （以二阶系统公式做计算）

γ≥48°; ωc≥8.9；(以高阶系统经验公式计算)

取：−ωnξ=−6；ξ=0.5;

考虑到根轨迹渐近线为60°、180°、－60°。应把更小的一个根放到足够小的位置，

以避免其根轨迹上的根影响主导极点,同时考虑幅角条件。

幅角条件：

180°−∠A+∠(A−p1)+∠(A−p2)=(2l+1)∗180°;

选:

p1=-18;

则:

Ｐ２=-51。

25a=18+51=69;

25b−1000=18∗51=918;

则：

Ｋh=918*4；

k=9.1８*４;

a=2.76;b=76.72。

设计控制校正环节

开环传递函数为:

G(s)=25∗4∗918

;

s（s2+69s+918）

其波特图为：