自回归移动平均模型

第二章 自回归移动平均模型

一些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由Box 和Jenkins 创立的ARMA 模型就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息，并由此对时间序列的变化进行建模和预测。

第一节 ARMA 模型的基本原理

ARMA 模型由三种基本的模型构成：自回归模型（AR ，Auto-regressive Model ），移动平均模型（MA ，Moving Average Model ）以及自回归移动平均模型（ARMA ，Auto-regressive Moving Average Model ）。

2.1.1 自回归模型的基本原理 1．AR 模型的基本形式

AR 模型的一般形式如下：

t p t p t t t y y y y εφφφ+++++=---Λ2211c

其中，c 为常数项， p φφφΛ21, 模型的系数，t ε为白噪声序列。我们称上述方程为p 阶自回归模型，记为AR(p )。

2．AR 模型的平稳性

此处的平稳性是指宽平稳，即时间序列的均值，方差和自协方差均与时刻无关。即若时间序列}{t y 是平稳的，即μ=

)(t y E ，2)(σ=t y Var ，2),(s s t t y y Cov σ=-。

为了描述的方便，对式（2.1）的滞后项引入滞后算子。若1-=t t x y ，定义算子“L ”，使得1

-==t t t x Lx y ，

L 称为滞后算子。由此可知，k t t k

x x L -=。

对于式子（2.1），可利用滞后算子改写为：

t t p p t t t y L y L Ly y εφφφ+++++=Λ221c

移项整理，可得：

t t p p y L L L εφφφ+=----c )1(221Λ

AR(p )的平稳性条件为方程012

21=----p

p L L L φφφΛ的解均位于单位圆外。 3．AR 模型的统计性质

（1）AR 模型的均值。

假设AR(p )模型是平稳的，对AR(p )模型两边取期望可得：

)

c (E )(Ε2211t p t p t t t y y y y εφφφ+++++=---Λ

根据平稳序列的定义知，μ=)(E t y ，由于随即干扰项为白噪声序列，所以0)(E =t ε，因此上式可化简为：

021)1(φμφφφ=----p Λ

所以，p

φφφφμ----=

Λ210

1

直接计算AR(p )模型的方差较困难，这里引入Green 函数。 AR(p )模型可以改写成如下形式：

)

(L y t

t Φ=

ε

设p λλΛ1为平稳AR(p )模型的反特征根，则

2

121

()1(1)p

p

p i i L L L L L φφφλ=Φ=----=-∏L 。

进一步，

∑∑∑∑∑∑∞=∞

=-=-=∞=====-=001i 10i 1i k )(k 1k j j j t j p i j t j

i p i j t j i p

i t i

t G L L y εελελελ

其中，i k 为常数，j i p

i j G λi 1

k ∑

==

，称为Green 函数，因为p λλΛ1均在单位圆，所以

Green 函数是呈负指数下降的。

对上式两边取方差，可得：

∑∞

=-=0

2)var()var(j j t j t G y ε

由于随机干扰项为白噪声序列，所以2)var(σε=-j t 。因为Green 函数是呈负指数下降，

所以∞<∑∞

=0

2j j G ，这说明平稳时间序列方差有界，且等于常数22

j j G σ∞

=∑。

（3）自协方差函数。

假设将原序列已经中心化，则0)(E =t y ，则对AR(p )模型等号两边同时乘以

)1(≥∀-k y k t ，两边取期望得：

)

(E )(E ...)(E )(E )(E 2211k t t k t p t p k t t k t t k t t y y y y y y y y y --------++++=εφφφ

因为当期的随机干扰项与过去的时间序列值无关，所以：0)(E =-k t t y ε。因此，上式可以化为：

1122......k k k p k p r r r r φφφ---=+++

其中k r ，表示k 阶自协方差。

2.1.2 移动平均模型的基本原理

MA 模型的一般形式如下：

q t q t t t t y ---+++++=εθεθεθεΛ2211u

其中，u 为常数项，p θθθΛ21,为模型的系数，t ε为白噪声序列。我们称上述方程为q 阶移动平均模型，记为MA(q )。

2、MA 模型的可逆性 对于一个MA(q )模型：

q t q t t t t y ---+++++=εθεθεθεΛ2211u

将其写成滞后算子的形式：

t

q q t L L L y εθθθ)1(u 221++++=-Λ

若方程012

21=++++q

q L L L θθθΛ的根全部落在单位圆外，则称MA 模型是可逆的。可逆性可以保证MA 模型可以改写成：

()()t t L y u ψε-=

即MA 模型可以转化为AR 模型，同时可以保证参数估计的唯一性。 3、MA 模型的数字特征 （1）均值

当∞

q

t q t t t t u y ---+++++=εθεθεθεL 2211

两边取期望，可得：

u u E y E q t q t t t t =+++++=---)()(2211εθεθεθεL

即一般的MA （q ）模型的期望值即为模型中的常数项。 （2）方差

对MA （q ）模型，两边取方差：

2222112212()(...)(1...)t t t t q t q q Var y Var u εθεθεθεθθθσ---=+++++=++++

（3）协方差函数

11221122()[(...)(...)]k t t k t t t q t q t k t k t k q t k q r E y y E u u εθεθεθεεθεθεθε-----------==++++++++++

化简可得：

2222

12211(1),0(),00,p k k k q k q k k q

k q σθθθγσθθθθθ+-⎧++++=⎪⎪

=+++<≤⎨⎪

>⎪⎩

L L

2.1.3 自回归移动平均模型的基本原理 1、ARMA 模型的基本形式 ARMA 模型的一般形式如下：

q t p t t t p t p t t t y y y c y ------+++++++++=εθεθεθεφφφΛΛ22112211