正项级数的拉阿贝对数判别法

８
高等数学研究
２００７年５月
也就是说，当菇＞ｏ，时，有ｒ乞＜Ｉｎ（１＋戈）＜ｚ· 引理２ 无穷级数∑砉，当ｐ＞Ｉ时收敛；当ｐ＜１时发散．
引理３㈨ 设级数∑口。和∑ｂ。为正项级数（Ⅱ。＞ｏ，ｂ。＞ｏ），存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ，满足
不等式：口。＋１／ａ。≤６。＋１／ｂ。，则
（１）如果∑ｂ。收敛，则∑ａｎ收敛；（２）如果∑口。发散，则∑ｂ。发散．
ｉ—鲦＜·ｎ：兰ｊ：，ｎｃ，＋ｊ｝＋。ｃ寺，， ＜三＋。（上），（ｎ．∞）
ｎ
ｎ
万方数据
第ｌＯ卷第３期
姬小龙，王锐利：正项级数的Ｒａａｂｅ对数判别法
９
ｊ二耸川ｎ旦＜２＋加（旦）’（ｎ．乩
ｊ＿＿！＿ｉｉｉ＜以ｎ蔷＜２＿加‘石几∽’∞Ｌ
对上式取极限，可得ｌｉｍｎｌｎ量＝１．
ｎ一。
口ｎ＋１
（必要性）若ｌｉｍｎｌｎ兰：ｚ，有ｎｌｎ兰：ｌ＋占。，（占。－－ｄ），，ｌ一∞），于是有
2.期刊论文 李克俊.LI Ke-jun Raabe判别法的两种表述法的等价性 -达县师范高等专科学校学报2006,16(2)
Raabe判别法及其极限形式常有两种不同的表述,事实上这两种表述是等价的,所以任意使用一种表述判断正项级数的收敛性均一样.
3.期刊论文 杨钟玄.YANG Zhong-xuan 拟Raabe判别法与拟对数判别法的强弱关系 -大学数学2008,24(1)
既然第二对数判别法和Ｒａａｂｅ判别法都是以ｐ一级数作为比较标准得出的，那么它们之间有什
么内在的必然的联系呢？下面我们将证明第二对数判别法和Ｒａａｂｅ判别法是等价的．我们有：
定理２ 数列ａｎ是正数列，则ｎ墅一∞ｎｌｎ未“＾‘＝１ｚ的充要条件是—ａ生ｎ＋ｌ＝ｌ＋÷＋，。Ｄ （÷）Ｊ，‘ （ｎ一∞）·
证明 （充分性）若旦：ｌ＋三＋ｏ（上），（ｎ一∞）．由引理１有
6.期刊论文 杨钟玄.YANG Zhong-xuan 正项级数敛散性的一个新判别法 -四川师范大学学报（自然科学版）
2005,28(6)
正项级数理论中的Gauss判别法比Raabe判别法更为精细,但又更加复杂,为此给出了正项级数敛散性的一个新判别法,它也是以级数∞∑n=2 1/n(lnn)p为比较标准的,但比Gauss判别法简单.另外,还对新判别法与Gauss判别法的强弱关系进行了讨论.
例３ 判别级数∑ＸＩ＋扣－．＋｛（菇＞ｏ）的敛散性．
解ｌｉｍｎｌｎ—ｆｉｔｎ：ｌｉｍｎｌ毗由：一ｌｎｘ，由Ｒａａｂｅ对数判别法知，当０＜石＜土时级数收敛，当
ｎ－．∞
口ｎ＋ｔ
８呻∞
ｅ
石＞÷ｅ时级数发散．当龙＝÷ｅ 时，ＮＮ（Ｉｅｅ）１＋｝¨＋上＝６了＋ｒ” 手＋１ｉＩ巧ｅ＞‘了…ｋ一＝詈，凡 而级ｆ数曼 三詈发ｎ 散，可
４附注 不等式（１）、（２）、（３）虽有多种证法，但本文只用到两个特殊的Ｊｅｎｓｅｎ不等式就全部证出，一 气呵成． 若将（１）、（２）、（３）式连写，则（当戈。＞０，Ｐ。＞０时）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（逝Ｚｐｉ凡｜］ｉＺｐｉｘｉ洳《）氛Ｚ…ＰｉＸｉ－１一）
特别地，当∑Ｐ。＝１时，有 （∑ｐｉ戈２ｉ）÷≥Ｚ ｐｉｚｉ≥ｎ《ｚ≥（Ｚ ｐｉ戈ｉ１）一１
见，级数量ｚ１＋扣…＋上（石＞ｏ）当ｏ＜省＜÷时级数收敛，当菇≥÷时级数发散．
ｒＦ转第２３页） 万方数据
第１０卷第３期
陈德新：用概率方法证明系列加权均值不等式
利用不等式ＩｎＥ（Ｘ）≥Ｅ（１ｎＸ）得ｌｎ［（∑ｐｉｚｉｌ）／∑Ｐｉ］≥ｌｎ［Ⅱ冀１）赢］～，即
ｃ（Ⅱ蝌∥≥）葡（≥普Ｉ号）当一ｌ
ｃ（３，）
进一步地，当ｐｉ＝Ｌｎ（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ）时，有
噩诧 ≥忍ｘ．ｉ≥海≥（掣）＿１
参考文献 ［１］陆晓恒．概率方法在证明数学问题中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２００３（３），４３—４４
（上接第９页）注记：例３用Ｄ ７ Ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法和Ｃａｕｃｈｙ判别法都无法判定，用Ｒａａｂｅ判别法也很 困难（计算繁杂），但用Ｒａａｂｅ对数判别法却很方便，可见，Ｒａａｂｅ对数判别法作为正项数半－ＩＩ｛ＪＩｌ法的 一种补充是有一定价值的．
ｎ＿．∞
口ｎ＋１
ｏｎ＋１
ｌｎ去ｏｎ＋１＝上／７，＋鲁ｎ，（ｓ。一ｏ，ｎ一∞），ｊ口丢ｎ＋ １＝ｅｘｐ（÷＋ｎ鲁），ｎ（占。－＋ｏ，ｎ＿＋∞），
。１．．ｉｒａ。ｎ（未一ｌ’）＝。ｌｉｍ。［ｅｘｐ（÷＋鲁）一１］／÷＝。１．．ｉｒａ。［（／ｎ＋鲁）／÷］＝ｚ，
ｊｎ（旦口ｒｔ＋ｌ—１）＝ｚ＋占。，（８ｎ枷，ｎ一∞），；砉＝１＋÷＋鲁＝ｌ＋寺＋。（÷），
［４］钱泽平，孙胜光．一般项为幂指函数的级数的审敛法［Ｊ］．大学数学，２００５，２１（２）：８５＿７
［５］唐翠娥．级数敛散性的拉阿贝判别法推广［Ｊ］．大学数学，２００５，２１（２）：１３２—１３４
（上接第１１页）＝可２２［１ｎ ２一（虿１＋ｒ暑＋ｒ与＋丽１ ）］＝手ｌｎ ２一蕊１３１
参考文献
囝［１］《数学手册》编写组 北京：人民教育出版社 １９７９ ；栅］２００７年第２期“目录’’及第２页：“从变量数学到现代数学（续一）’’应为“……（续二）”，特此更
正，并向读者、作者致歉！ 万方数据
正项级数的Raabe对数判别法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
姬小龙， 王锐利 济源职业技术学院,河南济源,454650
高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2007，10(3) 2次
参考文献(5条) 1.I M 菲赫金哥茨.叶彦谦 微积分学教程 1959 2.吉米多维奇.廖良文.许宁 数学分析习题集 2005 3.徐利治.王兴华 数学分析的方法及例题选讲 1983
石ａｉｔ＞［（１＋÷）“］肌＝（１＋寺）９铮等＜（了旨）’＝石｛可＿／砉·
而级数∑了１当Ｐ＞ｌ时收敛，ｔ．友由弓ｌＮ ３知当ｆ＞ｌ时，级数∑ａ。收敛．
（２）当ｌ＜１时，存在正数Ｐ１，Ｐ２，使ｌ＜Ｐ＜ｑ＜１，ｌ圭ｔｌｉｍｎｌｎ÷：ｌ知，对占＝Ｐ—ｌ＞０存在 “－．∞ Ⅱｎ＋ｌ
正整数Ｎｌ，使得当ｎ＞Ⅳ１时，有ｎａ。／ａ蒯＜ｌ＋（ｐ—Ｚ）＝ｐ，即ａ．／ａ川＜ｅ咖＜ｅ咖．根据ｅ９＜ｅ且
参考文献
［１］（苏）Ｉ．Ｍ．菲赫金哥茨著，叶彦谦等译．微积分学教程（第二卷）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９５９
２６３—＿２８０
［２］（苏）吉米多维奇著，廖良文，许宁译．数学分析习题集［Ｍ］．合肥：安徽人民出版社，２００５，２３０＿２６８ ［３］徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３，１８９—１９４
“’。
口ｎ＋１
“一”
“’。
给级例 数收２ 筑判别级数；石了可百｛南丽（菇＞ｏ）的敛散性·
解 未＝等＝１＋了备，ｌｉｍｎｌｎ旦ａｎ＋ｌ＝。ｌ＿．ｉｒａ。ｎｌｎ（１＋了备）＝茗·由Ｒａａｂｅ对数判别
法知，当髫＞１时级数收敛，当戈＜１时级数发散，而当髫＝１时级数∑ｉ打发散，可见，原级数当
石＞１时级数收敛，当髫≤ｌ时级数发散．
7.期刊论文 王炳安.李淑敏 关于正项级数的一组收敛性判别法 -大连大学学报2004,25(4)
借助于库麦尔(E.E.Kummer)判别法给出关于正项级数的一组收敛性判别法.这组判别法是比拉贝(J.L.Raabe)判别法和伯尔特昂(J.Bertrand)判别法 更为有效的方法,也是这两个判别法的进一步推广.
（１）当ｚ＞１时，级数∑口。收敛；（２）当１＜１时，级数∑口。发散．
文［２］中以Ｐ一级数作为比较标准，给出了对数判别法：
（第一对数判别法㈨）设∑口。为正项级数（Ⅱ。＞ｏ），＿ｌ；［，ｌ—ｉｍ。堕告导＝２．则
（１）当１＞１时，级数∑口。收敛；（２】当ｌ＜１时，级数∑口。发散． 第一对数判别法在解决幂指函数型级数∑ｕ（ｎ）“曲的敛散性时是比较方便的，文［４］给出的
ｌｉｍ（１＋上）“＝ｅ知，存在正整数婀，使得当ｎ＞Ⅳ２时，ｅ，＜（１＋÷）“．取Ｎ＝ｍａｘ｛Ⅳｌ，Ⅳ２｝，则当
ｎ—●∞
，Ｌ¨ｏ
ｎ＞Ｉｖ时有尝＜扩＜ｅｑＩｎ＜［（１＋寺）“］ｌ／“＝｝≯§吗ｎ
ｏｎ＋１
ｎ
，ｌ
上ｎ＜等ａ 而调和级数∑一上ｎ是发 ｎ
散的，ｆｌａ弓ｌＮ３知当ｌ＜１时，级数∑口。发散．
４．第二对数判别法和Ｒａａｂｅ判别法的等价性
（Ⅳ一∞）． 由定理２可知，第二对数判别法是Ｒａａｂｅ判别法的等价变形，因而将第二对数判别法称为 Ｒａａｂｅ对数判别法更合理一些．对于有的正项级数有Ｒａａｂｅ对数判别法是很方便的，下看几例· ５．应用举例
例ｌ 判别级数∑ｅ坼的敛散性．
解ｌｉｍｎｌｎ ｔｔｎ：ｌｉｍｎｌｎｅ石不石：ｌｉｍｎ（石ｉ＿『一石）：＋∞，由Ｒａａｂｅ对数判别法知，所
推广Raabe判别法是新近提出的关于正项级数敛散性问题一种普遍性方法.通过对它的进一步探讨,推出了几种常用判别法,同时得到了推广Raade判别 法与经典的Kummer判别法的关系.
5.期刊论文 杨钟玄.YANG Zhong-xuan 正项级数收敛性的又一新判别法 -贵州师范大学学报（自然科学版）
2005,23(4)
4.钱泽平.孙胜光 一般项为幂指函数的级数的审敛法[期刊论文]-大学数学 2005(02) 5.唐翠娥 级数敛散性的拉阿贝判别法推广[期刊论文]-大学数学 2005(02)
相似文献(9条)
1.期刊论文 马爱华 正项级数敛散性Raabe判别法的几种等价形式 -临沂师范学院学报2002,24(3)
给出了判定正项级数敛散性Raabe判别法的几种等价形式.
引理３是正项级数的比较判别法的变形，证明从略． ３．定理１的证明
（１）当ｌ＞１时，则存在ｐ＞１，使ｚ＞ｐ＞１，眭ｌｌｉｍｎｌｎ－ａｎ＝ｌ知，对ｓ＝ｌ—Ｐ＞０存在正整
数Ⅳ，使得当ｎ＞Ⅳ时，有ｎａｎ几。＋。＞ｚ一（ｚ—ｐ）＝ｐ，即ａ．／口。＋。＞ｅｐｌａ，由数列｛（１＋去）“）单调递
增且趋于ｅ知对一切正整数ｎ有（１＋上）ｎ＜ｅ．于是当ｎ＞Ⅳ时有
审敛法（原文‘４ ３中定理Ｉ）实质上是第一对数判别法．本文的工作是，继续以Ｐ一二级数作为比较标 准，给出另一种形式的对数判别法，将其称为第二对数判别法．并且首次证明了Ｒａａｂｅ判别法和第 二对数判别法的等价性．我们有如下定理：
定理１（第二对数判别法）
设∑口ｎ为正项级数（口ｎ＞ｏ），Ｊ；［。ｌ—ｉｍ。耐ｎ未２ ｚ：则
Ｖｏｋ １０，Ｎｏ．３
高等数学研究
Ｍａｙ．，２００７
ＳＴＵＤＩＥＳ １Ｎ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
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正项级数的Ｒａａｂｅ对数判别法＋
姬，ｊ、龙 王锐利 （济源职业技术学院 河南济源４５４６５０）
摘 要 在正项级数敛散性Ｒａａｂｅ判别法和第一对数判别法的基础上，以Ｐ一级数作为比较标准，讨论了第
二对数判别法，并且证明了Ｒａａｂｅ判别法和第二对数判别法的等价性．
关键词
正项级数 Ｒａａｂｅ判别法 对数判别法 等价性 中图分类号０１７３．１
１．引青 在正项级数判别法中，文［１］中以Ｐ一级数作为比较标准，给出了著名的Ｒａａｂｅ判别法：
（Ｒａａｂｅ判别法Ⅲ）设∑口。为正项级数（口。＞ｏ），且未＝ｌ＋÷＋。（÷），（肛∞）．则
（１）当１＞１时，级数∑口。收敛；（２）当ｌ＜１时，级数∑ｏ。发散．
２．几个引理
引理１ 当并＞ｏ，有不等式：ｒ乞＜Ｉｎ（１＋搿）＜菇．
证明 作函数以髫）＝Ｉｎ氟在区间［１，１＋茗］上应用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理可得
南１＜坐１鲁半１＝÷＜ｌ＇㈧ｍ并． 、 ＋名
＋戈一
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· 万收方稿数１３据期：２００６—０８—０３；修改稿：２００７—０３—２６基金项目：河南省高等教育教学改革研究项目（０６１０２４７１）
拟Raabe判别法是新近提出的关于正项级数收敛性的一种比较细致的判别法.对通项递减的正项级数来说,此判别法强于传统的Raabe判别法与Gauss判 别法.通过对拟Raabe判别法与另一个细致的判别法--拟对数判别法强弱关系的探讨,得出了后一判别法强于前者的结论.
4.期刊论文 杨钟玄.YANG Zhong-xuan 对推广Raabe判别法的再讨论 -大学数学2007,23(2)
近年来,关于正项级数收敛性判别法又有一些新的研究,其中主要是得到了一些关于收敛性的新判别法以及对有关判别法的强弱进行了讨论.本文建立 了正项级数收敛性的又一个新判别法,它适用判别与级数∑∞n=2(1)/(n(lnn)s)敛散速度相当的正项级数的敛散性,因而新判别法比传统的Raabe判别法等 更为精细.此外,通过与Gauss判别法进行比较,得出了新判别法强于Gauss判别法的结论.