第三章微分中值定理与导数的应用习题课(一)

3．柯西中值定理
f ( x),F( x)在[a,b]上连续, 在(a, b) 内可导, F ( x) 0 ，
则至少存在一 (a,b), 使
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f ( ) F ( )
.
二、判别
的方法
若 f ( x) 0 ，则 f ( x) C
三、三个定理之间的内在联系
f ( ) ln b
a
成立.
分析 将所证等式变形为
或
可见，应对 与 在 上应用
柯西中值定理. 证明: 设 g( x) ln x, 由题设知, f ( x)与 g( x) 在[a, b]上满足 柯西中值定理的条件。由柯西中值定理可知，
在 (a, b)内至少存在一点 , 使
f (b) f (a) f ( ) , g(b) g(a) g( )
ab
a n bn n n1 , (a b).
ab
故
或
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b).
【例5】 设 0 a b, 函数 f ( x) 在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导,
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
即
f (b) f (a) f ( )
lnb lna 1
亦即
f (b) f (a) f ( )ln b .
a
总结：利用中值定理证明相关命题，关键是根据题目的
特点，寻找合适的定理及相应的辅助函数。步骤如下：
（1）构造辅助函数； （2）确定区间； （3）验证定理条件。
【例6】
证明
arcsin x arccos x ,(1 x 1) 2
证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0.
分析 从结论
看等价于方程
有实根，但若利用零点定理，无法验证
，所以
采用罗尔定理证明。关键是找 , 使 在 上满足
罗尔定理的条件，且从 由于结论是两项和，故
中能得出
.
为两个函数乘积的形式。将
换为
若令
则结论
为
证明: 令 F( x) xf ( x), 由已知条件知 F ( x)在[0, a] 上连续, 在(0, a) 内可导， 且F(0) 0 F(a) , 故由罗尔定理知, (0, a), 使F ( ) 0, 即 f ( ) f ( ) 0.
又因 f (0) , 所以 C , 即 f ( x) (-1 x 1).
2
2
2
显然 f (1) , 从而有 arcsin x arccos x ,(1 x 1).
2
2
一、微分中值定理
1．罗尔定理 f ( x)在[a,b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f (a) f (b) , 则至少存在一 (a, b), 使 f ( ) 0.
2．拉格朗日中值定理
f ( x)在[a,b]上连续, 在(a, b) 内可导, 则至少存在一 (a, b),
使
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f (b) f (a) f ( )(b a).
柯西中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
F(x) x
拉格朗日中值定理 罗尔定理
f (b) f (a) f ( )(b a) f (a) f (b)
f ( ) 0
四、典型例题
【例1】若方程 a0 x n a1 x n1 an1 x 0 有一个正根x x0 , 证明方程 a0nx n1 a1 (n 1)x n2 an1 0 必有一个小于x 0的正根.
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
【例2】证明方程4ax3 3bx2 2cx a b c 0至少有一个正根，
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 在区间 上的导数恒为零，那么 在区间
上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsinx arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
故 f ( x) C(1 x 1), （C 为常数）
其中a, b, c是任意常数。
分析 如果令
，由于在
范围内, 不能找到区间 ，使得
, 所以不能利用
零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。因此构造函数
由于要证明方程至少存在根，所以，要在 的范围内
找到一个闭区间 ，使得
。通过观察
的系数，不难发现
所以选取
，因此，对 应用罗尔定理即可证明。
证明 ：令 f ( x) 4ax 3 3bx 2 2cx a b c 构造函数 F ( x) ax4 bx3 cx 2 (a b c)x
取区间 [a, b] [0,1] 显然 F ( x)在[0,1]连续，在 (0,1)内可导，且 F(0) F(1) 应用罗尔定理知，存在 (0,1)，使得 F ( ) 0 即 f ( ) 0 因此，方程 4ax3 3bx2 2cx a b c 0至少有一个 正根。
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 .
【例4】设a b 0, n 1. 证明：
nb n1 (a b) a n b n na n1 (a b)
分析 将所证不等式变形为
, 可见,
只要对
在 上应用拉格朗日中值定理即可.
此题类型为利用拉格朗日中值定理证明不等式。
证明: 对函数
在 上应用拉格朗日中值定理,
得 即 显然有
f (a) f (b) f ( )
分析 如果令
，无法判定
, 所以不能利用零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。
首先构造一个函数 使
，其中 是欲证方程
的左端函数, 其次 定理的三个条件。
在题设的相应区间上满足罗尔
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数 在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设