第2章地图数学基础汇总
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第二，在同一经度带内，纬度愈高， 网格面积愈小
2020/6/24
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地球仪上的经纬线角度的特点：
在图中，只有中央经线和各纬线相交成直 角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而 在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交， 这表明地图上有角度变形
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地图投影变形是球面转化成平面的必然结 果，没有变形的投影是不存在的。对某一地 图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在 另一种或两种变形。但制图时可做到：在有 些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影 图上沿某一方向无长度变形。
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圆柱投影
方位投影
圆锥投影
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§2.2 常用地图投影
（一）墨卡托投影（Mercator Projection）
墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。该投影 设想与地轴方向一致的圆柱与地球相切或相 割，将球面上的经纬线网按等角的条件投影 到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开 并展成平面。经线和纬线是两组相互垂直的 平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道 向两极逐渐扩大（如图）。图上无角度变形， 但面积变形较大。
一、地图投影产生
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地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是 二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把 曲面转化成平面。然而，从几何意义上来说， 球面是不可展平的曲面。要把它展成平面， 势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破 裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采 用特殊的方法来实现球面到平面的转化。
所谓面积变形就是（dF’´-dF）与dF之比， 即面积比与1之差，以VP表示面积变形。
Vp
= _d_F_’_-_d_F = dF
_d_F_’ dF
1
=p -1
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（五）角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体 面上相应的两方向线的夹角之差 a - a’，称 为角度变形。
w
a- b
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23
北极地区的格陵兰岛原为南美洲 的1／9，图上竟比南美洲大。
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墨卡托投影
等角航线：是地球表面上与经线相交 成相同角度的曲线。在地球表面上除经线 和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐 近点的螺旋曲线。
等角航线在图上表现为直线。这一特 性对航海具有很重要的意义。
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（二）变形椭圆
指地球椭球体面上的一个微小圆，投影 到地图平面上后变成的椭圆，特殊情况下 为圆。可证明球面上的一个微小圆，投影 到平面上之后是个椭圆。
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在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微 小圆的比较，说明变形的性质和大小。椭圆半 径与小圆半径之比，可说明长度变形。很显然， 长度变形随方向的变化而变化，其中有一个极 大值，即椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆 短轴方向。这两个方向是相互垂直的，称为主 方向。椭圆面积与小圆面积之比，可说明面积 变形。椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两 方向线的夹角的比较，可说明角度变形。
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（三）长度比和长度变形
长度比 µ 是投影面上一微小线段ds’和椭球 面上相应微小线段ds之比。用公式表达为：
µ=ds’/ds
长度比用于表示投影过程中，某一方向上长 度变化的情况。µ>1，说明投影后长度拉长， µ<1，说明投影后长度缩短了；µ=1，则说明 特定方向上投影后长度没有变形。
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由长度比可引出长度变形的概念。所 谓长度变形Vµ就是（ds’-ds）与ds之比， 即长度比与1之差，用公式表示为：
Vµ
= _d_s_’-_d_s_ ds
=
_d_s_’ ds
-
1
= µ- 1
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（四）面积比和面积变形
面积比就是投影面上一微小面积dF’，与 椭球体面上相应的微小面积dF之比。
Sin =
2
a+b
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五、地图投影的分类
等角投影
按
变 形
等距投影
性
质
分
等积投影
类
任意投影
图由2变-1 9形不 同椭性圆质看投 影投上影的变变 形形椭 圆
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方位投影
投
几何投影 圆柱投影
影
圆锥投影
构
成Βιβλιοθήκη Baidu
伪方位投影
方
法
条件投影
伪圆柱投影
伪圆锥投影
多圆锥投影
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第二章 地图数学基础
§2.1 地图投影基本概念
章 §2.2 常用地图投影
节
§2.3 §2.4
高斯－克吕格投影及其应用 地图投影判别与选择
§2.5 我国常用地图投影
安 §2.6 GIS软件中的地图投影功能
排 §2.7 地图方位 §2.8 地图比例尺
§2.9 地图分幅编号
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§2.1 地图投影基本概念
大圆航线：地球面上两点间最短距离是 通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。
等角航线不是大圆航线（正航线）
例：好望角——墨尔本，等角航线为 6020，大
圆航线为 5450海里。
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墨卡托投影应用：
1.在航海业上得到广泛的应用。 2. 还用于编制赤道附近等国家和地区的地图，
法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不 同投影的经纬线网形状 ：
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地球仪上的经纬线的长度的特点：
第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相
同的纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
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地球仪上的经纬线网格面积的特点：
第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等
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球面展为曲面 发生的破裂与重叠
从球面投影到平面
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二、地图投影定义
地图投影就是研究将地球椭球体面上的 经纬线网按照一定的数学法则转移到平面 上的方法及其变形问题。其数学公式表达 为：
X=f1(λ , φ )
Y=f2(λ , φ )
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三、地图投影的基本方法
数学解析法
数学解析法是在球面与投影 面之间建立点与点的函数关系， 通过数学的方法确定经纬线交 点位置的一种投影方法。
几何透视法
几何透视法是利用透视的关 系，将地球体面上的点投影到 投影面（借助的几何面）上的 一种投影方法。
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四、地图投影的变形
（一）地图投影变形的概念 地图投影的方法很多，但用不同的投影方
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地球仪上的经纬线角度的特点：
在图中，只有中央经线和各纬线相交成直 角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而 在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交， 这表明地图上有角度变形
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地图投影变形是球面转化成平面的必然结 果，没有变形的投影是不存在的。对某一地 图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在 另一种或两种变形。但制图时可做到：在有 些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影 图上沿某一方向无长度变形。
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圆柱投影
方位投影
圆锥投影
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§2.2 常用地图投影
（一）墨卡托投影（Mercator Projection）
墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。该投影 设想与地轴方向一致的圆柱与地球相切或相 割，将球面上的经纬线网按等角的条件投影 到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开 并展成平面。经线和纬线是两组相互垂直的 平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道 向两极逐渐扩大（如图）。图上无角度变形， 但面积变形较大。
一、地图投影产生
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地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是 二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把 曲面转化成平面。然而，从几何意义上来说， 球面是不可展平的曲面。要把它展成平面， 势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破 裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采 用特殊的方法来实现球面到平面的转化。
所谓面积变形就是（dF’´-dF）与dF之比， 即面积比与1之差，以VP表示面积变形。
Vp
= _d_F_’_-_d_F = dF
_d_F_’ dF
1
=p -1
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（五）角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体 面上相应的两方向线的夹角之差 a - a’，称 为角度变形。
w
a- b
2020/6/24
23
北极地区的格陵兰岛原为南美洲 的1／9，图上竟比南美洲大。
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墨卡托投影
等角航线：是地球表面上与经线相交 成相同角度的曲线。在地球表面上除经线 和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐 近点的螺旋曲线。
等角航线在图上表现为直线。这一特 性对航海具有很重要的意义。
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（二）变形椭圆
指地球椭球体面上的一个微小圆，投影 到地图平面上后变成的椭圆，特殊情况下 为圆。可证明球面上的一个微小圆，投影 到平面上之后是个椭圆。
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在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微 小圆的比较，说明变形的性质和大小。椭圆半 径与小圆半径之比，可说明长度变形。很显然， 长度变形随方向的变化而变化，其中有一个极 大值，即椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆 短轴方向。这两个方向是相互垂直的，称为主 方向。椭圆面积与小圆面积之比，可说明面积 变形。椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两 方向线的夹角的比较，可说明角度变形。
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（三）长度比和长度变形
长度比 µ 是投影面上一微小线段ds’和椭球 面上相应微小线段ds之比。用公式表达为：
µ=ds’/ds
长度比用于表示投影过程中，某一方向上长 度变化的情况。µ>1，说明投影后长度拉长， µ<1，说明投影后长度缩短了；µ=1，则说明 特定方向上投影后长度没有变形。
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由长度比可引出长度变形的概念。所 谓长度变形Vµ就是（ds’-ds）与ds之比， 即长度比与1之差，用公式表示为：
Vµ
= _d_s_’-_d_s_ ds
=
_d_s_’ ds
-
1
= µ- 1
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（四）面积比和面积变形
面积比就是投影面上一微小面积dF’，与 椭球体面上相应的微小面积dF之比。
Sin =
2
a+b
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五、地图投影的分类
等角投影
按
变 形
等距投影
性
质
分
等积投影
类
任意投影
图由2变-1 9形不 同椭性圆质看投 影投上影的变变 形形椭 圆
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方位投影
投
几何投影 圆柱投影
影
圆锥投影
构
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伪方位投影
方
法
条件投影
伪圆柱投影
伪圆锥投影
多圆锥投影
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第二章 地图数学基础
§2.1 地图投影基本概念
章 §2.2 常用地图投影
节
§2.3 §2.4
高斯－克吕格投影及其应用 地图投影判别与选择
§2.5 我国常用地图投影
安 §2.6 GIS软件中的地图投影功能
排 §2.7 地图方位 §2.8 地图比例尺
§2.9 地图分幅编号
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§2.1 地图投影基本概念
大圆航线：地球面上两点间最短距离是 通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。
等角航线不是大圆航线（正航线）
例：好望角——墨尔本，等角航线为 6020，大
圆航线为 5450海里。
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墨卡托投影应用：
1.在航海业上得到广泛的应用。 2. 还用于编制赤道附近等国家和地区的地图，
法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不 同投影的经纬线网形状 ：
2020/6/24
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地球仪上的经纬线的长度的特点：
第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相
同的纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
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地球仪上的经纬线网格面积的特点：
第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等
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球面展为曲面 发生的破裂与重叠
从球面投影到平面
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二、地图投影定义
地图投影就是研究将地球椭球体面上的 经纬线网按照一定的数学法则转移到平面 上的方法及其变形问题。其数学公式表达 为：
X=f1(λ , φ )
Y=f2(λ , φ )
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三、地图投影的基本方法
数学解析法
数学解析法是在球面与投影 面之间建立点与点的函数关系， 通过数学的方法确定经纬线交 点位置的一种投影方法。
几何透视法
几何透视法是利用透视的关 系，将地球体面上的点投影到 投影面（借助的几何面）上的 一种投影方法。
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四、地图投影的变形
（一）地图投影变形的概念 地图投影的方法很多，但用不同的投影方