第二章结构几何构造分析(本)

二、平面几何不变体系构造分析 利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何不变体 系，也可以对已组成的体系进行几何构造分析。 1、组装几何不变体系 （1）从基础出发进行组装 把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础 和其它构件组装成一个不变体系。 例1：
刚片1
搭上了5个 二元体
例2：
1 2
刚片1 3
例5： 结论： 两刚片由3根不交于一点的 链杆连接，因此该体系是 无多余约束的几何不变体 系。 3 Ⅱ O2 结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。 Ⅲ
二元体 Ⅰ Ⅱ 1
2
Ⅰ
例6： O 1
O3
例7
试对下图所示体系进行几何组成分析。
【解】 （1）体系中折杆DHG和FKG可分别看作链杆DG、FG（图中虚线 所示）； （2）依次去掉二元体（DG、FG）、（EF、CF）； （3）对余下部分，将折杆ADE、杆BE和基础分别看作刚片， 它们通过不共线的三个铰A、E、B两两相连，故为无多余约 束的几何不变体系。
O
（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆联结。
三根链杆的延长线交于点‘O’，两刚片在瞬间就 会发生绕‘O’点的相对转动，但是在短暂的运动发生 O 以后，三根链杆的延长线不再 交于一点，体系就变成了不可 变体系。‘O’称为虚铰或瞬铰。 如果三根链杆直接交于点‘O’， 则组成的是可变体系。‘O’称为： 实铰。 瞬铰
O
虚铰
规律4：两个刚片用三根不交于一点的链杆相连，则组成 几何不变体系，并且无多余约束。
平面杆件体系组成规律，主要的是两点：三角形规 律和瞬铰概念。 由四种基本组成规律也可归结为三种基本装配格式：
（1）固定一个结点的装配格式---用不共线的两根链杆 将结点固定在基本刚片上，简称为简单装配格式。 （2）固定一个刚片的装配格式---用不共线的铰和链杆 或不共点的三个链杆将刚片固定在基本刚片上，简称为 联合装配式。 （3）固定两个刚片的装配格式—用不共线的三个铰将 两个刚片固定在基本刚片上。简称复合装配格式
二元体
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
例3：
二元体 1 刚片1 刚片2 2 3
没有多余约束的 几何不变体系
地基作为刚片3
（2）从上部体系出发进行组装
先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不变
体系，然后运用规律4把它与基础相连。
例1：
刚片1 3 1 刚片2
例2：
2
1 2
3
刚片3
没有多余约束的几何不变体系
y x A
B
θ
y
O
W=2
x
O W=3
x
一般工程结构都是几何不变体系，其自由度的个数为 零。凡是自由度的个数大于零的体系都是几何可变体系。
4、约束（联系）
能减少自由度的装置或连接。
常见的约束 ： (1)链杆： 两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
(b) (a) 增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。
第2章 结构的几何构造分析
洛阳理工学院 浮海梅
主要内容
§2-1 §2-2 §2-3 几何构造分析的几个概念 平面几何不变体系的组成规律 平面杆件体系的计算自由度
一个结构要能承受各种可能的荷载，所以其几何 构造应合理，其本身应是几何稳固的，要能够使其几 何保持不变。 结构应是一个几何形状不变的体系，简称为几体 不变体系。 研究体系几何组成的目的 （1）研究几何不变体系的组成规律，判断某一体系是 否几何不变，从而判定该体系是否可作为结构使用； （2）明确结构各部分在几何组成上的相互关系，从 而选择简便合理的计算顺序；
W=9 (6)复链杆
W=3
A
B
连接m个铰的复链杆等于2m-3个
5、必要约束与多余约束
1、必要约束：使体系自由度数减少为零所需的最少约束。
2、多余约束：体系上约束数目大于体系的自由度数目，则 其差值就是多余约束。
a
注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 有无多余约束是判定结构是静定和超静定的依据。
注意：
4
4
2
两组 平行 3 1
一组 平行
结论： 杆1、2与杆3、4不平行, 因此该体系是无多余约 束的不变体系。
5
6
例3：
1 Ⅱ 2
3
结论： 杆1、杆2、杆3不交与 一点，因此该体系是无 多余约束的不变体系。
Ⅰ
例4:
1 Ⅰ Ⅱ 3
2
结论： 杆1、杆2、杆3不交于 一点，该体系是无多余 约束的几何不变体系。
(2)单铰：连接两个刚片的铰。
(a)
(b)
增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。 一个单铰相当于两根链杆。
(3)复铰：连接两个刚片以上的铰。
y
O W=9
x W=5
连接n个刚片的复铰，相当于（n-1）个单铰的作用 (4)刚结点
W=6
W=3
一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。
(5)复刚结点 若一个复刚结点上连接了N个刚片，则该复刚结点具有3(N1)个约束，等于(N-1)个单刚结点的作用。
D C A Ⅱ ⅢB E
1
2
4
3
Ⅰ
无多余约束的几何不变体系。
例19 分析图示体系的几何组成。
G F E
D
C
B
A
依次去掉二元体AB CDEFG后剩下大地， 故该体系为几何不变 体系且无多余约束。
例20
分析图示体系的几何组成。
O13
如图示，三刚片用三个不共线的 铰相连，故：该体系为无多余约 束的几何不变体系
△ △ △
1 L1
L3 α3
2 L2
3 L3
L1
L2 α1 α2
1 2 3
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不再平 行了，也不交于一点，故体系就变成了不可变系。这种在短 暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬变体系。
1、瞬变体系的几种情况 （1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结。如 果三根链杆互相平行又等长，体系是可变的。
例9
分析下图所示体系的几何构造。
【解】 首先，三角形ADE和AFG是两个无多余约束的几何不 变体系，分别以Ⅰ和Ⅱ表示。Ⅰ与地基Ⅲ间的链杆1、2 相当于瞬铰B，Ⅱ与地基Ⅲ间的链杆3、4相当于铰C。如 A、B、C三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不 变体系。
Байду номын сангаас
例10 试对图示体系作几何组成分析。
（3）判定结构是静定结构还是超静定结构，以便选择 正确的结构计算方法。
§2-1 几何构造分析的几个概念
1、几何不变体系和几何可变体系 在忽略变形的前提下，体系可分为两类： （1）几何不变体系：在任何外力作用下，其形状和位置 都不会改变。 （2）几何可变体系：在外力作用下，其形状或位置会改 变。
图a
没有多余约束 的几何不变体系
2）分析已组成的体系
例1：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体 结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
例3： 虚铰
o
刚片1 1
3 2
结论：没有多余约 束的几何瞬变体系。
地基作为刚片2
三、平面几何瞬变体系构造分析 例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联 结，分析其几何构造。
2、刚片 在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球或 体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平 面刚片。
3、自由度 所谓体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的 几何参数的数目；即确定体系位置所需独立坐标的数目。
平面内一点 平面内一刚片
y x
y A
3、三个刚片之间的联结方式
把规律2中的另1根 链杆也用刚片代替。
规律3：三个刚片用三个铰 两两相连，且三个铰不在一 条直线上，则组成几何不变 体系，并且无多余约束。
以上三条规律实际上可以归纳为一个基本 规律：三角形规律。
前面说过：一根链杆相当于一个约束，一个单铰 相当于两个约束，因此一个单铰可以用两根链杆来代 替，有：
多余约束对体系的自由度没有影响。只有非多余约 束才对体系自由度有影响。
几体不变体系及几何可变体系中都有可能有多余约 束。 如：
A
任一瞬变体系中必 然存在多余约束
5、瞬铰（虚铰） 连接两个刚片的，不直接相连接的两根单链杆构成 的联系，叫虚铰。虚铰的铰心在两根链杆（延长线）的 交点上。虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延 长线交于一点。 瞬铰 O O
绕瞬心转动！
联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。
虚铰的特点：如下图所示刚片Ⅱ不动，刚片Ⅰ以点C 为瞬时转动中心进行转动，只有一个自由度。经过一微小 位移后，两杆延长线的交点C的位置也发生了改变， C点 起到一个铰的作用。
6、无穷远处的瞬铰（虚铰） 如右图所示，刚片Ⅰ与基础由两根平 行的链杆相连，两链杆的交点在无穷远处。 由于瞬铰在无穷远处，因此绕瞬铰的 微小转动就退化为平动，即沿两根链杆的 正交方向平动。 无穷∞点和∞线的结论： （1）每个方向有一个∞点，即该方向各平行线的交点。 （2）不同方向有不同的∞点。 （3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。 （4）事有限点都不在∞线上。 相交在∞点
② 两对链杆平行
平行 链杆 组成无穷远铰的两对链杆 互相平行，体系是瞬变的。
平行 链杆
组成无穷远铰的两对链杆互相不平 行，体系是不变的。组成无穷远铰的两 对链杆互相平行又等长，体系是可变的。
③ 三对链杆都平行
体系是瞬变的。
例1： 5
3 1 2 02 例2:
01 03 6
结论： 铰O2、O3的连线与杆1、 杆2平行，因体系是无 多余约束的瞬变体系。
O
实铰
（3）三刚片用三个在一条直线上的铰两两联结。
在中间铰处两刚片有共同的运动趋势，因此它们 可沿公共切线作微小的运动，但一旦运动以后，三个
铰就不再共线，体系变成了不可变体系。
（4）三刚片用三对链杆联结 ① 其中有一对链杆平行 两虚铰的连线与组成无穷远 铰的链杆平行，体系是瞬变的。
平行 链杆
若两虚铰变成两实铰，且连线与组成无 穷远铰的链杆平行，体系也是瞬变的。若两 虚铰的连线与组成无穷远铰的链杆不平行， 体系是不变的。
E
O23
O12
D F D
Ⅰ
A B C
F
Ⅱ
A
C B
Ⅲ
例21
分析图示体系的几何组成。
抛开基础，分析上部，去掉二元 体后，剩下两个刚片用两根杆相 连故：该体系为有一个自由度的 几何可体系.
几何可变体系。
例11 分析图示链杆体系的几何组成。
C A E
无多余约束的几何不变体系。
B D F
例12 分析图示体系的几何组成。
A B C
D
无多余约束的几何不变体系。
例13 分析图示体系的几何组成。
C E
D
C
E
D
D
C
E
A
B
A
B
A
B
无多余约束的 几何不变体系。
无多余约束的 几何不变体系。
有一个无多余 约束的几何不变体 系。
例8
试对下图所示体系进行几何组成分析。
【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不 完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规则，只分 析上部体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆AC、EC固定C， 链杆BD、FD固定D，则链杆CD是多余约束，故此体系是 有一多余约束的几何不变体系。在本例中链杆AC、EC、 CD、FD及BD其中之一均可视为多余约束。
图b
几何可变体系又可分为两种： （1）几何常变体系：受力后可发生有限位移。 （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位移。
P P N 由于瞬变体系能产生很大 的内力, 故几何常变体系和几 何瞬变体系不能作为建筑结 构使用. 只有几何不变体系才 能作为建筑结构使用！！
β
A N
A P
A
β
Δ是微量
P N N
例14 分析图示体系的几何组成。
A B C D E
无多余约束的几何瞬变体系。
C
D
E
A
B
无多余约束的几何不变体系。
例15 分析图示体系的几何组成。
A D G E H B F
D
C
E
F A D C
G B
C
E
无多余约束的几何不变体系。
F A G
B
无多余约束的几何不变体系。
例16 分析图示体系的几何组成。
Ⅰ
§2-2
平面几何不变体系的组成规律
一、平面几何不变体系的组成规律
1、一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰 不在一条直线上，则组成几何不变体系，并且 没有多余约束。
二元体
两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。
规律1还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
利用规律1，可以组成所需的不变体系： 刚片1 二元体
2、两个刚片之间的联结方式
刚片
规律2：两个刚片用一个铰和 一根链杆相联结，且三个铰不
把规律1中的1根链杆 用刚片代替。
在一条直线上，则组成几何不 变体系，并且无多余约束。