物理学本科毕业论文

量子力学中微扰理论的简单论述

摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂,薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。

关键词:近似方法;非简并定态微扰理论;简并定态微扰理论

目录

1 非简并定态微扰论 0

1。1 理论简述 0

1。2 一级微扰 (2)

1.3 二级修正 (3)

1.4 非简并定态微扰的讨论 (5)

1.5 海曼—费曼定理 (6)

2 简并定态微扰论 (7)

2。1理论简述： (7)

2。2简并定态微扰论的讨论 (9)

3 结束语 (10)

致谢................................................... 错误!未定义书签。参考文献. (10)

0 引言

微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化,无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。

量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法。当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统.基本的方法是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大,复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态，波函数）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正.这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识,可以进而研究比较复杂的量子系统。

微扰理论可以分为两类,不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间。

1 非简并定态微扰论 1.1 理论简述

近似方法的精神是从已知的较简单的问题准确解出发，近似地求较复杂的一些问题的解，当然，还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。下面我们将讨论体系在受到外界与时间无关的

微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。［1］

假设体系的哈密顿量H 不显含t ，定态的薛定谔方程

H E ϕϕ=

满足下述条件：

（1）H 可分解为0H 和H '两部分0H 厄米,而且H '远小于0H ：

0H H H =+'

H '

0H

上式表示，H 与H '的差别很小，H '可视为加与0H 上的微扰。由于H 不显含t ,因此，无论0H 或是H '均不显含t 。

（2)0H 的本征值和已经求出，即在0H 的本征方程

0H (0)n ϕ=(0)n E (0)n ϕ

中，能级(0)n E 及波函数(0)n ϕ都是已知的。微扰论的任务就是从0H 的本征值和本征函数出发,近似求出经过微扰H '后,H 的本征值和本征函数。

（3）0H 的能级无简并，严格来说,是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并。例如,要通过微扰论计算H '对0H 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求无简并，它相应的波函数(0)n ϕ只有一个。其他能级既可以是简

并的，也可以不是简并的。［2］

（4）0H 的能级组成分立谱,或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分立谱内，(0)n E 是束缚态。

在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的0H 的本征值和本征函数近似求出H 的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小的参数λ,将H '写成λH '，将的微小程度通过λ反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是：

0()n n n n H H H E ϕλϕϕ=+='

将能级n E 和波函数n ϕ按λ展开:

(0)(1)(2)

2n n n n E E E E λλ=+++

(0)(1)(2)2n n n n λϕϕϕλϕ=+++

(1)n

E ，(2)n E ,…(1)n ϕ,(2)n ϕ,…分别表示能级n E 和波函数n ϕ的一级,二级…修正。

将上两式代入薛定谔方程中得:

0()H H λ+'((0)(1)(2)

2n n n λϕϕλϕ+++

)

=((0)(1)(2)

2n n n E E E λλ+++)((0)(1)(2)

2n n n λϕϕλϕ+++

)

然后比较上式两端的λ的同次幂,可得出各级近似下的方程式:

0λ： 0H (0)n ϕ=(0)n E (0)n ϕ

1λ： (0H -(0)n E )(1)n ϕ=-(H '-(1)

n

E )(0)n ϕ 2λ： (0H -(0)n E )=-(2)n ϕ(H '-(1)n E )(1)n ϕ+(2)n

E (0)

n ϕ ……

零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到

3λ,4λ……等各级的近似方程式.[3] 1.2 一级微扰

求一级微扰修正只需要求解(0H -(0)n E )(1)n ϕ=-(H '-(1)

n

E )(0)n ϕ。 由于0H 厄米,0H 的本征函数系

{}(0)

n

ϕ系展开

(1)

n

ϕ=(1)l l

a ∑(0)l ϕ 将此式代入1λ的近似薛定谔方程中的

为求出展开系数(1)l a ，以(0)k ϕ*

左乘上式并对全空间积分，利用

{}(0)

n

ϕ系的正

交归一性后，得

当n k =时,得