数学与哲学

数学与哲学的关系
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2013.12
数学文化读书报告
数学与哲学的关系
摘要：数学与哲学，自从它们诞生之日起，便有着千丝万缕的联系。

它们像一对恋人，相辅相成、共同发展；同时，它们也像一对情敌，相互争夺研究领域。

本文将对什么是数学，什么是哲学，二者间又存在什么样的关系做一个简单介绍。

关键词：数学、哲学、相互促进、争夺领域
1.数学与哲学
1.1什么是数学
数学是一门古老的基础学科，可以说整个理科的基础。

曾有人说数学是科学的皇后，她又是科学的奴仆。

我们现在认识到，数学并没有高于或低于其它学科，她与其它学科的关系是我中有你，你中有我。

在科学研究和人们的日常生活中，数学无处不在，具有不可替代的作用。

可以这样简单的给数学下个定义：数学科学是研究数量关系和空间形式的一个宏大科学体系，它包括纯粹数学，应用数学以及这两者与其它学科的交叉部分，它是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一体的学科，也是自然科学、技术科学、社会科学管理科学等的巨大智力资源。

数学不仅是研究其它自然科学与杜会科节的重要工具，它本身也是一种文化，数学从一个方面反映了人类智力发展的高度。

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经过几千年的发展，数学已经发展为一个庞大的学科，从代数到几何，从分析到最近兴起的经济数学及密码学，都曾出现过影响极大的著名的问题。

在数学发展的历史长河中，有些问题得到了解决，比如任何正整数都可以表示为四个平方数之和；有些问题至今没有得到解决，如哥德巴赫猜想：任何偶数都可以表示为两个素数之和。

数学与其他学科也是息息相关的。

有人把数学比作开启科学殿堂的钥匙，这个比喻相当形象。

特别是随着高性能计算机的发展和以信息高速公路为标志的信息社会的逐步到来以及世界经济全球化的发展趋势，使得所有学科的发展越来越依赖数学，从网络计算、信息安全、生物医学技术、计算机软件、通讯到经济金融、保险、投资政策各个领域。

1.2什么是哲学
哲学这个词是从希腊过来的，在希腊语里，本意是热爱智慧。

哲学的研究对象是一般的基本问题，这些问题关于物质与存在，关于知识，关于价值，关于推理，关于头脑，关于语言。

但也不是所有的哲学家都这么看：比如说有的哲学家认为哲学就只剩下语言学可研究了，因为语言学之外的问题都是语言学派生出来的问题。

哲学研究的方法跟其他学问的研究方法有点不一样，哲学采取批判性的一般系统性的方法，基于逻辑推理或基于可靠的合情推理。

2.数学与哲学的关系
如果稍微注意一下，你会发现这样一个有趣的现象，历史上很多知名的数学家也是有影响的哲学家，他们既研究数学也研究哲学。

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如：古希腊的泰勒斯(公元前624一前547)，他是著名的哲学家，希腊几何学的鼻祖，也是天文学家；古希腊的毕达哥拉斯(约公元前580一前497)，他是古希腊数学家、天文学家、哲学家，他发现了勾股定理，他的哲学基础是“万物皆数”；古希腊的德谟克利特(公元前460一约前370)，他是唯物主义哲学家，“原子论”的创立者，又是几何学家；法国的笛卡尔(1596—1650)，他是数学家、哲学家、物理学家，角析几何的奠基人之一;法国的莱布尼茨(1646—1716)，他是德国的数学家、哲学家、科学家。

他独立创建了微积分，并发明了优越的微积分符号,他在哲学上是客观唯心主义者，“单子论”是他的著名哲学观点。

众多学者同时精通数学和哲学，从一个角度反映了数学与哲学之间密切的联系。

那么这到底是一种怎样的联系呢？在我看来，数学与哲学既像是一对情敌，又像是一对恋人。

他们因为争夺研究领域而互不相让，又是在这种竞争和互相批判中共同发展。

2.1哲学指导数学的研究
哲学为数学发展起到了指导作用
在人类的科学手段、科学方法尚未达到真切认识事物的时候，哲学往往有很强的前瞻作用，这种认识往往会指导人类去准确定位客观事物，对科学的发展方向能够正确把握。

哲学作为人类认识世界的先导，其首先应当关注的是科学的未知领域，其往往对科学的发展有预言性定论。

在一门学科发展的萌芽阶段，其粗浅认识经常以哲学的形式出现。

数学也是如此，例如哲学家谈论无限与连续性在数学家说
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明无限与连续性之前。

希尔伯特曾直言不讳，他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念。

罗素从分析哲学的基本立场出发，坚持逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代的观点。

从这个意义上来讲，哲学实际上就是数学发展前进路上的方向盘。

数学作为空间形式和数量关系的科学，其研究的是客观世界的运动规律，因而其必然是唯物的。

数学对象是人类抽象思维的结果，无法脱离感性事物而独立存在。

数学是形式的，但决不是形式主义的。

数学的抽象形式离不开现实世界，在内容上仍与现实有着密切的关系，抽象的数学内容在现实世界中都能找到原型。

如平面几何的全等，就是反映了把两个现实对象相互贴附在一起的实际操作过程；微积分的概念，反映了自然界无限接近的结果。

不过，数学形式对客观现实而言，具有相对独立性。

数学理论住往仅通过内部因素交汇融合、震荡提炼，就会涌现出简明深刻、和谐统一的理论。

但是，我们应当充分认识到，这仅仅是暂时的形式脱离内容。

这种居高临下的发展态势，往往有助于人类进一步理解认识其他学科。

只有形式而无内容的事物是世界上没有的，数学的形式必须结合内容才会获得旺盛的生命。

那种在数学工作中人为的推广、盲目的抽象，往往会形成无足轻重的支流末节，不久就会在数学大地上干涸消失。

雄才大略的希尔伯特数学规划的破产就是不争的事实。

因此，数学研究必须以客观事物及其发展规律的客观实在性为前提，通过科学实践完成所要解决的课题。

辩证唯物主义克服了古代朴素唯物主义的缺点和唯心主义的局限性，是科学的世界观和方法论。

半个世纪以来，数学的发展呈现两个态势，即高度分化又高度
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综合。

分化越深人，综合就越需要，这是辨证统一的。

在数学研究中自觉地运用辩证唯物主义哲学做指导，就可能避免或减少片面性、局限性，否则数学的发展就可能会误人歧途，停滞不前。

数学发展史上有很多这样的实例，如古希腊宁愿使用“严格但相对贫瘠的穷竭法”而不采用根基松懈但很有效的“原子法”，正是由于深受柏拉图唯心主义的影响。

非欧几里德几何学诞生时，这一伟大的发现之所以不能立即被人接受，就连高斯这样伟大的数学家也不敢发表看法，正是由于康德哲学在作怪。

因此，哲学对数学发展的影响是深远的，正确的哲学思想无疑会极大促进数学发展，反之，错误的哲学思想会阻碍数学的发展。

哲学作为方法论，为数学提供有用的认识工具和探索工具
从实无穷小一潜无穷小一实无限与潜无限交叉，无穷小方法走过了漫长的曲折道路。

实无穷小方法是一种静态的思想方法，潜无穷小方法是一种动态的思想方法，两者是辨证统一的。

当人们认识充分到无穷小量方法和无限可分方法并非绝对对立，它们不仅具有内在联系，而且是相辅相成的，在一定条件下，还可以相互转化、相互借用的辨证统一后，无穷小方法在就有了突破性进展，因此就有了微积分的诞生的前提。

近代数学公理化进展中最重要且最有效的成果之一，就是明确地认识到数学的基本概念并不必须具体化，冲破了教条主义哲学的束缚。

再如：借用模型研究原型的功能特征及其内在规律的数学模型方法，在当今已成为解决科学技术及人脑思维等问题的最重要的一种常用方法。

它的主要特征是高度的抽象化和形
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式化。

那么，如何揭示和把握这种抽象形式结构的规律性呢?是运用数学变换方法。

它的思想基础是辩证法：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断的发展变化。

因此作为一个数学系统和数学结构，其组成要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的。

数学家们也正是利用这种可变的规律性，强化自身在解决数学问题中的应变能力，不断提高自己解决数学问题的思维能力和技能、技巧。

2.2数学推动哲学的发展
西方哲学发展的各个阶段都与数学有着千丝万缕的联系，数学不仅是哲学问题的重要来源和根据，而且为哲学的发展提供了丰富的土壤和环境。

历史上许多哲学家同时也是卓有成就的数学家，在他们眼里，数学与哲学是同宗同源的。

尽管哲学家们几乎对一切事物都提出过怀疑，但他们对数学的真理性却有着惊人一致的认同。

毋庸置疑，数学以其无与伦比的确定性和真理性与哲学结下了不解之缘，即使是由于非欧几何的创立以及许多非标准模型的建立而使其备受诘问的时候，这种状况也始终未有改变。

本体论的数学预设。

最早提出自然界数学模式的是毕达哥拉斯及他领导的毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派特别注重对事物的定量研究，取得了一系列的成就。

为数学的发展做出了贡献，也为其哲学思想提供了丰富的素材。

毕达哥拉斯学派坚信数学性质就是这些现象的本质，数学是解释自然不可或缺甚至是唯一的要素。

欧洲文艺复兴大潮使古希腊这种自然本体论的数学解释得以传播。

这种数学预设对西方哲学的影响既有显性的。

也有隐性的。

前者表现在早期的时空观念
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上，即强调空间是抽象的、绝对的，具有长、宽、高三个维度，而时间是事物运动或运动持续性的量度，是对运动的计数，这种时空观处处渗透着数学的精神。

隐性的影响则使哲学家坚信数学规律就是自然规律，这种理念的内化使他们形成了对物理世界的简单性理解和美学思维。

认识论的数学辩护。

近代哲学以主体性为主题，这种主体性原则就体现在启蒙主义的科学主义和理性主义之中，由此与认识论问题密切相关。

古代哲学基本沉浸在感觉经验之中，哲学家的工作是如何从感觉经验中抽象出普遍的概念规律来。

所以，古代哲学家思考的主要内容是自然界即客体，认识论的问题还没有真正触及。

近代以来，自然科学飞速发展、日新月异，科学的成功应用和巨大威力使人们为之顶礼膜拜，认识论问题随之成为哲学问题的焦点，即我们常说的“认识论的转向”。

人类的认识可以通向真理之路吗?对此，哲学家的答案是肯定的，而且以数学的真理性为之辩护，这成为这个时代西方哲学的一个主要特征。

无可辩驳的一点是，数学对确定性和真理性的追求极大地激发了哲学家追求真理的热情。

他们普遍认为客观世界存在着绝对真理(数学就是这种真理的典范)，哲学的任务就是引导人们探求这种绝对真理，进而使其成为科学之科学。

以确定性、逻辑性和演绎构造性为代表的理性精神成为西方哲学的代名词。

方法论的数学沉迷。

虽然哲学一直以来被看作是一切科学知识的基础，甚至被标榜为科学之科学，然而它的每一个原理却都存在着争论，很难想象在这样不稳定的基础之上能建立起确定的知识。

我们怎
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样才能使哲学成为普遍适用、无可争议的科学呢?从某种意义上来说解决这个问题的前提在于解决哲学方法论的问题。

由“公理+演绎”的数学方法概括而形成的“直觉+演绎”方法成为近代经验主义和理性主义的共同财富，而且还为后来西方哲学中直觉主义和演绎主义的分野提供了依据。

特别值得一提的是，在数学的启发下形成了近代哲学认识论、方法论的逻辑化倾向，即知识是按照逻辑(数学)的方式构建起来的公理化系统，它从第一原理推演而来，只要第一原理是可靠的，那么整个知识系统就是可靠的。

这种倾向一直贯穿于现代哲学和科学的发展之中。

数学与哲学就是这样相互作用，相互渗透，密切联系的。

哲学指导着数学的研究与发展方向，促进数学的发展。

哲学能概括总结出数学思维方法，从而用来提高研究数学的效率。

而数学的发展也必然对哲学的发展产生重要影响。

对数学获得的新成果和思想方法的重大进展，从哲学的高度加以总结概括，可以丰富和发展哲学本身的形式和内容。

哲学与数学之间是指导和被指导、改造和被改造、反映和被反映的辩证关系。

参考文献
1.冯进．非欧几何发展中的若干认识论问题[J]．科学技术与
辩证法，2003(3)。

2.张志伟．西方哲学十五讲[M]．北京：北京大学出版社．2004。

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3.郭彬彩，王庆东，侯海军编《数学史与数学家》．西安地图出版社，2002
4.林夏水．数学哲学[M]．北京商务印书馆，2003，34．
我对数学文化的定义：
类似于其他课程的概论，数学文化是对一切数学的思想、方法、涉及内容和知识体系的概括，这所有的内容反映出来的数学精神是数学文化的核心内容。

学习数学文化可以让我们从单个的、零散的知识块和数学方法中跳出来，对数学的研究方法和涉及领域有一个整体的认识，对数学有一个更深入的了解。

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