无交互作用双因素方差分析
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Yj=平均值
1
2
3
30.51 30.97 30.99
30.47 30.29 29.86
30.84 30.79 30.62
30.61 30.68 30.49
8
1）代入SSA计算式，得 SSA=3*[(30.82-30.59)2+ (30.21-
30.59)2+ (30.75-30.59)2]=0.681 2）计算SSB。
) 100%
5.4%
Re
( SSe SST
) 100%
64.7%
R 为A, B因素和残差占总体平方和的比率
12
2）将影响作饼图表示如下： 更能直观的观察各个因素及残差对输出的影响。
因素A 因素B 残差
13
例2，某商品有五种不同的包装方式（因素A），在 五个不同地区销售（因素B），现从每个地区随机 抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包 装的销售资料如下表.
30.84 30.79
水平3 30.99 29.86 30.62
6
1、将实际问题转化为统计问题。 转化的统计问题为：射出压力不同设置水平
时成形品尺寸是否相同：模腔温度不同水平设置对 成形品尺寸均值是否相同。
2、建立假设。 H0：μA1=μA2=μA3；μB1=μB2=μB3 Hα：至少有一个μAi与其它不等；至少一个μBi
xij - xgg
i=1 j=1
邋 ( ) ( ) r
=
s 轾犏臌(xig - xgg)+ xgj - xgg + xij - xig - xgj + xgg 2
i=1 j=1
邋 ( ) 邋 ( ) ( ) r
=s
s
xig - xgg 2 + r
2
r
xgj - xgg +
s
2
xij - xig - xgj + xgg
离差平方 和
SS
自由度 df
均方 MS
F值
A因素 SSA
r-1
MSA=S FA=MSA/MS
SA/(r-1)
E
B因素 SSB
s-1
MSB=S FB=MSB/MS
SB/(s-1)
E
误差
SSE
MSE=S (r-1)(s-1) SE/(r-
1)(s-1)
合 计 SST
rs-1
5
4.双因素无交互作用方差分析案例
包装方式(A)
A1 A2 A3 A4 A5 销 B1 20 12 20 10 14 售 B2 22 10 20 12 6 地 B3 24 14 18 18 10 区 B4 16 4 8 6 18 (B) B5 26 22 16 20 10
现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否有显著性影响。（a=0.05）14
SSB= 3*[(30.61-30.59)2+ (30.68-30.59)2+ (30.49-30.59)2]=0.057
3）计算SST。
rs
SST
(xij x)2 1.051
i1 j1
9
4）计算SSe。 SSe=SST-SSA-SSB=0.314
5）讲计算结果填入方差分析表格。
方差来源
1.数据结构
如果知道因素A 与因素B不存在交互作用，或交互 作用不明显，可以忽略不计，此时仅仅分析因素A 与因素B各自对试验的影响是否显著 安排在试验时，对因素A与因素B的每一种水平组 合，就只需要安排一次试验，这样就可以大大减 少试验的次数，相应的数据结构如下：
1
2
在无交互作用的双因素方差分析模型中因 变量的取值受四个因素的影响：总体的平 均值；因素A导致的差异；因素B导致的差 异；以及误差项。写成模型的形式就是：
i= 1
j= 1
i=1 j=1
邋 ( ) 邋 ( ) ( ) r
=s
s
xig - xgg 2 + r
2
r
xgj - xgg +
s
2
xij - xig - xgj + xgg
i= 1
j= 1
i=1 j=1
= SSA+ SSB + SSE
SSA
SSB
SSE
SST 4
3.无交互作用的双因素方差分析表
变差 来源
在注塑成形过程中，成形品尺寸与射出压力和模
腔温度有关，某工程师根据不同水平设置的射出 压力和模腔温度式样得出某成形品的关键尺寸如 下表，用方差分析两个因素对成形品关键尺寸是 否存在重要影响。
因素A：射出压力
水平1 水平2 水平3
因素B 模腔温度
水平1 水平2
30.51 30.97
30.47 30.29
与其他不等
3、确定可接受的α风险系数 α=0.05
4、进行方差分析 根据本节所讲的双因素无交互作用方差公
式，我们首先需计算SST、SSA、SSB、SSe， 然后用方差分析表进行分析即可。
7
1）计算SSA。SSB
r
SSA Q1 s (xi x)2 i 1
s
SSB r (x j x)2 j1
射出压力不同水平设置对应的成形品尺寸均值无 显著差异，模腔温度不同水平设置对应的成形品 尺寸均值无显著差异。 8)计算各因素及残差对输出的影响-----贡献率分析
通过计算各因素及残差对因变量y的影响，可以 更直观理解因素对输出影响的重要度
11
RA
( S SA SST
) 100%
64.7%
RB
( S SB SST
解：
若五种包装方式的销售的均值相等，则表明不同的 包装方式在销售上没有差别。
x 总平均值 r 因素A的水平数 s 因素B的水平数
本例中：s 3；r 3；x 30.59
xi 计算如下：
A因素水平 xi
Xi平均值
1
2
3
30.51 30.47 30.84
30.97 30.29 30.79
30.99 29.86 30.62
30.82 30.21 30.75
B因素水平 Yj
ìïïïïïï
邋 ( ) íïïïïïïïî
xij =
r
a
i=1
eij :
m+ ai i= 0 N 0,s
+ ,
2
b
j+
s
j=1
i=
eij bj= 0 1, 2,L
,
r;
j
=
1,
2,L
(可加性假定)
(约束条件) ,s (独立性、正态性、方差齐性假定)
3
2.离差平方和的分解
邋 ( ) r s
2
SST =
SOV
A因素影响 B因素影响 误差影响
总和
平方和 自由度 均方和
SS
df
MS
0.681
2
0.34
0.057
2
0.028
0.314
4
0.078
1.052
8
F值 Fc值 Fcrif
6.94 6.94
10
6）查F0.05(2,4)对应的F分布表，得Fcrit=6.94
7）比较FA和Fcrit，因为FA<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0； 比较FB和Fcrit，因为FB<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0；
1
2
3
30.51 30.97 30.99
30.47 30.29 29.86
30.84 30.79 30.62
30.61 30.68 30.49
8
1）代入SSA计算式，得 SSA=3*[(30.82-30.59)2+ (30.21-
30.59)2+ (30.75-30.59)2]=0.681 2）计算SSB。
) 100%
5.4%
Re
( SSe SST
) 100%
64.7%
R 为A, B因素和残差占总体平方和的比率
12
2）将影响作饼图表示如下： 更能直观的观察各个因素及残差对输出的影响。
因素A 因素B 残差
13
例2，某商品有五种不同的包装方式（因素A），在 五个不同地区销售（因素B），现从每个地区随机 抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包 装的销售资料如下表.
30.84 30.79
水平3 30.99 29.86 30.62
6
1、将实际问题转化为统计问题。 转化的统计问题为：射出压力不同设置水平
时成形品尺寸是否相同：模腔温度不同水平设置对 成形品尺寸均值是否相同。
2、建立假设。 H0：μA1=μA2=μA3；μB1=μB2=μB3 Hα：至少有一个μAi与其它不等；至少一个μBi
xij - xgg
i=1 j=1
邋 ( ) ( ) r
=
s 轾犏臌(xig - xgg)+ xgj - xgg + xij - xig - xgj + xgg 2
i=1 j=1
邋 ( ) 邋 ( ) ( ) r
=s
s
xig - xgg 2 + r
2
r
xgj - xgg +
s
2
xij - xig - xgj + xgg
离差平方 和
SS
自由度 df
均方 MS
F值
A因素 SSA
r-1
MSA=S FA=MSA/MS
SA/(r-1)
E
B因素 SSB
s-1
MSB=S FB=MSB/MS
SB/(s-1)
E
误差
SSE
MSE=S (r-1)(s-1) SE/(r-
1)(s-1)
合 计 SST
rs-1
5
4.双因素无交互作用方差分析案例
包装方式(A)
A1 A2 A3 A4 A5 销 B1 20 12 20 10 14 售 B2 22 10 20 12 6 地 B3 24 14 18 18 10 区 B4 16 4 8 6 18 (B) B5 26 22 16 20 10
现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否有显著性影响。（a=0.05）14
SSB= 3*[(30.61-30.59)2+ (30.68-30.59)2+ (30.49-30.59)2]=0.057
3）计算SST。
rs
SST
(xij x)2 1.051
i1 j1
9
4）计算SSe。 SSe=SST-SSA-SSB=0.314
5）讲计算结果填入方差分析表格。
方差来源
1.数据结构
如果知道因素A 与因素B不存在交互作用，或交互 作用不明显，可以忽略不计，此时仅仅分析因素A 与因素B各自对试验的影响是否显著 安排在试验时，对因素A与因素B的每一种水平组 合，就只需要安排一次试验，这样就可以大大减 少试验的次数，相应的数据结构如下：
1
2
在无交互作用的双因素方差分析模型中因 变量的取值受四个因素的影响：总体的平 均值；因素A导致的差异；因素B导致的差 异；以及误差项。写成模型的形式就是：
i= 1
j= 1
i=1 j=1
邋 ( ) 邋 ( ) ( ) r
=s
s
xig - xgg 2 + r
2
r
xgj - xgg +
s
2
xij - xig - xgj + xgg
i= 1
j= 1
i=1 j=1
= SSA+ SSB + SSE
SSA
SSB
SSE
SST 4
3.无交互作用的双因素方差分析表
变差 来源
在注塑成形过程中，成形品尺寸与射出压力和模
腔温度有关，某工程师根据不同水平设置的射出 压力和模腔温度式样得出某成形品的关键尺寸如 下表，用方差分析两个因素对成形品关键尺寸是 否存在重要影响。
因素A：射出压力
水平1 水平2 水平3
因素B 模腔温度
水平1 水平2
30.51 30.97
30.47 30.29
与其他不等
3、确定可接受的α风险系数 α=0.05
4、进行方差分析 根据本节所讲的双因素无交互作用方差公
式，我们首先需计算SST、SSA、SSB、SSe， 然后用方差分析表进行分析即可。
7
1）计算SSA。SSB
r
SSA Q1 s (xi x)2 i 1
s
SSB r (x j x)2 j1
射出压力不同水平设置对应的成形品尺寸均值无 显著差异，模腔温度不同水平设置对应的成形品 尺寸均值无显著差异。 8)计算各因素及残差对输出的影响-----贡献率分析
通过计算各因素及残差对因变量y的影响，可以 更直观理解因素对输出影响的重要度
11
RA
( S SA SST
) 100%
64.7%
RB
( S SB SST
解：
若五种包装方式的销售的均值相等，则表明不同的 包装方式在销售上没有差别。
x 总平均值 r 因素A的水平数 s 因素B的水平数
本例中：s 3；r 3；x 30.59
xi 计算如下：
A因素水平 xi
Xi平均值
1
2
3
30.51 30.47 30.84
30.97 30.29 30.79
30.99 29.86 30.62
30.82 30.21 30.75
B因素水平 Yj
ìïïïïïï
邋 ( ) íïïïïïïïî
xij =
r
a
i=1
eij :
m+ ai i= 0 N 0,s
+ ,
2
b
j+
s
j=1
i=
eij bj= 0 1, 2,L
,
r;
j
=
1,
2,L
(可加性假定)
(约束条件) ,s (独立性、正态性、方差齐性假定)
3
2.离差平方和的分解
邋 ( ) r s
2
SST =
SOV
A因素影响 B因素影响 误差影响
总和
平方和 自由度 均方和
SS
df
MS
0.681
2
0.34
0.057
2
0.028
0.314
4
0.078
1.052
8
F值 Fc值 Fcrif
6.94 6.94
10
6）查F0.05(2,4)对应的F分布表，得Fcrit=6.94
7）比较FA和Fcrit，因为FA<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0； 比较FB和Fcrit，因为FB<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0；