[理学]线性代数第1讲

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第一章
行列式
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第1章 行列式
第一讲 二阶与三阶行列式
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一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 பைடு நூலகம் b2 .
1 2
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
线性代数
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线性代数绪论
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问题：
1、什么是线性代数？ 2、为什么要学线性代数？ 3、怎么做才能学好线性代数？
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一、什么是线性代数？
（一）线性
一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为 一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性” 函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。
2、抽象性是线性代数的最大特点。所谓的抽象， 主要指的是我们研究的全是代数，不是具体的数。 因此，面对抽象性，我们要能做到使抽象具体化。 当把代数用具体的数来代替时，自然就不抽象了。
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3、 概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容 相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程 的主要特点，应充分理解概念，掌握定理的条件、 结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、 计算方法，并及时进行总结，抓联系，使所学知识 能融会贯通，举一反三。
对于线性方程组我们主要研究三个问题:
1、是否有解?
2、有唯一解还是有无穷多解? 3、有无穷多解的话通解怎么表示? (通解是指线性方程组所有解的代数表示)
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（二）矩阵
矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着 越来越重要的作用：
用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销 矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用； 数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度 图像就对应着一个矩阵；
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
“代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传 入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859 年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译 成为“代数学”，一直沿用至今。
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历史上《线性代数》的第一个问题是关于解线 性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成 了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展， 这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最 初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是 实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1

b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2

a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
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定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事情。 没什么再值得研究学习的，是这样的吗？
线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2

b1 b2
是不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？
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前面的方程组有两个未知量，那如果有五个， 十个，一百个…把未知量的个数再代数一下，n个 未知量呢？
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的 要求也促使了《线性代数》的进一步发展。
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二、为什么要学线性代数：
（一）线性方程组
求解线性方程组是数学问题中最重要的问题， 超过75 %的科学研究和工程应用中的数学问题，在 某个阶段都涉及线性方程组的求解。
线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已经
y ax b
y ax
线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系
线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法，
只有数乘和加减。
线性代数研究的都是线性问题!
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（二）代数
代数学的英文名称是algebra，是9世纪阿拉伯 数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原 与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正 负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就 是把本来淹没在方程中的x把它暴露出来，还原了 x的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的。
具体在学习过程中，希望大家做到以下几点：
(1)课前预习，认真听讲，课后复习，亲自练习； (2)注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运 用基本方法及基本运算；
(3)知识要成网。
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线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和 向量组。
这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题 在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一 种理论的叙述转移到另一种上去，是学习线性代数 时应养成的一种重要习惯和素质。
著名的搜索引擎Google则应用了矩阵的特征值和特 征向量理论； 矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分 析及自动控制理论中不可缺少的工具。
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（三）向量、向量组、向量空间
对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关 理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念 知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。
进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。 这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰 的认识。
（四）考研的需要
数学一：高等数学、线性代数和概率与统计
数学二：高等数学和线性代数
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三、怎么做才能学好线性代数：
1、线性代数是大学几门数学课里相对来说最容易 的，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学， 每个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无多 大关系。因此，现在每位同学是在相同的起跑线上 的，要对自己有信心。
2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,