时程分析法

结构动力响应分析-振型叠加法
2．计算步骤 (1)建立结构运动方程式(25)。 (2)求结构自振频率 i 和振型 i (i 1, 2,
m, m n) 。 m, m n) 。
(3)计算广义质量 M i 和广义荷载 Fi (i 1, 2,
结构动力响应分析-振型叠加法
(4)计算每个独立方程式(30)的动力响应。 可用杜哈梅积分求解
结构动力响应分析-直接积分法 1 1
5 6
若离散后结构的最小周期为 T1 ，则当步长 t ( ~ )T1 时，该法
才是稳定的。最小周期的量级是相当小的。例如，平面三结点三 角形单元网格，如忽略阻尼，时间步长的上界可由下式估算
(t ) 2
(1 )
E
xy
(37)
式中， E 为弹性模量， 为泊松比， 为材料密度， x 、 y 为最 小网格间距。对于混凝土结构，若取 x y 1m ，由上式得到的 步长上界为 0.0003 秒。可见，为了保证计算结果的稳定性，需要 减小步长，耗费机时，否则计算结果将失去意义。因而该法需要 改进，下面的 Wilson- 法较好地解决了这一问题。
t t
6 6 2 ( t t t ) t 2 t t t 3 t ( t t t ) 2 t t t 2
(32) (33)
t t
结构动力响应分析-直接积分法
t t 可由 t t 时刻的运动方程求得，该方程为：
1 t ii ( t ) ' yi (t ) yi 0 F ( ) e sin i (t )d ' 0 i M ii
式中 i' i 1 i2 为考虑阻尼时自振频率。 yi 0 为初始条 件引起的自由振动响应。若初速度和初位移均不为零， 则
yi (0) yi (0)ii ' ' yi 0 (t ) e sin it yi (0) cos it ' i (5)计算结构动力响应； (t ) Y
(a)
(a) 式两边对 积分


0
t d t d
0


t
( t t )d
得
t t t
2
2t
( t t t )
(b)
(b) 式两边对 再积分，得
t t t
2
2t
结构动力响应分析-直接积分法
直接积分法与振型迭加法不同，无需先进行振型分析，也 不对运动方程进行基底变换，而是直接对运动方程进行逐步数 值积分。 直接积分法的基本思想是： (1)对时间离散时，不要求任何时刻都满足运动方程，而仅 要求在离散点上满足运动方程。 (2)在时间间隔 t 内位移、 速度和加速度的变化规律及其间 关系是假设的，采用不同的假设得到不同的直接积分法。
(b)
结构动力响应分析-直接积分法
在(b)两式中令 t ，得
t t t t
2 ( t t t )
t t t t t
t
2
2
3
t
t
2
2
(c)
t t
6
由(c)两式可求得 t t 、 t t 与 t t 和 t 时刻状态向量的关系：
1 2
n
(27)
为振型矩阵。 Y [ y1 y2 yn ]T 为振型坐标或广义坐标向量，它是时间的函数。
结构动力响应分析-振型叠加法
将式(26)代入式(25)，并注意到 i 不随时间变化，得：
M Y CY K Y F (t )
用 i (i 1, 2,
线性变化，故荷载向量在 t 内也为线性变化（图 7） ：
Ft t Ft (Ft t Ft )
(38)
t 时刻的运动方程为：
Mt t Ct t Kt t Ft t
(40)
Leabharlann Baidu构动力响应分析-直接积分法
图 7 t 内载荷变化
iT M (0) yi Mi T y (0) i M (0) i Mi (i 1, 2, (i 1, 2, n)
(31)
n)
这样，就得一组 n 个自由度的联立方程(25)，分解为 n 个独立的 单自由度运动方程(31)。解出每个振型坐标 yi 的响应，然后按(26)式 叠加，即可得到用原坐标 (t ) 表示的响应。
(28)
n) 左乘式(28)两边各项，并考虑正交条件
iT K j 0 (i j ) iT M j 0 (i j )
若采用瑞利阻尼 C M K ，则同时有
iT C j 0 (i j)
结构动力响应分析-振型叠加法
于是可得 n 个解耦的二阶线性方程：
t (0.06 ~ 0.1)T 即可求得较好结果， T 为地震波的卓越周期。
结构动力响应分析-直接积分法
Wilson- 法是一种比较有效的方法，现列出其计算步骤如下：
Mt t Ct t Kt t Ft t
(34)
将 (32)、(33)式代入(34)式，得
Kt t t t Ft t
(35)
式中
Kt t K Ft t 6 3 M C (t )2 t 6 6 3 t Ft t M ( 2 ) C ( 2 t ) t t t t 2 t (t ) t t 2
ii ( t )
结构动力响应分析-振型叠加法
应该指出．结构对于大多数类型荷载的响应，一般低 阶振型起的作用大，高阶振型的作用趋小；且有限元法对 于低阶特征解近似性好，高阶则较差，因而．在满足一定 精度的条件下，可舍去一些高振型的影响。例如工程结构 的地震响应仅要求考虑前十阶或十几阶低阶振型即可。
( t t t )
(c)
结构动力响应分析-直接积分法
当 t 时，有
t t t
t t t t t 2 2
(d) (e)
t t
t 2 t 2 t t t t t t 3 6
由(d) (e)二式可求得 t t、t t、t t 与 t 时刻状态向量的关系：
结构动力响应分析-直接积分法
将(38)式代入(40)式，即可求得 t t ，然后，在(a)、(b)式中令
t ， 并考虑式(38)的第一式， 可求得 t t 时刻的状态向量。
以 t t 时刻作为新的起点时刻，重复上述过程，即可求得动 力响应全过程。 可以证明，当 1.37 时，该法是无条件稳定的。但随着 增大，计算误差也增大，因此通常取 1.4 。在地震荷载作 用下，对于一般阻尼比为 5% 的钢筋混凝土结构，时间步长
度法、Wilson-θ 法，Newmark 法。
结构动力响应分析-直接积分法
(一)线性加速度法 该法假定在时间间隔 t 内，加速度呈线性变化(如图 5 示)。
图 5 线性加速度示意
结构动力响应分析-直接积分法
t t
t ( t t t ) (0 t )
t t t t
6 6 2 2 ( t t t ) t 2 t t t 3 t ( t t t ) 2 t t t 2
(38)
结构动力响应分析-直接积分法
t t 可由 t t 时刻的运动方程求得。考虑到 t 内加速度
结构动力响应分析-直接积分法
（二） Wilson- 法 Wilson- 法假定在某一时间间隔 t 以外，加速度仍可 线性外推（图 6 ） ，然后采用某一大于 t 的时间间隔
t ( 1) 计算出响应值后，再线性内插得到 t 时间内的实
际响应值。当 1 时，该法即退化为线性加速度法。
(36)
结构动力响应分析-直接积分法
这样，由已知的 t 时刻状态向量 t 、 t 、 t 和 t t 时刻 的荷载 Ft t ，便可由(37)、(32)、(33)式求得 t t 时刻的状态 向量 t t 、 t t 、 t t 。重复上述过程，即可求得动力响应 全过程。 若每个步长 t 相等，则 Kt t 为常量，只要分解一次，以 后每次计算只是简单的回代。 该法假定步长 t 内加速度线性变化，故 t t 为常量，更 高阶微分为零，因此其截断误差为四阶。
第4讲 时程分析法
§4-1 弹性时程分析法 §4-2 弹塑性时程分析法
结构动力响应分析
动力响应分析就是求系统运动方程
(t ) C (t ) K (t ) F (t ) M
满足初始条件
( 0)
(25)
(0) 的解，即求结构在动荷载 ，
(t ) 和加速度 (t ) 。 F (t ) 作用下位移 (t ) 及速度
结构动力响应分析-直接积分法
图 6 Wilson-θ法示意
由图 2 可见， 时刻的加速度为：
结构动力响应分析-直接积分法
t t (t t t )(0 t ) t
(a)
(a)式两边对 积分两次并移项得：
t t
2 t t ( t t t ) 2t 2 1 3 t t t ( t t t ) 2 6t
Mi yi Ci yi Ki yi Fi (t )
(29)
或写成
yi 2ii yi i2 yi Fi (t ) Mi
(30)
式中
M i iT M i Ki iT Ki i2 M i Ci iT Ci 2ii M i Fi (t ) iT F (t )
结构动力响应分析-直接积分法
直接积分法的计算过程是： 假设：t 0 时刻的状态向量：t 0、t 0、t 0 是已知的；如 将时间求解域 0 t T 进行离散，即可由已知的 t 0 时刻的状 态向量计算 t 0 t 时刻的状态向量，进而计算 t t t 时刻 的状态向量，直至 t T 时刻终止，这样便可得到动力响应全过 程。 直接积分的方法很多，各种方法在数学上的收敛性和稳定 性不同．计算精度也不同。本章仅介绍工程中常用的线性加速
求解结构的动力响应有两种基本方法： 振型叠加法和直接 积分法。前者用于解线性结构的动力响应；后者既可用于解线 性结构也可在增量法中用于解非线性结构的动力响应。
结构动力响应分析-振型叠加法
1. 基本思想 振型叠加法又称振型分解法。其基本思想是通过坐标变换， 将一个多自由度体系的 n 个耦合运动方程，分解为 n 个非耦合运 动方程，问题的解为 n 个非耦合运动方程解的线性组合。 n 个自由度的结构一般有 n 个固有振型，可构成 n 个独立的 位移模式。结构任意位移状态可表示为这 n 个独立位移模式的线 性组合： (26) (t ) 1 y1 (t ) 2 y2 (t ) n yn (t ) Y 式中：
式中 i 为第 i 振型阻尼比， M i , Ki , Ci , Fi 相应称为广义质量、广 义刚度、广义阻尼和广义荷载。
结构动力响应分析-振型叠加法
初始条件 (0) 和 (0) 也可通过变换
(0) Y (0), (0) Y (0)
每式两边同乘 i M ，考虑 与 M 的正交性质，得：