力法的原理与方程

6 81 EEII11
62
6 1166066 k3EI1 2
25612 3EI1
2
288k 144 kEI1
6m
超静q=定20结kN构/m由荷载产生 的内↓力↓↓与↓↓↓各↓↓↓杆↓↓刚↓ 度的相对 比值有关，与各杆刚度的 绝对值无关。
基本体系 X1
6
6
M
X1=1
160
53.33
M图(kN.m)
由已知的弯矩求剪力求轴力
基本方程—位移条件（变形协调条件）。
当ΔB=Δ1=0
〓
X1<<=> RB
Δ1=Δ11+ Δ1P=0
δ11
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
力法的特点： 由基本体系与原结构变形 一致达到受力一致
+
×X1 X1 =1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
二、多次超静定结构的计算 P
P
X2
P
2 P
80
8.9 FQ图(kN) ＋
－
FN图(kN)
－
53.33 160
M图(kN.m)
由M图画出变形曲线草图
4.65m 2.1m
二、超静定排架计算
II 3
J
II 1
I
J
I2
I4
排架主要分析柱子
柱子固定于基础顶面 不考虑横梁的轴向变形
2.6m
II
不考虑空间作用
3
6.75m
11 X 1 12 X 2 1P 0
I4
21 X 1 22 X 2 2P 0
X1 X1
X2 X2
43.2kN m
17.6kN m
↑↑↑↑↑↑↑↑
↑↑↑↑↑↑↑↑ 12kN/m
二、超静定排架计算
XX1 1=1
4m 2m 12kN/m
EI
EI
2
2
24
2EI
2EI
M1
MP
基本体系
6
6
216
11
1 2EI
66 2
26 3
1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法)
X1
P
X1=1
对对称称231111XX结结X211111113X构构X1123在在1222XX3X1对反222231232称对XXX231223233荷称33XXX333载荷2313作载PPP2231PPP用作0000000下用，下内，力内X一、力2 般变、荷X形变3载X2及形位及P移位2 是移对是称反的对M。称1 的。
Force Method
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数 §6－2 力法的基本概念 §6－3 超静定刚架和排架 §6－4 超静定桁架和组合结构 §6－5 对称结构的计算 §6－9 支座移动和温度改变时的计算 §6－10 超静定结构位移的计算
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数
a) 静定结构
（1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰
撤 除
支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
约
束 （2）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支
的 方
座，等于撤除两个约束。
式
（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
撤除约束时需要注意的几个问题：
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
a l
M
EI l
11
M
2 1
dx
EI
1C FR c
a
Δ1=δ11x1+Δ1c= θ
4）解方程，求多余未知力Xi；
5）叠加最后弯矩图。 M Mi Xi M P
力法计算步骤可归纳如下：
1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力Xi；
5）叠加最后弯矩图。 M Mi Xi M P
n1 X 1 n2 X 2 ............... nn X n nP 0
力法典型方程
n次超静定结构
11 X 1
12 X 2
............... 1n X n
nP
0
21 X 1
22 X 2
............... 2n X n
2P
0
力法方程降阶 2）取（反）对称荷载
X2=1 X2
X3=1
如果荷载对称，MP对称， Δ3P=0，X3=0；
M2
0.5P 0.5P
M3
0.5P 0.5P
如果荷载反对称，MP反对称，
Δ1P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0。
M P
M P
用力法计算作图示结构的弯矩图。
4.5
4.5
X1
↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑
反对称荷载——绕对称轴对 这后，对称轴两边的荷载等值、 作用点重合、反向。
q
P
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P1
P1
对称轴
对称荷载
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
Pa
P/2 a a P/2
P/2 a a P/2
P1
P2 F
F
W
W
一般荷载
对称荷载
反对称荷载
P1=F+W，P2=W—F
3、利用对称性简化计算：
11X1 1P 0 22X2 2P 0
解得： X1 4.5 X2 1.5
M Mi X i M P
§6－9 温度改变、支座移动时超静定结构的内力
由于超静定结构由多余约束，所以在 无荷载作用时，只要有发生变形的因素， 都可以产生内力（自内力）。
a）荷载作用； 产生位移（变形）的主要原因：b）温度改变和材料胀缩；
§6-3 超静定刚架和排架 q=20kN/m
一、刚架
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
11
X
1
1P
0
512 1P EI1
11
288 k 144 k EI1
X1
1P
11
320k
92k 1
I1
I2 I2=k I1
I2
8m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
160
MP
X1
k1 2
80 kN 9
M M1X1 MP
111P
1P
21
11
X1 1
（1）基本结构 悬臂梁
（2）基本未知力
X1
22
X2 1
12
（3）基本方程 1 0 （4）系数与自由项2 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
（5）解力法方程 X1 X 2
（6）内力
M M1 X1 M2 X2 MP
自由项ΔiP表示基本体系由荷载产生的Xi方向上的位移
ii
M
2 i
ds
0,
EI
ij
MiM EI
j
ds
0 0,
计算刚架的位移 时，只考虑弯矩的影
0 响。但高层建筑的柱
0
iP
MiM P ds 0 EI
0
要考虑轴力影响，短 而粗的杆要考虑剪力 影响。
n次超静定结构
11 X 1
12 X 2
同一结构可以选取不同的基本体系
P
P
X2
X1 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。
X2
P
X1
P
X2
X1
？
1 0 2 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
二、多次超静定结构的计算
对于 n 次超静定结构有n个多余未知力X1、 X2、…… Xn，力法基 本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，
160
53.33
53.33 FQCD C
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D
8m
53.33
80 ＋
－
8.9
M D 53.33 20 8 4 53.33 FQCD 8 0
M图(kN.m)
－
FQCD 80kN 80
X 0
8.9
FNCD
Y 0
FNCA
160
－
80 80
FN CD 8.9kN FN CA 80kN 8.9
8kN/ m 3m
3kN/ m
M图(kN.m)
9
18
3m
3m
X2
MP
36
11
1 EI
33 3
2
18 EI
,
X1=1
3
3
22
2 EI
33 3
33
72 EI
,
12 21 0
M1
3
3
X2=1
M2 3
3
1P
1 EI
1 3 36 3
33 4
81 EI
,
2P
1 EI
1 3 36 3 3
108 EI
1） iP , ij 的物理意义；
ij
2）由位移互等定理 ij ji ； 位移的地点
产生位移的原因
3） ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
4）柔度系数及其性质
对称方阵
11 12 ........... 1n
21
22
...........
2
n
....................................
如E2A2和E3A3都趋于无穷大，则X1趋于5ql/8，横梁的弯矩图
接近于两跨连续梁的弯矩图。
如E2A2 或E3A3趋于零，则X1都趋于零，横梁的弯矩图接近于简 支
梁的弯矩图。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/32 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/8
Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0，将它们展开
11 X 1
12 X 2
............... 1n X n
nP
0
21 X 1
22 X 2
............... 2n X n
2P
0
....................................................................
....................................................................
n1 X 1 n2 X 2 ............... nn X n nP 0
1）iP,ij 的物理意义；
δii表示基本体系由Xi=1产生的Xi方向上的位移 δij表示基本体系由Xj=1产生的Xi方向上的位移
c）支座沉降和制造误差
有支座移动时的弯矩图
EI
1） X1 a
θ
l
M1
X1=1
11
M
2 1
dx
EI
1C FR c
a
Δ1=δ11x1+Δ1c=－a
δ11=
l3 3EI
Δ1c=－θl
X1=
3EI l2
a l
3EI la l源自M有支座移动时的弯矩图
X1 2) a
a
1
X1=1 M 1
1/l
3EI l
§6－5 对称结构(symmetrical structure)的计算
1、结构的对称性：对称结构是几何形状、支座、刚度都对称.
EI
EI
EI
对称轴
EI EI
对称轴
m
↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑E↑I1
EI2
l/2
P1
P
EI1
EI2 l/2
a/2
a/2
q 对称轴
P1
2、荷载的对称性：
反对称荷载对称轴对称轴
对称荷载——绕对称轴对折 后，对称轴两边的荷载等值、作 用点重合、同向。
............... 1n X n
nP
0
21 X 1
22 X 2
............... 2n X n
2P
0
....................................................................
n1 X 1 n2 X 2 ............... nn X n nP 0
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个静定结构（基本
体系），然后让基本体系在受力方面和变形 方面与原结构完全一样。
一、力法基本思路
2、力法的三个基本概念: 基本未知量—多余未知力X1；
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
RB
基本体系—静定结构(悬臂梁)；
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，
举例
撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次
1
2
共七次超静定
不能撤除作支为杆多1后余体约系成束为的瞬变是杆 1、2、 5
§6－2 力法的基本概念
一、力法基本思路
是无多余约束的几何不变体系。 b) 超静定结构
是有多余约束的几何不变体系。 由此可见：内力超静定，约束有多余，是超 静
定结构区别于静定结构的基本点。
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数
超静定次数确定
超静定次数=多余约束的个数
把原结构变成静定结构 时所需撤除的约束个数
=
多余未知力的个数 =未知力的个数—平衡方程的个数
1 EI
1 2EI
22 2
22 3
2
224 3EI
1P
1 2EI
6 216 3
36 4
1 1 2 24 3 2 984
54
EI 2EI 3 4 EI
X1
1P
11
13.18kN
136.92
M kN.m
79.08
5ql 4
X1 由上式111P：横4梁8lE由31I于1 下3E部82h4A桁E21架I1的2h支2cE承33，A3弯MF矩N 大MF为N11减XX1小1。MFNPP FN1X1
n1
n2
...........
nn
系数行列式之值>0
主系数 ii 0
0
副系数 ij 0
0
5)最后内力 M M 1 X 1 M 2 X 2 .......... ... M n X n M P
13
力法计算步骤可归纳如下：
1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；