几个空间向量公式就在这里了
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空间向量知识点
设点P 分有向线段⇔所成的比为λ，即1PP u u u r ＝λ2PP u u u r
，
121x x x λλ+=
+，121y y y λλ+=+，12
1z z z λλ
+=+（1R λλ∈≠且）
中点公式：122x x x +=，122y y y +=，12
2z z z +=
三角形重心公式：1233x x x x ++=，1233y y y y ++=，123
3z z z z ++=
u u u r
●建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻
边为x 轴，y 轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为x 轴，y 轴；3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为x 轴，y 轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为x 轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为y 轴。
空间向量的应用（1）
A
D
B
C α
n θ
P
O
A
α
n 2
n 1
n 1
θ β
α
ι
β
A
C
D
B
α 6、求直线和直线所成的角 若直线CD AB ,所成的角是θ，
CD
AB CD AB CD AB ⋅⋅=
><=,cos cos θ
7、求直线和平面所成的角
已知PA 为平面α的一条斜线，n ρ
为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA ，则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为
θ
，易得
PA
n PA n AP n AP OP ⋅⋅=><=><=ρρρ
,cos ,cos sin θ
8、已知两平面的法向量, 求二面角的大小
在二面角中βα--l ，1n 和2n 分别为平面α和β的法向量，若二面角βα--l 的大小为θ，则：
2
12
121,cos cos n n n n n n ρρρρ⋅⋅=><=θ
(依据两平面法向量的方向或实际图形，来确定θ是锐角或是钝角)
8、已知二面角棱的两垂线, 求二面角的大小
在二面角βα--l 内，βα⊂⊥⊂CD l AB AB ,,，
,l CD ⊥ 设θ为二面角βα--l 的大小，则：
CD
AB CD AB CD AB ⋅⋅>=
<=,cos cos θ
例题：
1、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
B
（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标； （2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．
解：(1) A (2, 2, 0)，B 1(2, 0, 2)，E (0, 1, 0)，D 1(0, 2, 2)
(2)∵ → AB 1 ＝(0, -2, 2)，→ ED 1 ＝(0, 1, 2) ∴ |→ AB 1 |＝22 ，|→
ED 1 |＝5 ，→ AB 1 ·→
ED 1 ＝0－2＋4＝2,
∴ cos 〈→ AB 1 ，→
ED 1 〉 ＝ → AB 1 ·→ ED 1 |→ AB 1 |·|→ ED 1 | ＝ 222×5
＝ 1010 ．∴ AB 1与ED 1所成的角
的余弦值为10
10 ．
2、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知C A ⊥平面ABB 1A 1，AB ＝AA 1＝1.(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若AC ＝2，求点A 到平面BB 1C 1C 的距离；(3)若二面角B －B 1C －A 为600，求AC 的长.
（1）证：11111ABC A B C CA -⎫
⎪
⊥⇒⎬⎪=⎭
11是正三棱柱平面ABB A 中点AB=AA
11AC
AB AC AB A ⊥⎫⎪
⇒⊥⇒⎬⎪=⎭
I 1111A B 四边形ABB A 是正方形A B
A 1
B ⊥平面AB 1C
（2）解：∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴点A 到平面BB 1C 1C 的距离即为A 到BC
的距离，作AD ⊥BC
，BC A 到平面BB 1C 1C 的距离
AD ＝
AB AC
BC g
（3）解：（空间向量法）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-BA 1C ，则B （ 1，
0，0），B 1（1，1，0），C （0，0，c ），平面AB 1C 法向量1n u r
＝（—1，1，0），平面BB 1C
法向量2n u u r ＝（x ，y ，z ），1BB u u u r =（0，1，0）, BC uuu r =（—1，0，c ）, ∴00y x cz =⎧⎨-+=⎩
,∴令
z=1,则x ＝c ，∴2n u u r
＝（c ，0，1），
Cos600＝1212||||||n n n n u r u u r
u r u
u r ＝1
2＝12
，22422c c =+，解得c ＝1，
所以AC 长为1 。