(苏教版)高中数学必修三(全册)精品教学案汇总

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第1章算法初步

1．2013年全运会在沈阳举行，运动员A报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．

问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程．

提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛．

问题2：上述参赛过程有何特征？

提示：参赛过程是明确的．

问题3：假若你家住南京，想去沈阳观看A的决赛，你如何设计你的旅程？

提示：首先预约定票，然后选择合适的交通工具到沈阳，按时到场，检票入场，进入比赛场地，观看比赛．

2．给出方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝2， ①

x －y ＝1， ②

问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ，

③

把③代入②得x －(2－x )＝1， 即x ＝3

2

.

④

把④代入③得y ＝1

2

.

得到方程组的解⎩⎨⎧

x ＝3

2，

y ＝1

2.

问题2：利用消元法求解此方程组．

提示：①＋②得x ＝3

2

.

③

将③代入①得y ＝1

2

，得方程组的解

⎩⎨⎧

x ＝32

，y ＝12.

问题3：从问题1、2可以看出，解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．

1．算法的概念

对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征

(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．

(2)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．

1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法，并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．

2．算法是机械的，有时要进行大量重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”，其最大优点是可以让计算机来完成．

3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可能有不同的算法．

[例1] 下列关于算法的说法： ①求解某一类问题的算法是唯一的 ②算法必须在有限步操作后停止

③算法的每一步操作必须是明确的，不能存在歧义 ④算法执行后一定能产生确定的结果 其中，不正确的有________．

[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断，然后解答． [精解详析] 由算法的不唯一性，知①不正确； 由算法的有穷性，知②正确； 由算法的确定性，知③和④正确． [答案] ① [一点通]

1．针对这个类型的问题，正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．

1．下列语句表达中是算法的有________．

①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝1

2ah 计算底为1，高为2的三角形的面积

③1

2

x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式方程求得

解析：算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．

答案：①②④

2．计算下列各式中的S 值，能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋…

③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)

解析：算法的设计要求步骤是可行的，并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．

答案：①③

[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0，求l 1，l 2，y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．

[思路点拨] 先求出l 1，l 2的交点坐标，再求l 1，l 2与y 轴的交点的纵坐标，即得到三角形的底；最后求三角形的高，根据面积公式求面积．

[精解详析] 第一步 解方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

3x －y ＋12＝0，

3x ＋2y －6＝0得l 1，l 2的交点

P (－2,6)；

第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12，从而得到A (0,12)；

第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3，得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝1

2|AB |·h ；

第七步 输出结果． [一点通]

设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．

3．写出求两底半径分别为1和4，高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．

解：算法步骤如下：

第一步 取r 1＝1，r 2＝4，h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；

第三步 计算S 1＝πr 21，S 2＝πr 2

2；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；

第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧；

第五步 计算V ＝1

3

(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .

4．已知球的表面积为16π，求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝

S

4π

(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝4

3πR 3；

第四步 输出运算结果V . 算法2：

第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝4

3

π(

S 4π

)3； 第三步 输出运算结果V .

[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计算方法是：3人或3人以下的住房，每月收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．

[精解详析] 设某户有x 人，根据题意，应收取的卫生费y 是x 的分段函数，即y ＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)

算法如下：

第一步 输入人数x ；

(6分)

第二步 如果x ≤3，则y ＝5， 如果x >3，则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .

(12分)

[一点通]

对于此类算法设计应用问题，应当首先建立过程模型，根据模型，完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．

5．如下算法： 第一步 输入x 的值；

第二步 若x ≥0成立，则y ＝2x ，否则执行第三步；