解排列组合问题的利器之一：“隔板法”

分析 ： 越考查三 角 函数的定 义域 、 值 、 别 性 、 称 此 最 周 对
性 等函数性 质． 要求 函数解析式 ， 先求 Ａ、 ｂＡ由最值决定 ， 、， 由周期决定 ， ｂ由对称 中心求得．
周期 为 ， 于是， ０ ＿ ） （ ）＝ （ 厂 ，
Ｙ
解答过 程：‘ ’ ．
（ 上接第 ５ ２页） ｌ ２ Ｙ Ｙ ＋Ｙ ＋ ３＝１ Ｙ ＥＮ Ｙ ７（ ｌ ， ２∈Ｎ Ｙ ， ３∈ Ｎ ④ ）
练 习：
（） ２ １ 把 ０台 电脑分给 １ ８个村 ， 要求每村至少 分一 台， 共
有 多 少种 分 配 方 法 ？
Ａ． ９ １０ Ｂ １ｌ ．７ Ｃ． ５ １３ Ｄ． ９ １
｛ 殳 Ｉ ＝ Ｙ ， ２ ＋１ ｆ ＋】＝ ， ， ３＋１ 儿 ， ＋１ Ｙ ２ ： ＝ ４
Ｙ ＋Ｙ ＋Ｙ ＋ｙ ｌ ２ ３ ４＝１ （ ｌ ２ Ｙ ∈Ｎ ‘ Ｙ ∈Ｎ ， ３ ， ２ Ｙ ∈Ｎ‘ ４ ，ｙ
∈Ｎ ）② ， 方程② 与方程 ①解的个数相同 ， 由例【 ］ １ 中的方法 知 ， 方 程② 的解有 ｃ ＝１５个 ， 程 ｌ ２ ＋ ＝ ｌ ６ 方 ＋ ＋ ３ ４ ８（ ∈Ｎ，２ ∈Ｎ， ∈Ｎ， ∈ 扎 Ｎ）① 解的个数为 ｃ ＝１５ 所 以有 １５种 ６， ６
有 ｃ ：１０种 放 法 ． ２
（ ） （ ｂ＋ ｄ 的展 开 式 中共 有 多 少 项 ？ ２ 求 ａ＋ ｃ＋ ） （ ） 所 有 的 三 位 数 中 ， 位 数 字 之 和是 １ 数 共 有 多 ３在 各 ９的
少个 ？
答案 ： １ Ｂ （ ）ｃ２ ２ ０ （ ） ＝ ５ （） ２ ＝ ２ ３ ｃ ４ 分析 ： 三位数的数字 和等 于 １ 这个 三位数 的三 个数字 ９，
分隔法都对应 了一种分法 ， 于是分法种 数为 Ｃ ＝ ５ ； ３．
上述问题还可 以转化 为方 程 ， ２ ＋ ＝８的正 整 ＋ ＋ 扎 数解 的个数 ， 程 的一 组解 （ ， ， ， ） 方 ： 扎 对应 一 种分 配方 案 ， ８个 １ 成一 列 ， 】 ｌ ｌ１ 中间有 ７个空 隙 （ 有 排 ｌ１ 】 ｌ ， 不包 括
Ｍ｜ ６％Ｆ Ｉ Ａ ｌ ＡＮ Ｉ Ｚ Ｘｌ
师 线 【 掌】 致
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学法 指导
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组 合 问 题 的
［ 祓法’ 隔 ’
◎ 李 德 瑞
排列 、 组合是 历年 高 考必 考 内容之一 ， 它联 系实 际 ， 生
动 有 趣 ， 型 多 样 ， 路 灵 活． 材 中 出 现 的解 决 这 类 问 题 常 题 思 教
个位上的数字 ， 找一 个新 的三 位数 ， 三位数 的每一 位加 原 新 来三位数 的对应位的数字都等 于 １ （ ０ 百位 数字加百 位数字 ， 十位数字 加十位数字 ， 个位数 字加个位 数字 ） 新三位数 和老 ． 三位 数是一一对应 的， 多少 个这 样的新三 位数就有 多少个 有
成 ４组 ， 每种插入方 法对 应着 方程 的一 个解 ， 方程正 整数 此
解的个数为 Ｃ ＝ ５ ； ３．
例 ２ 把 ８个 相 同 的 篮 球 任 意 分 给 甲 、 、 、 四 所 学 乙 丙 丁 校 ， 多少 种 不 同 的 分 法 ？ 有
分另 为 ｌ ２ ， Ｕ ， ，３
可用借球法这 样解 释 ： 本题 中有 的学校 可能没 分 到球 ，
先借 ４个 球分 别给 ４个学校 ， 以上问题 变成 了 ｌ ２个相 同的
篮 球 任 意 分 给 甲 乙 丙 丁 四 所 学 校 ， 所 学 校 至 少 一 个 ， 多 每 有 少 种 不 同 的分 法 ？用 隔板 法 可 得 有 ｃ ＝１５种 分 配 方 案 ． ６
． ．
＝ ０ ，＝１ ３ ０
前
．
：
・
．
： ０ Ｅ ，４ 为 半个周 期 ，． ２ ，６ １］ ． Ｔ：１ ． ． ６又 ． ．
丁／
《 ） ２
… ．
＼
、
’
２ｒ ＂ｒ
＝
一
（
，．
＝
詈， １， ） 点（０２ 为函数图象的一个对称中心， ｂ ０ ． ・ ．
里 没 有 出现 的一 种 方 法— — 隔 板 法 ．
隔板法 可解 决相同元素的分配 问题 ， 在相 同元素之 间之
间 插 入 隔 板 来 达 到 分 配 的 目的 ， 强 调 的 是 分 配 之 后 每 组 元 它 素 的 个 数 ， 与 每 一 组 包 含 哪 几个 元 素 无 关． 而 例 １ 把 ８个 相 同 的 篮 球 任 意 分 给 甲 、 、 、 四 所 学 乙 丙 丁
隔板法在解题过 程 中带有 一定 的格式 化 、 序 化 ， 使 程 可
解题过程简单明 了， 快捷 准 确 ， 任何 一种 方法 都不是 包 治 但 百病的灵药 ， 在解决具 体 问题 时还 应灵 活掌 握 ， 各种方 法综
合运用． 以下几题 ， 同学 们 可 小试 牛 刀 ．
◎哲 学中的谚语典故＠ 刘舟求剑——是 用静止 的观点看问题 。违背 了物质是运动 、变亿的观点。又如 ， “ 守株 待 兔”等亦属此类。
其 中 ＋ ＝１ （ Ｙ＋ ０ ｘ∈Ｎ， Ｙ∈Ｎ， ∈Ｎ） 所 以 （ ＋ｂ十ｃ 展 ， ）
例 ４ 求 （ ｂ十 ） 的 展 开 式 中共 有 多 少 项 ？ ０＋ ｃ
的数字 ， 第二部 分是 十位上 的数字 ， 三部 分是个 位上 的数 第 字． 但是每一部 分有 可能大于 ９ 不能做为一个三位数 的某一 ，
设 ｌ ｌ ２ ＝ ｙ ， 一２＝Ｙ （ ：ｙ ， —１ ２ ３ 下转第 ５ ５页）
＠哲 学中的谚语典故 ◎ 心外无物——是 说物 质存在于人的意识之 中。意 识之外无翱。这与 “ 存在即被感知” 、 “ 是观念的集合” 、 “ 物 眼开则花 明。眼闭则花寂”等 ．同属唯心主 义。
分法．
校， 每所学 校至少一个 ， 多少种不 同的分法 ？ 有 解析 ： 可把 ８个相同 的篮球排 成一列 ， ０ ０ ０ ０ ８ 即 ０ ０ ０ ０， 个篮球 中间有 ７个空隙 （ 不包括两端 ） 用 ３个隔板分别插 在 ，
７个 空 隙 中 ， ８个 篮 球 分 成 ４组 ， 如 ０ １０ １ １ ０依 次 把 例 ００ ０００ 分 配 给 甲 乙 丙 丁 四所 学 校 的 篮 球 数 为 ２ ３ １２ 所 以 每 一 种 、、、，
这样 的老三位数． 三位数 的数字 和等于 ３ 新 ０—１ ９＝１ ， 以 １可 用 “ 板 法 ”， 会 出 现 上 面 的 问题 了． 隔 不
开式 中的项数就是方 程 ＋Ｙ ＝１ （ ＋。 ０ ∈Ｎ， ＥＮ， ∈Ｎ） Ｙ ｚ 的 解 的个数 ， 同例 ２本题共有 ｃ： ６ ＝ ６项．
） 的图
象 图 示 ）一 ， ０ 如 所 号 ＝ ÷则 ） ：
／ ｈ
Ａ ÷ Ｂ ｃ Ｄ１ ． ． 一 季 ．１ ． 一
分析 ： 此题 考查 三角 函数 的周期 性 与对 称 性 等 函数性
质 ， 决 此 题 的切 人 点 是 函 数 的 对 称 性 ， 图 象 可 得 最 小 正 解 由
３
＝wenku.baidu.com
２，Ｙ １ｉ詈 ＋）２，后 入 （，）其 ０‘ ０ｎ ＋０ 代 点 ６０或 它 ・ ｓ（ ・ 最 ｌ
７７ ＂ ｉ 注意到 轴上点了ｒ 息 天 卞息７ｒ 称 且 （ ０ 是 ２一 ＇ ＇］ ｒ ｒ ｒ ＇ ｒ 对 ）
， ，
点求 一 所 函 解 式 ｙ１ｉ詈 ～ ＋ 函 的 个 称 心 所 ， ＝， ）÷答 Ｂ ，得 ＝ ，以 数 析 为 ＝ ｓ 数 一 对 中 ，以（ 一詈 ＝ ， ． ０ （ ） ｎ ） （ 案
例３ ２ ０个相同的小球放入 编号为 １ 、 、 号 ２号 ３号的三 个盒子里 ， 要求每个 盒 内的球数 不小 于盒 子 的编 号数 ， 问有
多少种放法 ？ 解 析 ： 放 入 １号 、 设 ２号 、 ３号 的 三 个 盒 子 里 的球 的 个 数
两端 ）７个空 隙中选 出 ３个分别 插入 ３个“＋” ８个 １ ， ， 被分
方程④ 的解 的个数 为 ， 程③ 与方 程④ 的解 的个数 方
相 同 ， 以 本题 小 球 放 法 的 种 数 为 ｃ ＝１０种． 所 ２
结合上面 的解法 ， 可这样解释 ： 先取 出 ３个球 ， 中 １ 其 个 球放入 ２号 盒 内， 再将 其余 的 ２个球 放入 ３号盒 内． 此题 则 转化为 １ ７个球放人 ３个不 同盒内 ， 盒至少一球 ， 多少种 每 有 放法？即 １ ６个空档 中插入 ２个 隔板 即可将 其 分成 ３组 ， 故
新校 园 ２ １ ． ２ ０ １１ －
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学 法指 导
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名师在线 【 掌】 数
２ ∈［ ，４ （ ０， ６ １ ］ 最后注 明定 义域 ， 因为是求 这段 曲线的 函数
解 析式 ）
（Ｕ） 写出这段 曲线 的函数解 析式
例 ８２０ （０ ９辽 宁理） 已知 函数ｆ ）＝Ａ ｏ （ （ ｃｓ
方 程 ｌ ＋ ＝ Ｏ （ ≥ １ ＞２，３ ， ＋ ２ ３ ２ Ｉ ， ２ １ ≥３ 且 ｌ ∈Ｎ， ２
∈Ｎ， ∈Ｎ， Ｅ ③ 解的个数 即为放法 的种数 ， 扎 Ｎ）
ｌ —１ ＋（ ２ ）＋（ ３ ２ ＝１ — ） ７
解析： 设分给 甲 、 、 、 四所学校 的篮 球数分 别为 ， 乙 丙 丁
方程 ｌ ２＋ ＋ ，＋ ＝８ （ ∈Ｎ，２ ４ ｌ ∈Ｎ， ３ ＥＮ，４Ｅ
Ｎ） ① 解的个数即为分配方案 的种数 ， ，
（ ＋１ Ｉ ）＋（ ２ ）＋（ ３＋１ ＋１ ）＋（ ＋１ ８＋１＋１＋１ ４ ）＝
＋ １＝ １ ２
见的方法有插空法 、 捆绑法 、 除法等 ， 排 本文在这 里介绍教 材
不 可 能 有 ０ 可 以 想象 成 １ ． ９个 １排 成 一 排 ， 间插 ２个 木 板 ， 中 分 成 三 部 分 ， 三 部 分 的 和 肯 定 等 于 １． 一 部 分 是 百 位 上 这 ９第
新谍程 ：新喾 开 式探究 是 ｋ ， 的 形 式 ， 新 中 的每 项 都 ａｂｃ 解析 （ ａ＋ｂ ） ＋ｃ 展