1.3.1三角函数的周期性课件
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1.3.1
三角函数周期性
y
x
1
-2 -
-1
o
2
3
4
蓦然回首
(口答)下列公 式的右边是什么？
sin(α +2π)= sinα cos(α +2π)= cosα sin(π+α )= -sinα
cos(π+ α )= -cosα
蓦然回首
什么叫周期性?
通俗的讲，它是一种周而 复始、重复出现的现象。 比如，太阳总是每天从东 方升起从西方落下； 又如，现在是四月份，一 年以后仍然是四月份。
函数f(x)=5(x R), 它是 周期函数吗? 周期T是多少？ 有最小正周期吗?
是
T 0
无
如果不加特别说明 ,以后讲周期即指最小正周期 . 周期函数不一定有最小正周期 !
芬芳满枝
注意
非零的常数T
正确理解定义
每一个x的值 f(x+T)=f(x)
由 sin( ) sin , 4 2 4 能说 是y= sin x的周期吗？ 2
芬芳满枝
结论
1. 设T是f(x) 的周期， nT (n为非零整数) 则___
f(x) 。 也是f(x)的周期， 即 f(x+nT)=_____
例如, 已知f(x)的周期为2,f(1)=1. 则f(-3)＝_____ 1 f(-3)=f(-3+2×2) =f(1)=1
芬芳满枝
cos(3x 2 ) cos3x
自由想象
请列举几个“周而 复始”的客观实例.
① 一年四季:“春、夏、秋、冬”, 每隔 1 年重复出现.
自由想象
请列举几个“周而 复始”的客观实例.
② 一星期七天:“星期日、星期一、星期 二、… 、星期六”, 每隔 7 天重复出现.
自由想象
请列举几个“周而 复始”的客观实例.
③ 钟表“分针”走动, 每 1 小时走一圈.
如何求f(X ) =cos3x 的周期？
所以, f ( x)的周期为
2 cos 3 x cos 3x 3 2 即 f x+ f ( x) 3 2
3
芬芳满枝
结论
2. 设A, ω,为常数 , 且A ≠ 0, ω≠ 0, 则函数
y = Asin(ω x + )+ B, x ∈ R y = Acos(ω x + )+ B, x ∈ R 的周期都为T = ___
自由想象
请列举几个“周而 复始”的客观实例.
④ 公园里“过山车”
运动周而复始.
幽处探秘
请列举几个“周而 复始”的函数图象.
幽处探秘
本节课 重点研究
你能给周期函数下个定义吗？
芬芳满枝
定义
对于函数f(x),
如果存在一个______________ 非零的常数T, 使得当x取定义域内的_________ 每一个x值 时, 都有
2
以后直接套公式
任我采撷
(T 2
)
求下列函数的周期 ： (1) y=3cosx, x∈R;
T =2π
T=π T = 4π
(2) y=sin2x, x∈R;
1 (3) y 2sin( x ), x R 2 6
欣然品尝
练习1
(1) 因为f (
判断下列语句的正确性.
3
4 4
(cos x) ( sin x)
4
4 4
4
cos x sin x f ( x)
4 4 所以, 为f(x)=sin x+cos x的一个周期. 2
完美终结
我们应着重掌握 1.周期函数的定义
nT (n为非 2.设T是f(x) 的周期，则___ 零整数)也是f(x)的周期.
_________________
f(x+T)=f(x)
周期函数 那么函数f(x)就叫做____________ 周期 非零常数T叫做这个函数的_______
芬芳满枝
注意
非零的常数T
正确理解定义
每一个x的值 f(x+T)=f(x)
芬芳满枝
注意
非零的常数T
正确理解定义
每一个x的值 f(x+T)=f(x)
) f ( ), 所以f ( x )的周期是 2 3 2
×
(2) 因为f (
3
) f ( ), 所以f ( x )的周期不是 2 3 2
√
欣然品尝
练习2
判断下列函数的周期性,并求周期. y 是,T=2π 2 1
-2 -
x
o
2 3 4
y 2 1
-2 -
不是
o
3.周期的求法：
①.定义法; ②.公式法: ③.图 象 法.
作 业
P26
2, 3
不能 !
例如 : sin(0
2
Baidu Nhomakorabea
) sin 0
芬芳满枝
注意
非零的常数T
正确理解定义
每一个x的值 f(x+T)=f(x)
由sin( x ) sin x , 能说 是y= sin x的周期吗？
不能 !
芬芳满枝
函数y=sinx 与y=cosx 是 T k 2 都是周期函数吗？ k为非零整数 周期 T 有哪些？ T 2 最小正周期T是多少？
2
3
4
欣然品尝
练习3
求
y sin( x) 的周期 3 2
T=4
欣然品尝
练习4
求证: 为f(x)=sin 4 x+cos 4 x的一个周期. 2
欣然品尝
练习4
求证: 为f(x)=sin 4 x+cos 4 x的一个周期. 2
证明 : f(x+
)=sin ( x ) cos ( x ) 2 2 2
三角函数周期性
y
x
1
-2 -
-1
o
2
3
4
蓦然回首
(口答)下列公 式的右边是什么？
sin(α +2π)= sinα cos(α +2π)= cosα sin(π+α )= -sinα
cos(π+ α )= -cosα
蓦然回首
什么叫周期性?
通俗的讲，它是一种周而 复始、重复出现的现象。 比如，太阳总是每天从东 方升起从西方落下； 又如，现在是四月份，一 年以后仍然是四月份。
函数f(x)=5(x R), 它是 周期函数吗? 周期T是多少？ 有最小正周期吗?
是
T 0
无
如果不加特别说明 ,以后讲周期即指最小正周期 . 周期函数不一定有最小正周期 !
芬芳满枝
注意
非零的常数T
正确理解定义
每一个x的值 f(x+T)=f(x)
由 sin( ) sin , 4 2 4 能说 是y= sin x的周期吗？ 2
芬芳满枝
结论
1. 设T是f(x) 的周期， nT (n为非零整数) 则___
f(x) 。 也是f(x)的周期， 即 f(x+nT)=_____
例如, 已知f(x)的周期为2,f(1)=1. 则f(-3)＝_____ 1 f(-3)=f(-3+2×2) =f(1)=1
芬芳满枝
cos(3x 2 ) cos3x
自由想象
请列举几个“周而 复始”的客观实例.
① 一年四季:“春、夏、秋、冬”, 每隔 1 年重复出现.
自由想象
请列举几个“周而 复始”的客观实例.
② 一星期七天:“星期日、星期一、星期 二、… 、星期六”, 每隔 7 天重复出现.
自由想象
请列举几个“周而 复始”的客观实例.
③ 钟表“分针”走动, 每 1 小时走一圈.
如何求f(X ) =cos3x 的周期？
所以, f ( x)的周期为
2 cos 3 x cos 3x 3 2 即 f x+ f ( x) 3 2
3
芬芳满枝
结论
2. 设A, ω,为常数 , 且A ≠ 0, ω≠ 0, 则函数
y = Asin(ω x + )+ B, x ∈ R y = Acos(ω x + )+ B, x ∈ R 的周期都为T = ___
自由想象
请列举几个“周而 复始”的客观实例.
④ 公园里“过山车”
运动周而复始.
幽处探秘
请列举几个“周而 复始”的函数图象.
幽处探秘
本节课 重点研究
你能给周期函数下个定义吗？
芬芳满枝
定义
对于函数f(x),
如果存在一个______________ 非零的常数T, 使得当x取定义域内的_________ 每一个x值 时, 都有
2
以后直接套公式
任我采撷
(T 2
)
求下列函数的周期 ： (1) y=3cosx, x∈R;
T =2π
T=π T = 4π
(2) y=sin2x, x∈R;
1 (3) y 2sin( x ), x R 2 6
欣然品尝
练习1
(1) 因为f (
判断下列语句的正确性.
3
4 4
(cos x) ( sin x)
4
4 4
4
cos x sin x f ( x)
4 4 所以, 为f(x)=sin x+cos x的一个周期. 2
完美终结
我们应着重掌握 1.周期函数的定义
nT (n为非 2.设T是f(x) 的周期，则___ 零整数)也是f(x)的周期.
_________________
f(x+T)=f(x)
周期函数 那么函数f(x)就叫做____________ 周期 非零常数T叫做这个函数的_______
芬芳满枝
注意
非零的常数T
正确理解定义
每一个x的值 f(x+T)=f(x)
芬芳满枝
注意
非零的常数T
正确理解定义
每一个x的值 f(x+T)=f(x)
) f ( ), 所以f ( x )的周期是 2 3 2
×
(2) 因为f (
3
) f ( ), 所以f ( x )的周期不是 2 3 2
√
欣然品尝
练习2
判断下列函数的周期性,并求周期. y 是,T=2π 2 1
-2 -
x
o
2 3 4
y 2 1
-2 -
不是
o
3.周期的求法：
①.定义法; ②.公式法: ③.图 象 法.
作 业
P26
2, 3
不能 !
例如 : sin(0
2
Baidu Nhomakorabea
) sin 0
芬芳满枝
注意
非零的常数T
正确理解定义
每一个x的值 f(x+T)=f(x)
由sin( x ) sin x , 能说 是y= sin x的周期吗？
不能 !
芬芳满枝
函数y=sinx 与y=cosx 是 T k 2 都是周期函数吗？ k为非零整数 周期 T 有哪些？ T 2 最小正周期T是多少？
2
3
4
欣然品尝
练习3
求
y sin( x) 的周期 3 2
T=4
欣然品尝
练习4
求证: 为f(x)=sin 4 x+cos 4 x的一个周期. 2
欣然品尝
练习4
求证: 为f(x)=sin 4 x+cos 4 x的一个周期. 2
证明 : f(x+
)=sin ( x ) cos ( x ) 2 2 2