指数与指数函数-教学课件

最小值为 f(2)＝a2，最大值为 f(1)＝a， 依题意，可得 a－a2＝a2，解得 a＝0(舍去)或 a＝12； 当 a>1 时，函数 f(x)＝ax 在区间[1,2]上为增函数， 最小值为 f(1)＝a，最大值为 f(2)＝a2， 依题意，可得 a2－a＝a2，解得 a＝0(舍去)或 a＝32. 综上，a＝12或 a＝32. 【答案】 12或32
要 使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b) 成 立 ， 则 有 c<0 且 a>0.由y＝3x的图象可得
0<3c<1<3a，∵f(c)＝1－3c， f(a)＝3a－1，f(c)>f(a)， ∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
变式迁移2 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b 没有公共点，则b的取值范围是________．
例 2 设 f(x) ＝ |3x － 1| ， c<b<a ， 且 f(c)>f(a)>f(b) ， 则 下 列 关 系 式 中 一 定 成 立 的 是
()
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2
【分析】 用函数的图象比较大小．
【解析】 画出 f(x)＝|3x－1|的图象如下 图：
考情分析
指数函数为每年高考的必考内容，其中指 数函数图象以及指数函数与对数函数的关系为 高考的常考内容．
考场样题
[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝ 0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3 【解析】 由已知，得f(1)＝2； 又当x>0时，f(x)＝2x>1，而f(a)＋f(1)＝0， ∴f(a)＝－2，且a<0， ∴a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A. 答案：A
提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵 坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1， ∴c>d>1>a>b.即无论在y轴的左侧还是右侧，底 数按逆时针方向变大．
三基强化 答案：D
2．(2011 年长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西 安中学)设偶函数 f(x)满足 f(x)＝ 2x－ 4(x≥0)，则 x|fx－2>0 ＝ ()
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义 域 值域
性质
R
(0，＋∞)
(1)过定点(0,1)
(2)当x>0时，y>1；x<0 (2)当x>0时，0<y<1；
时，0<y<1
பைடு நூலகம்
x<0时，y>1
(3)在(－∞，＋∞)上是增 (3)在(－∞，＋∞)上是
函数
减函数
思考探究：如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx， (4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间 的大小关系如何？你能得到什么规律？
易错盘点 1．运算法则运用错误 纠错训练1
【答案】
4 25
2．忽视对参数的分类讨论致误 纠错训练 2 已知函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上 的最大值与最小值的差为a2，则 a＝________.
【解析】 当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax 在区间[1,2]上为减函 数，
4 ． (2010 年 安 徽 省 巢 湖 市 模 拟 ) 定 义 运 算 a ⊕ b ＝
a，a≤b
b，a>b ，则函数
f(x)＝1⊕2x 的图象是下图中(
)
解析： f(x)＝1⊕2x＝1， x， 题意．
x≥ x<0 ，∴A 项合
答案：A
5．函数y＝2 3－2x－x2的值域是________． 解析：∵3－2x－x2＝－(x2＋2x＋1－1)＋3 ＝－(x＋1)2＋4≤4， ∴0<y＝2 3－2x－x2≤24＝16. 答案：(0,16]
A．{x|x<－2 或 x>4} B．{x|x<0 或 x>4} C．{x|x<0 或 x>6} D．{x|x<－2 或 x>2}
答案：B
3．已知函数 f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时， f(x)>1， 则 f(x)在R上( )
A．是增函数 B．是减函数 C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数 D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数 解析：令2－x＝t，则t＝2－x是减函数， ∵当x>2时， f(x)>1，∴当t<0时，at>1.∴0<a<1. ∴ f(x)在R上是增函数． 答案：A
n>1 且 n∈N*，式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被 开方数．
⑥0的正分数指数幂等于__0__，0的负分数 指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质 ①arax＝ar＋s(a>0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
考点一 指数幂的化简与求值
指数幂的化简与求值的原则及结果要求
1．化简原则 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序． 特别警示：有理数指数幂的运算性质中， 其底数都大于0，否则不能用性质来运算．
2．结果要求
(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式 表示；
例 3 (2010 年河源联考)设函数 f(x)＝ a·22x＋x＋a1－2为奇函数．求： (1)实数 a 的值； (2)用定义法判断 f(x)在其定义域上的单调性．
【分析】 由f(－x)＝－ f(x)恒成立可解得a的值； 第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可．
【解】 (1)解法一：依题意，函数 f(x)的定义域为 R， ∵ f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－ f(x)， ∴a·22－－x＋x＋a1－2＝－a·22x＋x＋a1－2， ∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1. 解法二：∵ f(x)是 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，即2a－ 2 2＝0，∴a＝1.
解析：分别作出两个函数的图象，通过图 象的交点个数来判断参数的取值范围．
曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示， 由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有 公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
考点三 指数函数的性质
1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y＝a f(x)的定义域与 y＝f(x)的定义域相同； (2)先确定 f(x)的值域，再根据指数函数的单调性、值域， 可确定y＝a f(x)的值域． 2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
(2)由(1)知， f(x)＝22xx＋－11，
设 x1<x2 且 x1，x2∈R，
则 f(x2)－f(x1)＝22xx22－ ＋11－22xx11＋－11
＝1－
2x22＋1－1－2x12＋1
＝2x22＋2x12－22xx1＋1 1>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴ f(x)在 R 上是增函数．
变式迁移 3 若函数 y＝a·22x－x－11－a为奇函数． (1)求 a 的值； (2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．
解：∵函数 y＝a·22x－x－11－a，∴y＝a－2x－1 1. (1)由奇函数的定义，可得 f(－x)＋f(x)＝0，即 a－2－1x＋1＋a －2x－1 1＝0， ∴2a＋11－ －22xx＝0，∴a＝－12. (2)∵y＝－12－2x－1 1，∴2x－1≠0，即 x≠0. ∴函数 y＝－12－2x－1 1的定义域为{x|x≠0}．
(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结 果用分数指数幂表示；
(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂， 也不能既有分母又有负指数幂．
例1 计算下列各式．
【分析】 将式子中负分数指数化为正分 数指数，将根式化为分数指数幂，然后根据幂 的运算性质进行运算．
变式迁移1
考点二 指数函数的图象及应用 画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点(1，a)，(0,1)，(－ 1，1a)，熟记指数函数 y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x 在同一坐 标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大 小的关系．
指数与指数函数
考纲定位
1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数 幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的 单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
教材回归 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的 n 次方根．也就是，若 xn＝a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中