高中数学必修五正余弦定理

姓名____________ 2012年____月_____日 第___次课 正、余弦定理
一。

知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA=a c ,sinB=b c ⇒c=sin a A ,c=sin b B
⇒sin a A =sin b B ,又Q sinC=1⇒sin a A =sin b B =sin c C
二。

学习提纲： <一>.正弦定理： （1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即：
sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C
①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当∆ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π+A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r
∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2
π+A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B
同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C
当∆ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C
（3）正弦定理的变形：
①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA;
②a ：b:c=sinA:sinB:sinC
③sin a A =sin b B =sin c C
=2R （R 为∆ABC 外接圆的半径） ⇒a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ⇒ sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R
（二）余弦定理： （1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2a =2b +2c -2bccosA; 2b =2a +2c -2accosB; 2c =2a +2b -2abcosC
变形：2sin A=2sin B+2sin C-2sinBsinCcosA 2sin B=2sin A+2sin C-2sinAsinCcosB 2sin C=2sin A+2
sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222
b 2a
c ab
+- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B
+- (2)勾股定理：2c =2a +2b
推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222a b c >+
（3）三角形的面积公式： ①ABC S ∆=12ah ②ABC S ∆=12absinC=12bcsinA=12
acsinB
③ABC S ∆(p=12(a+b+c) ④ABC S ∆=4abc R
(4)对于任意的三角形，都有：sinA>0
①A+B+C=π; sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ③sin 2A B +=cos 2
C , cos 2A B +=sin 2C ④sinA>0 ⑤若A>B,则有:sinA>sinB ⑥ CosAcosBcosC>0是△ABC 为锐角三角形的充要条件
⑦ CosAcosBcosC=0是△ABC 为直角三角形的充要条件 ⑧ CosAcosBcosC<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件 注意：在三角形中，应该满足成立三角形的条件：
① 任意两边之和大于第三边；
② 大边对大角,小边对小角；最大角要大于60°，最小角要小于60°；
③ A+B+C=π
应用举例：
1.在△ABC 中，若A>B 是sinA>sinB 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
2. 在△ABC 中，a=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数有（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D.无数个
3. 在△ABC 中，°,则c=_______.
4. 在△ABC =2bsinA,则B=_____.
5.在△ABC 中，,∠A=4π,则∠B=_______.
6.在△ABC 中，AB=4,AC=7,BC 边上的中线AD=
72
, 那么BC=________.
7. 在△ABC 中,bcosA=acosB 则三角形为__________ 8.在△ABC 中,A,B 均为锐角且cosA>sinB, 则△ABC 是________.
9.（bixiu5P10）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，且a=2bsinA.
(1)求B 的大小 （2）求cosA+sinC 的取值范围
10. （bixiu5P12）（2010山东）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若，b=2,
,则角A 的大小为__________。

11. （bixiu5P12）（2010山东）已知：在△ABC 中，∠A, ∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 。

若且∠A=75º，则b=___________
12.在△ABC 中,2cos
2A =2b c c +，试判断△ABC 的形状? 13.设A 为△ABC 的最小角，求sinA+cosA 的取值范围
见证高考：
（2006年，天津）1.在△ABC 中，AC=2,BC=1,cosC=
34 (1)求AB 的值 （2）求sin(2A+C)的值
（2007，上海）3. 在△ABC 中。

a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a=2,C=
4π,cos 2
B , 求△AB
C 的面积
.
（新阳教育中心：重庆教学部陈老师供稿）。