《排序不等式》_精品PPT课件人教版1

经有限步调整，可知一切和数中，最 大和数所对应的情况只能是数组{ci} 由小到大的情况，最大和数是顺序和， 即S≤S2.
同样可证，最小和数是反序和，即S1≤S. 因此S1 ≤S ≤S2
思考
顺序和S2与反序和S1能相等吗？如 果能，那么什么条件下两者相等？
观察可得，当a1=a2=…an，或 b1=b2=…=bn时，顺序和等于反序和.即
证明
由于要证的式子中a,b,c式轮换对称的，所 以不妨设a≤b≤c.于是a2 ≤b2 ≤c2, 有排序不等式，得 a2a+b2b+c2c≥a2b+b2c+c2a, a2a+b2b+c2c ≥a2c+b2a+c2b, 两式相加，得 2(a3+b3+c3) ≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
a1,a2,…,an对应的另一列数是 以联想到用排序不等式证明.
1,
1 22
,
3，12 ,由...,此n12可
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证明 设b1,b2,…bn是a1,a2,…,an的一个排列，且满 足b1<b2<…<bn. 因为b1,b2,…bn是互不相同的正整数，故 b1≥1,b2 ≥2,…bn ≥n.
按相同顺序相乘所得积得和 S2=a1b1+a2b2+…+ancn称为顺序和.
有直觉可以得到S1≤S≤S2 即;反序和≤乱序和≤顺序和.
为了初步检验上面的直觉，用两组 数(例如1，2，3和4，5，6）检验出的结 果和直觉一致.
证明
设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组 实数，c1 ≤c2 ≤… ≤cn是b1,b2,…,bn的任 一排列.
S1=S=S2.
定理（排序不等式又称排序原理）
设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组 实数，c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列， 则a1bn+a2bn-1+…+anb1 ≤a1c1+a2c2+…+anbn ≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或 b1=b2=…=bn时，反序和等于顺序和.
a3a2 a1
a1a3 a2
a1
a2
a3 .
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再见
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情感态度与价值观
培养学生由特殊事物发现一般规 律并进而证明一般规律的能力.
教学重难点
重点
运用向量递归方法讨论排序不等式.
难点
排序不等式的证明思路及应用.
分析
把S=a1c1+a2c2+…+ancn叫做数组(a1,a2,…,an)和 (b1,b2,…,bn)的乱序和； 按相反顺序想成所得积的和
S=a1bn+a2bn-1+…+anc1称为反序和;
1 1 2 22 3 32 ... n n2
1 1 ... 1 .
2
n
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课堂小结
1.排序不等式: 设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组 实数，c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列， 则a1bn+a2bn-1+…+anb1 ≤a1c1+a2c2+…+anbn ≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或 b1=b2=…=bn时，反序和等于顺序和.
因为b1,b2,…,bn的全排列只有n!,所以 S=a1c1+a2c2+…ancn (1)的不同值只有有限个， 其中必有最大和最小值.
若c1≠b1，则有某ck=b1(k>1),c1>ck.
将, (1)中c1,ck对换，得 S =a1ck+…+akc1+…+ancn (2) (2)-(1)得：S,-S=(ak-a1)(c1-ck)≥0. 若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论.
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又因为1
1 22
1 32
...
1 n2
,
固有排序不等式，得
a1
a2 22
a3 32
...
an n2
b1
b2 22
b3 32
...
bn n2
1
1
1
所以，按这个顺序，10人都接满水所需的 等待总时间（分）是10t1+9t2+…+2t9+t10.
现要考虑t1,t2,…t10满足什么条件时这个和 数最小.
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解：
等待总时间（分）是10t1+9t2+…+2t9+t10.
根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10
新课导入
探究
设c1,c2,…,cn是数组b1,b2,…,bn的任何一 个排列，问以下的n个乘积的和 s=a1c1+a2c2+…+ancn何时取得最大值?
教学目标
知识与能力
1.掌握排序不等式的内容. 2.灵活应用排序不等式解题.
过程与方法
1.通过“探究-猜想-检验-证明” 研究排序不等式. 2.通过例题熟悉排序不等式的应用.
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2.排序不等式的应用. 对于许多不等式问题，应用排序不等式往 往简明。掌握排序不等式的结构特点，灵活 应用.
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例1
有10人各拿一只水桶接水，设水龙头
注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要分，ti 假定这些 相同t.i问只有一个水龙头时，应
如何安排10人的顺序，使他们等候的总时 间最少？这个最少的总时间等于多少？
ห้องสมุดไป่ตู้ 分析
首先转化为数学问题.若第一接水的人需 要t1分，接这桶水时10人所需等候的总时间是 10t1分；第二接水的人需要t2分，接这桶水时 9人所需等候的总时间是9t2 分；如此继续下 去，到第10人接水时，只有他一人在等，需 要t10分.
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证明
由于要证的式子中a1,a2 ,a3是轮换对称的，
所以不妨设a1 a2 a3
于是 1 a1
1 a2
1 a3
，a1a2a3
a1a3
a1a2 .
由排序不等式，得
a1a2 a3
a3a2 a1
a1a3 a2
a2
a3
a1.
即 a1a2 a3
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2.设a1 , a2 , ..., an为正数,
求证：a1 a2 a3
a2a3 a1
a1 a3 a2
a1
a2
a3 .
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例2
设a1，a2 , ..., an是n个互不相同的正整数，
证明1+
1 2
1 3
...
1 n
a1
a2 22
a3 32
...
an n2
.
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分析
观察问题中的式子，可以猜想，与
时，
总时间取最小值.这就是说，按水桶的大小由
小到大依次接水，10人等候的总时间最少，
这个最少的总时间是10t1+9t2+…+2t9+t10.
其中t1<t2<…<t9<t10.
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随堂练习
1.已知a,b,c为正数，用排序不等式证明 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
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