高中数学 151曲边梯形的面积课件 新人教A版选修2-2
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1x 9
案例探究
1、分割 把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边
的垂线, 这样[0,1]区间 分成n个小区间：0,1 n,1 n,n 2,nn1,1
记i个 第区 i n1 间 ,n i i 为 1 ,2, ,n y
长:度 xi i11
y=x2
nn n
对应的小曲边梯形面积为△Si
S n S '1 S '2 S 'i S 'n
1 2 1 n ( 1 n ) 2 ( 1 n ) 2 (n 2 ) 2 (n 2 ) 2 (n 3 ) 2 (n n 1 ) 2 (n n ) 2
n131222 n12n22
i1 i nn
1x
方案. 方案.. 方案… 方案….
ppt精选
11
案例探究 方案1
2、近似代替(以直代曲）
y y
f ( i-1 ) n
y f(x)
第i个 小曲边 梯形
O
0 i-1 i x nn
S 'i f i n 1 x i n 1 2 • x i n 1 2 • 1 n ,i 1 ,2 , ,n ppt精选
y f(x)
第i个 小曲边 梯形
O
0 i-1 i x nn
S 'if n i x n i 2• x n i 2•n 1 ,ipp t精1 ,选2 , ,n
y=x2
i1 i 1 x
n n △Si
14
案例探究 3、求和
S n S '1 S '2 S 'i S 'n
1 n1n2n1 n2
[
]
n3
6
2
1 611 n21 n2 1 n1 361 n2
Sn1 6 11 n 21 n 2 1 n1 361 n2
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y O
y=x2
i1 i nn
1x
17
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
ppt精选
18
深入思考
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间 分的越细，各个结果就越接近真实值。为 此，我们让n无限变大，这就是一个求极限 的过程。
12•122•1 n2•1 n n n n n n
1
n3
1222n2
y O
y=x2
i1 i nn
1x
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15
案例探究
方案3
2、近似代替 y
(以直代曲） f ( i ) ( i )2
nn
f (i1) (i1)2
n
n
y f (x)x2
第i个 y
小曲边 梯形
方案3
y=x2
i-1 i nn
xO
Slim
baf
n ni1
i
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22
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
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23
联系生活
ppt精选
24
联系生活
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25
联系生活
ppt精选
26
联系生活
举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状如下图所示，其最上端 弧AB是一段抛物线，中间部分是线段BC，最下端部分是圆弧CD 。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需 要尽可能准确的计算出它的断面面积。
i1 i nn
1x
△Si
S 'i 1 2 [ f( i n 1 ) f( n i) ] x 1 2 [ ( i n 1 ) 2 ( n i) 2 ] 1 n , i 1 ,2 ,,n
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16
案例探究
3、求和 S 'i 1 2 [(i n 1 )2 (n i)2 ]1 n ,i 1 ,2 , ,n
曲边梯形的面积
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1
ห้องสมุดไป่ตู้
情境创设
金门大桥ppt精（选 美国）
2
概念形成
曲边梯形的定义：由直线 x a ,x b (a b )y , 0
和曲线 y f (x)所围成的图形称为曲边梯形。
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3
案例探究
如何求由直线 x0,x1,y0与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？
y
y x2
刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?
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6
思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
刘徽的这种研究方法
对你有什么启示?
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7
思维导航
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
S n S 1 S 2 S i S n O 1 2 i 1 i 1 n 1 x
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nn
n n n 10
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
f ( i ) ( i )2 nn
f (i1) (i1)2
n
n
O
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
请同学们想一想，能否求出该断面的面积？
yA
B
o
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——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
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8
案例探究
如何求由直线 x0,x1,y0与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？
思考1：怎样“以直代曲”？
y
能整体以“直”代“曲吗？
思考2：怎样分割最简单？
思考3：对每个小曲边梯形 如何“以直代曲”？
y x2
o
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19
第四步：取极限
方案一
方案二
方案三
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20
即时小结
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响
结果吗？
不一定
不影响
• （2）在近似代替时用小区间内任一点处的
函数值影响结果吗 ？
不影响
• （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？
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归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
n
y=x2
i1 i nn
1x
△Si
12
案例探究
3、求和
n等分时
S n S '1 S '2 S 'i S 'n
0•112•1 n12•1 n n n n n
n 131222 n12
y y=x2
O
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i1 i nn
1x 13
案例探究
方案2
2、近似代替(以直代曲） y y
f ( i ) ( i )2 nn
o
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1x
4
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
y
A
A
∟
∟
o
B
x
o
B
x
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
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5
思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
1x 9
案例探究
1、分割 把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边
的垂线, 这样[0,1]区间 分成n个小区间：0,1 n,1 n,n 2,nn1,1
记i个 第区 i n1 间 ,n i i 为 1 ,2, ,n y
长:度 xi i11
y=x2
nn n
对应的小曲边梯形面积为△Si
S n S '1 S '2 S 'i S 'n
1 2 1 n ( 1 n ) 2 ( 1 n ) 2 (n 2 ) 2 (n 2 ) 2 (n 3 ) 2 (n n 1 ) 2 (n n ) 2
n131222 n12n22
i1 i nn
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方案. 方案.. 方案… 方案….
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11
案例探究 方案1
2、近似代替(以直代曲）
y y
f ( i-1 ) n
y f(x)
第i个 小曲边 梯形
O
0 i-1 i x nn
S 'i f i n 1 x i n 1 2 • x i n 1 2 • 1 n ,i 1 ,2 , ,n ppt精选
y f(x)
第i个 小曲边 梯形
O
0 i-1 i x nn
S 'if n i x n i 2• x n i 2•n 1 ,ipp t精1 ,选2 , ,n
y=x2
i1 i 1 x
n n △Si
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案例探究 3、求和
S n S '1 S '2 S 'i S 'n
1 n1n2n1 n2
[
]
n3
6
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1 611 n21 n2 1 n1 361 n2
Sn1 6 11 n 21 n 2 1 n1 361 n2
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y O
y=x2
i1 i nn
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深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
ppt精选
18
深入思考
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间 分的越细，各个结果就越接近真实值。为 此，我们让n无限变大，这就是一个求极限 的过程。
12•122•1 n2•1 n n n n n n
1
n3
1222n2
y O
y=x2
i1 i nn
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案例探究
方案3
2、近似代替 y
(以直代曲） f ( i ) ( i )2
nn
f (i1) (i1)2
n
n
y f (x)x2
第i个 y
小曲边 梯形
方案3
y=x2
i-1 i nn
xO
Slim
baf
n ni1
i
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即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
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23
联系生活
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24
联系生活
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25
联系生活
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联系生活
举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状如下图所示，其最上端 弧AB是一段抛物线，中间部分是线段BC，最下端部分是圆弧CD 。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需 要尽可能准确的计算出它的断面面积。
i1 i nn
1x
△Si
S 'i 1 2 [ f( i n 1 ) f( n i) ] x 1 2 [ ( i n 1 ) 2 ( n i) 2 ] 1 n , i 1 ,2 ,,n
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案例探究
3、求和 S 'i 1 2 [(i n 1 )2 (n i)2 ]1 n ,i 1 ,2 , ,n
曲边梯形的面积
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1
ห้องสมุดไป่ตู้
情境创设
金门大桥ppt精（选 美国）
2
概念形成
曲边梯形的定义：由直线 x a ,x b (a b )y , 0
和曲线 y f (x)所围成的图形称为曲边梯形。
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案例探究
如何求由直线 x0,x1,y0与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？
y
y x2
刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?
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思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
刘徽的这种研究方法
对你有什么启示?
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-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
S n S 1 S 2 S i S n O 1 2 i 1 i 1 n 1 x
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nn
n n n 10
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
f ( i ) ( i )2 nn
f (i1) (i1)2
n
n
O
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
请同学们想一想，能否求出该断面的面积？
yA
B
o
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——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
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案例探究
如何求由直线 x0,x1,y0与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？
思考1：怎样“以直代曲”？
y
能整体以“直”代“曲吗？
思考2：怎样分割最简单？
思考3：对每个小曲边梯形 如何“以直代曲”？
y x2
o
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第四步：取极限
方案一
方案二
方案三
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20
即时小结
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响
结果吗？
不一定
不影响
• （2）在近似代替时用小区间内任一点处的
函数值影响结果吗 ？
不影响
• （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？
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归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
n
y=x2
i1 i nn
1x
△Si
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案例探究
3、求和
n等分时
S n S '1 S '2 S 'i S 'n
0•112•1 n12•1 n n n n n
n 131222 n12
y y=x2
O
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案例探究
方案2
2、近似代替(以直代曲） y y
f ( i ) ( i )2 nn
o
ppt精选
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思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
y
A
A
∟
∟
o
B
x
o
B
x
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
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-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽