画法几何_直线_直线的相对位置直角投影定理直角三角性法

a' b'
a'
b'
Z
Z
a''(b'')
A
X a
W B a''(b'')
x
a b
o
YW
0
b
Y
YH
投影面垂直线的投影特性：
1.在与直线垂直的投影面上的投影积聚成一点。 2.在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴且反映线段实长。
a′
例2 侧平线上的点
z1
k′
已知AB的两面投影及其 上面的点K的正面投影， 求点K的水平投影。
V
2) 水平线 （投影面H的平行线 AB ） z Z
a' b' a''
a' A b'
β γ
b''
a'' B
X
a
0
W b''
X a
β
0
YW
γ b b
Y
投影特性：
1.a' b' // OX，a"b"// OYw； 2.a b = A B； 即：水平投影反映线段实长及β、γ角的真实大小。
YH
3)侧平线（投影面W的平行线 AB） Z
b
2.投影面平行线 1) 正平线（投影面V的平行线AB）
Z
V a' X A a αγ b' B b'' W 0 a'' b X a b a' αγ b'
Z b'' 0 a'' YW
Y 投影特性： YH 1. a"b" // OZ ， a b// OX； 2. a' b' = A B； 3.正面投影反映α 、γ角的真实大小。
o
b′ x a 1 2 b k
z
利用点在线上分割线段 成定比，投影后不变的 性质作图。
第三节 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角
直角三角形法
•
方法是：以线段在某一投影面上的 投影长为一直角边，两端点与这个投 影面的距离差为另一直角边形成的直 角三角形。其斜边是线段的实长，斜 边与投影长的夹角就是该直线与这个 投影面的倾角。
(c) a
作CB//ab,则∠ABC为直线AB对投影面H的倾角α.
投 直线倾斜于投影面其投影比实长短: ab=AB· cosα(类似性） 影 直线平行于投影面其投影反映线段实长: fg=FG（真实性） 特 性 直线垂直于投影面其投影积聚为一点(积聚性)
第二节 各种位置直线
一、直线的分类：
特 殊 位 置 直 线
B
b'
根据已知条件，要 求得ab，其方法一是 求得A、B两点的Y坐标 差(ΔYAB ) ；方法二是 求得ab的长。
x
a'
o
2) 铅垂线 (投影面H的垂直线AB)
V a' Z a' a'' b'
z
a'' b''
A
W
b'
X
0
b''
x
a(b)
o
YW
B
a(b) Y YH
投影特性：1、 a b 积聚成一点 2、 a' b' ⊥ox,a'' b'' ⊥oyw 3、 a' b' = a'' b'' = AB
3) 侧垂线
V
(投影面 W 的垂直线AB)
一般位置直线AB
Z V a' A X a'' W 0 b'' Y • b YH X a' Z a''
b'
a
O
b''
YW
b'
β αγ
B
a b
一般位置直线的三个投影仍为直线；三个投影都倾斜 于投影轴；投影长度小于线段的实长；投影与投影轴的夹 角，不反映直线对投影面的倾角。
1.一般位置直线上点的投影 C是直线AB上的点
Z a' a''
β
V
a' A
b'
β
a'' W 0 B b b'' X
b' O a
α
b'' YW
X a
α
Y YH • （小结）投影面平行线的投影特性： • 1.在直线所平行的投影面上的投影，反映线段实长；它与投影轴的 夹角，分别反映直线与另两投影面夹角的真实大小。 • 2.在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。
在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜 边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。
AB线段实长
AB线段实长 ΔZAB ΔYAB
α ab的长
a ' b '的长 AB线段实长 ΔXAB
γ
a '' b ''的长
例1 已知线段的实长AB，求它的水平投影。 A
Z
实长
a' β
a'' γ
0 a b'
实 长
Z V a' A a'' 0
X
b
b''
YW
α
实长
b'
X Bo B
β γ α a b
W
在正面投影上求线段实长与倾角β
YH
b''
在水平投影上求线段实长与倾角α 在侧面投影上求线段实长与倾角γ
直角三角形求线段实长及其 与投影面的倾角中的三个三角形 设所求线段为AB
大家好!
同学们好！
• 第三章 直线
第一节 直线的投影 第二节 各种位置直线 第三节 一般位置线段的实长及其 对投影的倾角 第四节 两直线的相对位置
第五节 直角投影定理
第一节 直线的投影
A C α B F G f b g e(d) D E 直线的投影仍为直线， 两点确定一条直线，直 线上两点的投影用直线 连接，就得到直线的投 影。
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线 投影面平行线 平行于某一投影面而与其余
两投影面倾斜 正平线（只平行于Ｖ面） 侧平线（只平行于Ｗ面） 水平线（只平行于Ｈ面）
投影面垂直线 垂直于某一投影面(平行于另
两投影面) 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
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二、相对投影面各种位置直线的投影
Z V a' A c' C B c b a
Z a' a'' 0 c'' b'' YW
c'
a'' c'' W 0 b'' Y X
b' c
b a
b'
X
YH
• • • •
直线上点的投影，必在直线的同面投影上； （c∈ab, c'∈a' b' ,c''∈a'' b'') 线段上的点分割线段之比，投影后保持不变。 AC/CB=ac/cb= a' c' / c' b' = a'' b''/ c'' b'')
b
3.投影面垂直线
1)正垂线(投影面V的垂直线AB)
Z V a' (b') a''
z a''
b''
a' (b') A B
X
a b
0
W b''
x a b Y
o
yHΒιβλιοθήκη Baidu
yH
投影特性：1. a' ( b' )积聚成一点 2. a b ⊥ Ox ； a '' b '' ⊥ Oz 3. a b = a'' b'' = AB
例1 如图中黑色的图形所示，作出分 线段AB为3:2的点c的两面投影。
b'
c'
a' x
a
c
作法： 1.过点a任作一条直线ae； 2.在ae上截取五等分； 3.连接be； 4.在离点a三等分点处作 直线平行于be，交ab上一 0 点c； 5.过点c作直线垂直于ox, e 交 a′b′于点c′。 点C(c, c′)即为所求。