安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
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本文建立了人字齿行星齿轮传动系统的非线性动力 学模型，推导安装误差的当量啮合误差，得出系统传动误 差，研究各齿轮安装误差单独作用和共同作用对系统传动 误差的影响。研究工作对 2K － H 人字齿行星传动系统各 齿轮安装调整和加工具有指导意义。
之后所得到的当量误差。取当量啮合误差离开啮合线的
方向为正。对齿轮安装误差的定义如下： 齿轮的回转中心
( Cb + Cm + ωc G)·q + Tk + Tc = T 式中： M 为广义质量矩阵； Cb 为支撑阻尼矩阵； Cm 为啮合 阻尼矩阵； G、C1 、C2 为陀螺矩阵； Kb 为支撑刚度矩阵； Km 为 啮合刚度矩阵； Cω 为离心刚度矩阵； Tk 为误差和啮合刚度 引起的激振列阵； Tc为误差和啮合阻尼引起的激振列阵； T 为外激励列阵。
Impact of Installation Error on Transmission of Planetary Gear Train
LIU Huan，BAO He-yun，LU Feng-xia，SHEN Jia-geng，ZHANG Lin-lin （ College of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing University of
3 安装误差对系统传动误差的影响 的研究
图 2 人字齿行星传动系统简图
理想情况下人字齿两个单斜齿轮轴向力互相抵消，采 用集中质量模型，系统的力学模型如图 3 所示。
建立如图 3 中坐标系： oxy 是定坐标系，原点是行星架 回转中心； Oxy 是动坐标系，原点是行星架回转中心，坐标
针对某人字齿行星传动系统进行分析，基本参数为： 太阳轮齿数 zs = 34，行星轮齿数 zp = 59，内齿圈齿数zr = 152，法面模数 mn = 2，螺旋角 β = 25°，输入功率 P = 60 kW，输入转速 n = 2 000 r / min。太阳轮的安装误差 As = 25 μm，太阳轮的安装误差初相位ຫໍສະໝຸດ Baiduγs = 40°，行星轮安装 误差 Ap = 25 μm，行星轮的安装误差初相位 γp = 30°，内
项目基金： 国家自然科学基金资助（ 51305196） ； 中央高校基本科研业务费专项资金资助，（ NS2012050） 作者简介： 刘欢（ 1989 － ） ，男，江苏沐阳人，硕士研究生，研究方向为机械 CAD 及自动化。
·42·
http： ∥ZZHD． chinajournal． net． cn E-mail： ZZHD@ chainajournal． net． cn《机械制造与自动化》
Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China） Abstract： A translation-torsional coupling nonlinear dynamic model of 2K － H herringbone planetary gear train is presented． The in-
（ 4）
eAr = － Ar sin( － ωc t + φr － αprt － φn )cosβb
式中： γn为第 n 个行星轮安装误差的初相位； γr 为内齿圈 安装误差的初相位。
忽略其他误差的情况下，第 n 个行星轮和太阳轮、内
齿圈的综合啮合误差 esn 、enr 为：
{esn = eAS + eAn1 enr = eAr + eAn2
fluencing factor of component bearing stiffness，time － varying mesh stiffness，and installation error incentives and so on are considered in the model． The definition of equivalent mesh error is used to deduce installation error of all components in the direction of the meshing line longer equivalent mesh error and the relative displacement between components is analyzed and calculated． According to Newton＇s second law system movement differential equation and through the dynamics equation by Fourier series method，the transmission error of the train is acquired and the impact of installation error on transmission error is analyzed．
太阳轮安装误差 As在太阳轮和行星轮啮合线上的当 量误差为：
eAS = － AS sin( － ωc t + γs + αspt － φn )cosβb
（ 3）
式中： βb为基圆柱螺旋角。
同理计算可得行星轮安装误差 Apn 在太阳轮和第 n 个
行星轮啮合线上的当量误差 eAn1 ，在内齿圈和第 n 个行星
偏离理论坐标原点即为齿轮安装误差，齿轮安装误差以齿
轮回转中心偏离理论坐标原点的距离和角度来表示。如
图 1 分析计算可得，太阳轮的安装误差 As 与动坐标系 x 轴
的夹角
γ
＇ s
随时间
t
关系为：
1 安装误差的当量啮合误差
所谓当量啮合误差，就是为把各种误差投影到啮合线
图 1 太阳轮安装误差与啮合线的位置关系图
Keywords： planetary gear； installation error； eccentric error； transmission error； herringbone gear
行星齿轮的传动误差反应了系统的传动精度，是评价 系统质量的重 要 参 数，也 是 系 统 噪 声 和 振 动 的 重 要 激 励 源［1］。安装误 差 又 对 动 态 特 性 与 啮 合 性 能 产 生 直 接 影 响［2］。分析人字齿行星齿轮的安装误差对系统传动误差 影响具有重要意义。国内外学者对传动误差展开了大量 的理论研究和实验研究。Sweeney［3 － 5］等人对单对齿轮传 动误差定义 和 计 算 进 行 大 量 的 研 究，国 内 学 者 梁 莹 林［6］ 给出汽车减速器传动 误 差 的 测 量 方 法。 盛 钢［7］ 计 算 了 齿 轮修形参数和传动误 差 幅 值 的 关 系。 袁 古 兴［8］ 基 于 几 何 尺寸关系的微分模型，分析滤波减速器各构件偏心误差对 系统 传 动 误 差 的 的 影 响，陈 文 华［9］ 用 蒙 特 卡 洛 模 拟 分 析 各误差对齿轮传动误差的影响。结合动力学研究安装误 差对人字齿行星齿轮系统传动误差影响至今鲜有报道。
（ 5）
2 人字齿行星传动系统动力学模型
人字齿行星传动系统简图如图 2 所示，系统由输入构 件 D、太阳轮 Zs、N 个行星轮 Zp、内齿圈 Zr、行星架 C 和输 出构件 L 组成。
图 3 人字齿行星传动系统动力学模型
系以行星架角速度 ωc 等速旋转，x 轴通过第一个行星轮的 回转中心； On xn yn 是动坐标系，原点是各行星轮的回转中 心，以行星架角速度等速旋转，坐标轴与坐标系 Oxy 的两 坐标轴分别平行。n 代表第 n 个行星轮，n = 1，2，． ． ． ，N； N 为行星轮个数。同时规定下标 D，s，r，C，L 分别代表输入 构件、太阳轮、内齿圈、行星架和输出构件，下标 g = D，s， n，r，C，L，下标 sn，nr 表示 s 与 n 啮合齿轮副、n 和 r 啮合齿 轮副。除了输入和输出构件，每个构件各有三个自由度， 则该人字齿行星齿轮传动系统共含有 3N + 11 个自由度， 则广义坐标为：
q = （ uD ，xs ，ys ，us ，xn ，yn ，un ，xr ，yr ，ur ，xc ，yc ，uc ，uL ） T （ 6）
式中： xg 、yg 分别为构件横向、纵向位移； ug 为构件在相应 基圆切向上产生的等价线位移。
由牛顿第二运动定律，列出运动微分方程，将其整理 成矩阵形式：
M··q + ( Kb + Km － ω2c Kω + ωc C1 + ωc C2 )q + （ 7）
轮啮合线上的当量误差 eAn2 ； 内齿圈安装误差 Ar 在内齿圈
和第 n 个行星轮啮合线上的当量误差 eAr ：
{eAn1 = Apn sin( － ωc t + γn + αspt － φn )cosβb eAn2 = Apn sin( － ωc t + γn － αprt － φn )cosβb
图 6 安装误差对系统传动误差的影响
由图 6 可得太阳轮、行星轮、内齿圈的安装误差对系 统的传动误差均有 较 大 影 响 ，安 装 误 差 单 独 作 用 时 行 星 轮安装误差对系统 的 传 动 误 差 波 动 最 大 ，太 阳 轮 和 行 星 轮的安装误差对系 统 的 传 动 误 差 波 动 相 当 ，但 存 在 相 位 差。由图 6 同时可以得出，安装误差单独作用时候比共 同作用对系统的传 动 误 差 波 动 大 ，这 是 因 为 误 差 共 同 作 用时候直接由于初相位的影响使得综合误差小于各当 量啮合误差。
综上： 安装误差值和初相位对系统传动误差均有较大 影响，有必要研究安装误差值和初相位对传动误差的影响 大小进行进一步研究。
3． 2 安装误差对系统传动误差幅值的影 响分析
误差表达式如下：
TE
=
θL
－
θD zs zs + zr
（ 15）
3． 1 安装误差对系统传动误差的影响分析
研究一轮安装误差单独作用时，假设其他轮安装误差 不变取零，各轮安装误差单独作用和共同作用时，系统的 传动误差见图 6。图 6 中 TEAg 表示构件 g 安装误差单独 作用时系统的传动误差，TEAz 表示各轮安装误差共同作 用时系统的传动误差。
Machine Building Automation，Feb 2015，44（ 2） ： 42 ～ 45
·43·
·机械制造·
刘欢，等·安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
齿圈的安装误差 Ar = 25 μm，太阳轮的安装误差初相位 γr = 60° 。利 用 傅 里 叶 级 数 法［15］ 求 解 系 统 运 动 微 分 方 程 ，得 出动力响应 ，就 可 以 得 出 扭 转 角 位 移 ，则 系 统 传 动
·机械制造·
刘欢，等·安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
刘欢，鲍和云，陆凤霞，沈稼耕，张霖霖
（ 南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京 210016）
摘 要： 建立了 2K － H 人字齿行星齿轮传动系统平移 － 扭转耦合非线性动力学模型，模型中 考虑各构件的支撑刚度，事变啮合刚度和安装误差激励等影响因素。利用当量啮合误差定义， 推导了各构件的安装误差在啮合线变长方向的当量啮合误差； 分析计算了各构件间的相对位 移，根据牛顿第二定律推导系统运动微分方程，采用傅里叶级数法求解系统动力学方程，获得 系统的传动误差，分析了安装误差对系统传动误差的影响。 关键词： 行星齿轮； 安装误差； 偏心误差； 传动误差； 人字齿 中图分类号： TH132． 425 文献标志码： B 文章编号： 1671-5276（ 2015） 02-0042-04
·机械制造·
刘欢，等·安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
γ
＇ s
=
－ ωct + γs
（ 1）
式中： γs为太阳轮安装误差的初相位。
太阳轮安装误差 As与太阳轮和行星轮啮合线的夹角
δAsn 为：
δAsn =
π 2
+ γ＇s + αspt － φn
（ 2）
式中： φn为第 n 个行星轮相对于第一个行星轮的位置角， 且 φn = 2π（ n － 1） / N。αspt 为太阳轮和行星轮啮合副端面 啮合角。
之后所得到的当量误差。取当量啮合误差离开啮合线的
方向为正。对齿轮安装误差的定义如下： 齿轮的回转中心
( Cb + Cm + ωc G)·q + Tk + Tc = T 式中： M 为广义质量矩阵； Cb 为支撑阻尼矩阵； Cm 为啮合 阻尼矩阵； G、C1 、C2 为陀螺矩阵； Kb 为支撑刚度矩阵； Km 为 啮合刚度矩阵； Cω 为离心刚度矩阵； Tk 为误差和啮合刚度 引起的激振列阵； Tc为误差和啮合阻尼引起的激振列阵； T 为外激励列阵。
Impact of Installation Error on Transmission of Planetary Gear Train
LIU Huan，BAO He-yun，LU Feng-xia，SHEN Jia-geng，ZHANG Lin-lin （ College of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing University of
3 安装误差对系统传动误差的影响 的研究
图 2 人字齿行星传动系统简图
理想情况下人字齿两个单斜齿轮轴向力互相抵消，采 用集中质量模型，系统的力学模型如图 3 所示。
建立如图 3 中坐标系： oxy 是定坐标系，原点是行星架 回转中心； Oxy 是动坐标系，原点是行星架回转中心，坐标
针对某人字齿行星传动系统进行分析，基本参数为： 太阳轮齿数 zs = 34，行星轮齿数 zp = 59，内齿圈齿数zr = 152，法面模数 mn = 2，螺旋角 β = 25°，输入功率 P = 60 kW，输入转速 n = 2 000 r / min。太阳轮的安装误差 As = 25 μm，太阳轮的安装误差初相位ຫໍສະໝຸດ Baiduγs = 40°，行星轮安装 误差 Ap = 25 μm，行星轮的安装误差初相位 γp = 30°，内
项目基金： 国家自然科学基金资助（ 51305196） ； 中央高校基本科研业务费专项资金资助，（ NS2012050） 作者简介： 刘欢（ 1989 － ） ，男，江苏沐阳人，硕士研究生，研究方向为机械 CAD 及自动化。
·42·
http： ∥ZZHD． chinajournal． net． cn E-mail： ZZHD@ chainajournal． net． cn《机械制造与自动化》
Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China） Abstract： A translation-torsional coupling nonlinear dynamic model of 2K － H herringbone planetary gear train is presented． The in-
（ 4）
eAr = － Ar sin( － ωc t + φr － αprt － φn )cosβb
式中： γn为第 n 个行星轮安装误差的初相位； γr 为内齿圈 安装误差的初相位。
忽略其他误差的情况下，第 n 个行星轮和太阳轮、内
齿圈的综合啮合误差 esn 、enr 为：
{esn = eAS + eAn1 enr = eAr + eAn2
fluencing factor of component bearing stiffness，time － varying mesh stiffness，and installation error incentives and so on are considered in the model． The definition of equivalent mesh error is used to deduce installation error of all components in the direction of the meshing line longer equivalent mesh error and the relative displacement between components is analyzed and calculated． According to Newton＇s second law system movement differential equation and through the dynamics equation by Fourier series method，the transmission error of the train is acquired and the impact of installation error on transmission error is analyzed．
太阳轮安装误差 As在太阳轮和行星轮啮合线上的当 量误差为：
eAS = － AS sin( － ωc t + γs + αspt － φn )cosβb
（ 3）
式中： βb为基圆柱螺旋角。
同理计算可得行星轮安装误差 Apn 在太阳轮和第 n 个
行星轮啮合线上的当量误差 eAn1 ，在内齿圈和第 n 个行星
偏离理论坐标原点即为齿轮安装误差，齿轮安装误差以齿
轮回转中心偏离理论坐标原点的距离和角度来表示。如
图 1 分析计算可得，太阳轮的安装误差 As 与动坐标系 x 轴
的夹角
γ
＇ s
随时间
t
关系为：
1 安装误差的当量啮合误差
所谓当量啮合误差，就是为把各种误差投影到啮合线
图 1 太阳轮安装误差与啮合线的位置关系图
Keywords： planetary gear； installation error； eccentric error； transmission error； herringbone gear
行星齿轮的传动误差反应了系统的传动精度，是评价 系统质量的重 要 参 数，也 是 系 统 噪 声 和 振 动 的 重 要 激 励 源［1］。安装误 差 又 对 动 态 特 性 与 啮 合 性 能 产 生 直 接 影 响［2］。分析人字齿行星齿轮的安装误差对系统传动误差 影响具有重要意义。国内外学者对传动误差展开了大量 的理论研究和实验研究。Sweeney［3 － 5］等人对单对齿轮传 动误差定义 和 计 算 进 行 大 量 的 研 究，国 内 学 者 梁 莹 林［6］ 给出汽车减速器传动 误 差 的 测 量 方 法。 盛 钢［7］ 计 算 了 齿 轮修形参数和传动误 差 幅 值 的 关 系。 袁 古 兴［8］ 基 于 几 何 尺寸关系的微分模型，分析滤波减速器各构件偏心误差对 系统 传 动 误 差 的 的 影 响，陈 文 华［9］ 用 蒙 特 卡 洛 模 拟 分 析 各误差对齿轮传动误差的影响。结合动力学研究安装误 差对人字齿行星齿轮系统传动误差影响至今鲜有报道。
（ 5）
2 人字齿行星传动系统动力学模型
人字齿行星传动系统简图如图 2 所示，系统由输入构 件 D、太阳轮 Zs、N 个行星轮 Zp、内齿圈 Zr、行星架 C 和输 出构件 L 组成。
图 3 人字齿行星传动系统动力学模型
系以行星架角速度 ωc 等速旋转，x 轴通过第一个行星轮的 回转中心； On xn yn 是动坐标系，原点是各行星轮的回转中 心，以行星架角速度等速旋转，坐标轴与坐标系 Oxy 的两 坐标轴分别平行。n 代表第 n 个行星轮，n = 1，2，． ． ． ，N； N 为行星轮个数。同时规定下标 D，s，r，C，L 分别代表输入 构件、太阳轮、内齿圈、行星架和输出构件，下标 g = D，s， n，r，C，L，下标 sn，nr 表示 s 与 n 啮合齿轮副、n 和 r 啮合齿 轮副。除了输入和输出构件，每个构件各有三个自由度， 则该人字齿行星齿轮传动系统共含有 3N + 11 个自由度， 则广义坐标为：
q = （ uD ，xs ，ys ，us ，xn ，yn ，un ，xr ，yr ，ur ，xc ，yc ，uc ，uL ） T （ 6）
式中： xg 、yg 分别为构件横向、纵向位移； ug 为构件在相应 基圆切向上产生的等价线位移。
由牛顿第二运动定律，列出运动微分方程，将其整理 成矩阵形式：
M··q + ( Kb + Km － ω2c Kω + ωc C1 + ωc C2 )q + （ 7）
轮啮合线上的当量误差 eAn2 ； 内齿圈安装误差 Ar 在内齿圈
和第 n 个行星轮啮合线上的当量误差 eAr ：
{eAn1 = Apn sin( － ωc t + γn + αspt － φn )cosβb eAn2 = Apn sin( － ωc t + γn － αprt － φn )cosβb
图 6 安装误差对系统传动误差的影响
由图 6 可得太阳轮、行星轮、内齿圈的安装误差对系 统的传动误差均有 较 大 影 响 ，安 装 误 差 单 独 作 用 时 行 星 轮安装误差对系统 的 传 动 误 差 波 动 最 大 ，太 阳 轮 和 行 星 轮的安装误差对系 统 的 传 动 误 差 波 动 相 当 ，但 存 在 相 位 差。由图 6 同时可以得出，安装误差单独作用时候比共 同作用对系统的传 动 误 差 波 动 大 ，这 是 因 为 误 差 共 同 作 用时候直接由于初相位的影响使得综合误差小于各当 量啮合误差。
综上： 安装误差值和初相位对系统传动误差均有较大 影响，有必要研究安装误差值和初相位对传动误差的影响 大小进行进一步研究。
3． 2 安装误差对系统传动误差幅值的影 响分析
误差表达式如下：
TE
=
θL
－
θD zs zs + zr
（ 15）
3． 1 安装误差对系统传动误差的影响分析
研究一轮安装误差单独作用时，假设其他轮安装误差 不变取零，各轮安装误差单独作用和共同作用时，系统的 传动误差见图 6。图 6 中 TEAg 表示构件 g 安装误差单独 作用时系统的传动误差，TEAz 表示各轮安装误差共同作 用时系统的传动误差。
Machine Building Automation，Feb 2015，44（ 2） ： 42 ～ 45
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刘欢，等·安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
齿圈的安装误差 Ar = 25 μm，太阳轮的安装误差初相位 γr = 60° 。利 用 傅 里 叶 级 数 法［15］ 求 解 系 统 运 动 微 分 方 程 ，得 出动力响应 ，就 可 以 得 出 扭 转 角 位 移 ，则 系 统 传 动
·机械制造·
刘欢，等·安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
刘欢，鲍和云，陆凤霞，沈稼耕，张霖霖
（ 南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京 210016）
摘 要： 建立了 2K － H 人字齿行星齿轮传动系统平移 － 扭转耦合非线性动力学模型，模型中 考虑各构件的支撑刚度，事变啮合刚度和安装误差激励等影响因素。利用当量啮合误差定义， 推导了各构件的安装误差在啮合线变长方向的当量啮合误差； 分析计算了各构件间的相对位 移，根据牛顿第二定律推导系统运动微分方程，采用傅里叶级数法求解系统动力学方程，获得 系统的传动误差，分析了安装误差对系统传动误差的影响。 关键词： 行星齿轮； 安装误差； 偏心误差； 传动误差； 人字齿 中图分类号： TH132． 425 文献标志码： B 文章编号： 1671-5276（ 2015） 02-0042-04
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刘欢，等·安装误差对行星齿轮传动系统传动误差的影响
γ
＇ s
=
－ ωct + γs
（ 1）
式中： γs为太阳轮安装误差的初相位。
太阳轮安装误差 As与太阳轮和行星轮啮合线的夹角
δAsn 为：
δAsn =
π 2
+ γ＇s + αspt － φn
（ 2）
式中： φn为第 n 个行星轮相对于第一个行星轮的位置角， 且 φn = 2π（ n － 1） / N。αspt 为太阳轮和行星轮啮合副端面 啮合角。