高中数学-分段函数与映射

[知识点拨] 函数新概念，记准三要素；定义域值域，关系式相连；函数 表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；
不再是数集，任何集不限．
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第一章 集合与函数概念
1．下列对应不是映射的是 ( D )
数
学 必
[解析] 结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个数x，在N中有
N＝{2,0}，而 M 中的ba可能对应集合 N 中的 2 或 0，当ba对应 2 时，则ba＝1，即 b
数 学
＝2，此时 M 中有两个相同元素，不合适，故 b＝2 应舍去，当ba对应 0 时，则ba＝
必
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0，即 b＝0.此时 M＝{0,1}，符合题意，综上可知 a＝2，b＝0，即 a＋b＝2.
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第一章 集合与函数概念
1．建模应用能力 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识 与方法构建模型解决问题的过程． 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、 构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.
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升应用能力，增强创新意识．
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第一章 集合与函数概念
如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P，沿折线 BCDA 由点 B(起点)向点 A(终点)运动，设点 P 运动的路程为 x，△APB 的面积为 y.
(1)求 y 关于 x 的函数关系式 y＝f(x)； (2)画出 y＝f(x)的图象； (3)若△APB 的面积不小于 2，求 x 的取值范围．
修
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第一章 集合与函数概念
2x－3，x＞0， 5．已知函数 f(x)＝3，x＝0，
2x＋3，x＜0，
求 f(f(12))的值.
[解析] f(12)＝12×2－3＝－2，
f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
数 学
∴f(f(12))＝f(－2)＝－1.
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第一章 集合与函数概念
[思路分析] (1)点 P 位置不同△ABP 的形状一样吗？
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(2)注意该函数的定义域．
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第一章 集合与函数概念
2x [解析] (1)y＝8
0≤x≤4 4<x≤8
.
212－x
8<x≤12
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即 f(x)≥2，当 0≤x≤4 时，2x≥2，∴x≥1，当 8<x≤12 时，2(12－x)≥2，
数 学
这就是所求 a，k 的值．
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第一章 集合与函数概念
〔跟踪练习〕
a，b 为实数，集合 M＝ba，1，N＝{a,0}，f：x→2x 表示把集合 M 中的元素 x，映射到集合 N 中为 2x，求 a＋b 的值．
[解析] 由题意知，集合 M 中的元素 1 只能对应集合 N 中的 a，故 a＝2，故
[思路分析] 对于A映射f：A→B，A中的元素x的象可能是B中的任意一个 元素，故在解此类题时要将问题考虑全面．
[正解] ∵B 中的元素 y＝3x＋1 与 A 中的元素 x 对应，∴A 中的元素 1,2,3，
对应 B 中的元素 4,7,10.∴3ak4＝＋110＝，a2＋3a 或a32k＋＋31a＝＝a140. . ∵a，k∈N，∴ka＝＝52.，
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第一章 集合与函数概念
2．映射
(1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之
对应，那么就称对应f：A→B为从集合_A___到集合__B__的一个映射．
数
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(3)由第(2)问中画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．
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第一章 集合与函数概念
『规律方法』 1.分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域 是各段函数值集合的并集．
2．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解 析式求解．
3．画图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义 域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可．
[解析] 根据分段函数定义域的确定原则：将每一段上函数的自变量的范
数
学 必
围取并集，即：[－5,0]∪[2,6)．
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第一章 集合与函数概念
4．已知集合 A＝{a，b}，B＝{m，n}，则由 A 到 B 的映射的个数为__4__. [解析] 由题意可知：
数
学 必
共有 4 个映射．
[思路分析] (1)从集合A到B的映射中元素是怎样对应的？
必
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(2)怎样判断一个对应是映射？
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)A 中元素 3 在对应关系 f 的作用下与 3 的差的绝对值为 0，而 0∉B，
故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无
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第一章 集合与函数概念
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建
模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力. 在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能
够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提
互动探究
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第一章 集合与函数概念
命题方向1 ⇨分段函数及其应用
已知函数 f(x)＝－x2x0≤－x1<≤1x，<0， x1≤x≤2.
(1)求 f(－8)，f(－23)，f(12)，f(32)的值；
数
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(2)作出函数的简图；
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(3)求函数的定义域和值域．
数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一的元素与之对应，
符合映射定义，是映射．
数 学
(4)因为 A 中每一个元素在 f：x→y＝12x 作用下对应的元素构成的集合 C＝
必
修 ①
{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义，是映射．
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第一章 集合与函数概念
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第一章 集合与函数概念
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第一章 集合与函数概念
1．分段函数 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数． [知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函 数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
第一章
集合与函数概念
1.2.2 函数的表示法
第二课时 分段函数与映射
第一章 集合与函数概念
自主预习
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第一章 集合与函数概念
某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王
牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和
记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q为12，K为13，其余
的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的
牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表
数 学
演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
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∴x≤11，∴x 的取值范围是 1≤x≤11.
数
[点评] (3)可以作直线 y＝2 与函数 y＝f(x)的图象交于点 A(1,2)，B(11,2)，要
学
必 修
使 y≥2，应有 1≤x≤11.
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第一章 集合与函数概念
『规律方法』 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言． (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型． (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
〔跟踪练习 2〕
已知 A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合 A 到集合 B 的映射 f：x→2xx＋1.
(1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么？
(2)与 B 中元素49相对应的 A 中的元素是什么？
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)A 中元素 1，即 x＝1，代入对应关系，得2xx＋1＝2×11＋1＝13，即
因为－1≤x<0 时，f(x)＝－x，所以 f(－23)＝－(－23)＝23.
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因为 0≤x<1 时，f(x)＝x2，所以 f(12)＝(12)2＝14.
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因为 1≤x≤2 时，f(x)＝x，所以 f(32)＝32.
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第一章 集合与函数概念
(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象，如图所示：
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第一章 集合与函数概念
[思路分析] 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内 有不同的解析式．
(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．
(2)在不同的区间，依次画出函数图象． [解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．
(1)因为－8∉[－1,2]，所以 f(－8)无意义．
[错解] ∵B 中的元素 y＝3x＋1 与 A 中元素 x 对应，∴A 中元素 1,2 分别对
应 B 中的元素 4,7.
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∴aa24＋＝33a×＝33＋k＋1＝1.10， ∵a，k∈N，∴a 不存在，∴k 不存在．
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第一章 集合与函数概念
[错因分析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定义．a4＝10或a2＋3a ＝10都有可能，因而要分类讨论．
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唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映
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射．
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第一章 集合与函数概念
2．函数 y＝|x|的图象是 ( B )
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[解析] 因为 y＝|x|＝－x，x，x≥x＜0，0， 所以 B 选项正确．
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第一章 集合与函数概念
3．y＝f(x)的图象如图所示，则函数的定义域是 ( D ) A．[－5,6) B．[－5,0]∪[2,6] C．[－5,0)∪[2,6) D．[－5,0]∪[2,6)
与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是13.
(2)B 中元素49，即2xx＋1＝49，解得 x＝4，因此与 B 中元素49相对应的 A 中的元
数 素是 4.
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第一章 集合与函数概念
映射概念的理解错误
设集合 A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，其中 a，k∈N，映 射 f：A→B 使 B 中的元素 y＝3x＋1 与 A 中的元素 x 对应，求 a 及 k 的值.
(2)由条件知，函数 f(x)的定义域为 R.由图象知，当|x|≤1 时，f(x)＝x2 的值域
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为[0,1]，当|x|>1 时，f(x)＝1，所以 f(x)的值域为[0,1]．
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第一章 集合与函数概念
命题方向2 ⇨映射的概念
判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射：
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第一章 集合与函数概念
〔跟踪练习 1〕
已知 f(x)＝x2|x|≤1 ， 1|x|>1
(1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
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第一章 集合与函数概念
[解析] (1)利用描点法，作出 f(x)的Байду номын сангаас象，如图所示．
(1)A＝N*，B＝N*，对应关系 f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f；作圆的内接矩形；
(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系 f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y＝12x.
数 学
[知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射：
(1)A，B为非空集合；
(2)有对应法则f；
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(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对应．
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第一章 集合与函数概念
(2) 映 射 与 函 数 的 关 系 ： 函 数 是 特 殊 的 映 射 ， 即 当 两 个 集 合 A ， B 均 为 __非__空__数__集____时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一 定是函数，映射是函数的推广．