三元一次不定方程组的经典解题方法

三元一次不定方程组的经典解题方法

对于不定方程组很多同学都觉得摸不着头脑，未知数和方程数都较多，感觉自己好像会其实又不会。那本文就来给大家讲解不定方程组的经典解法。不定方程组常分为两种形式，一种是不定方程组求个体，另一种是不定方程组求整体的。

【例1】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺？（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析：此题是典型的不定方程组求个体的题型，方法是消元变成不定方程用数字特性或者代入排除法。设出未知数，列方程为：

⎩⎨⎧=++=++6097156z y x z y x

因为求的是水饺，消掉未知数z 得到不定方程3x-y=3，变形得到方程y=3x-3，

根据数字特性知道y 应该是3的倍数，答案选C 。

代入排除，只有选项C 带入x 可以得到整体，满足题意，答案选C 。

【例2】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?（ ）

A. 21元

B. 11元

C. 10元

D. 17元 解析：本题是求的是整体z y x ++整体的题型，方法是极值法或待定系数法。设未知数列方程为： ⎩⎨⎧=++=++431043273z y x z y x

极值法：设y=0，得到方程：⎩

⎨⎧=+=+434323z x z x ，解得x=11，z=-1 所以10=++z y x ，本题答案C 。

待定系数法：设x+y+z=a(3x+7y+z)+b(4x+10y+z)=(3a+4b)x+(7a+10b)y+(a+b)z

根据相同未知数的系数相等得3a+4b=1；7a+10b=1；a+b=1。解得a=3,b=﹣2.

所以x+y+z=a(3x+7y+z)+b(4x+10y+z)=3×32-2×43=10，本题选C 。

希望同学们记住：不定方程组的问题在求个体的时候，先消元后用数字特性或者代入排除法来做；如果是不定方程组求整体，那我们用极值法或待定系数法来做。