网络授课-《零障碍中考-数学》 第27课
网络授课-学用《零障碍中考-数学》 课时作业-9(1)
第 ９ 课方 程 与 不 等 式 的 综 合 应 用１． （ ２０１８· 哈 尔 滨 ） 春 平 中 学 计 划 购 买 Ａ 型 、 Ｂ 型 两 种 型 号 的 放 大 镜 ． 已 知 购 买 ８ 个 Ａ 型 放 大 镜 和 ５ 个 Ｂ 型 放 大 镜 需 用 ２２０ 元 ， 购 买 ４ 个 Ａ 型 放 大 镜和 ６ 个 Ｂ 型 放 大 镜 需 用 １５２ 元 ．（ １） 求 每 个 Ａ 型 放 大 镜 和 每 个 Ｂ 型 放 大 镜 各 多少 元 ； （ ２） 春 平 中 学 决 定 购 买 Ａ 型 放 大 镜 和 Ｂ 型 放 大镜 共 ７５ 个 ， 总 费 用 不 超 过 １ １８０ 元 ， 那 么 最多 可 以 购 买 多 少 个 Ａ 型 放 大 镜 ？２． 博 雅 书 店 准 备 购 进 甲 、 乙 两 种 图 书 共 １００ 本 ， 购书 款 不 高 于 ２ ２２４ 元 ， 预 计 这 １００ 本 图 书 全 部 售完 的 利 润 不 低 于 １ １００ 元 ， 两 种 图 书 的 进 价 、 售价 如 下 表 所 示 ：甲 种图书 乙 种 图 书 进 价 ／（ 元 ／ 本 ） １６ ２８ 售 价 ／（ 元 ／ 本 ）２６４０请 解 答 下 列 问 题 ： （ １） 有 哪 几 种 进 书 方 案 ？ （ ２） 在 这 批 图 书 全 部 售 出 的 条 件 下 ， 直 接 指 出（ １） 中 的 哪 种 方 案 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 是 多少 ？ （ 无 需 说 明 理 由 ）３． 某 商 场 用 ３２ ０００ 元 购 进 了 一 批 运 动 服 ， 上 市 后很 快 脱 销 ． 商 场 又 用 ６８ ０００ 元 购 进 第 二 批 这 种运 动 服 ， 所 购 数 量 是 第 一 批 购 进 数 量 的 ２ 倍 ， 但每 套 进 价 多 了 １０ 元 ．（ １） 该 商 场 两 次 共 购 进 这 种 品 牌 运 动 服 多 少 套 ？ （ ２） 如 果 这 两 批 运 动 服 每 套 的 售 价 相 同 ， 且 全 部售 完后 总 利 润 率 不 低 于 ２０％ ， 那 么 每 套 售 价至 少 是 多 少 元 ？４． 某 商 店 销 售 １０ 台 Ａ 型 和 ２０ 台 Ｂ 型 电 脑 的 利 润为 ４ ０００ 元 ， 销 售 ２０ 台 Ａ 型 和 １０ 台 Ｂ 型 电 脑 的利 润 为 ３ ５００ 元 ．（ １） 求 每 台 Ａ 型 电 脑 和 Ｂ 型 电 脑 的 销 售 利 润 ；（ ２） 该 商 店 计 划 一 次 购 进 两 种 型 号 的 电 脑 共 １００台 ， 其 中 Ｂ 型 电 脑 的 进 货 量 不 超 过 Ａ 型 电 脑的 ２ 倍 ， 设 购 进 Ａ 型 电 脑 ｘ 台 ， 这 １００ 台 电 脑的 销 售 总 利 润 为 ｙ 元 ．①直 接 写 出 ｙ 关 于 ｘ 的 函 数 关 系 式 ：②该 商 店 购 进 Ａ 型 、 Ｂ 型 电 脑 各 多 少 台 ， 才 能使 销 售 总 利 润 最 大 ？９。
网络授课-《零障碍中考-数学》 第23课
南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 Ｐ的南偏东
（３）点 Ｃ在 Ｏ的
方向上．
４５°方向的 Ｂ处，求此时轮船所在的 Ｂ处与灯塔 Ｐ
的距离．
３．坡角、坡度３．如图，水库的拦水坝的横截面是一个梯形，坝顶ＢＣ
如图，ＡＢ是一个斜坡，
＝６米，坝高 ＢＥ＝９米，斜坡 ＡＢ的坡角为 ４５°，斜坡
第一轮 基础复习 ７５
第 ２３课 解直角三角形的应用
一、知识要点
对应练习
１．仰角与俯角
１．（２０１９·广东）如图，某校教学楼 ＡＣ与实验楼 ＢＤ的
（１）抬头看时，视线与水平
水平间距 ＣＤ＝１５槡３，在实验楼顶部 Ｂ点测得教学楼
线的夹角叫仰角，图中 人眼 看 点 Ａ的 仰 角
顶部 Ａ点的仰角是 ３０°，底部 Ｃ点的俯角是 ４５°，则 教学楼 ＡＣ的高度是 米（结果保留根
（１）坡面 ＡＢ与水平线 ＡＣ的夹
ＣＤ的坡度为 １∶槡３，求坝底 ＡＤ的长．
角 α叫坡角．
（２）坡 角 的 正 切 值 叫 坡 度，记
作 ｉ＝ｔａｎα＝ＢＡＣＣ．来自①当 ｉ＝１∶槡３时，α＝
；
②当 ｉ＝槡３∶１时，α＝
；
③当 ｉ＝１∶１时，α＝
；
④当 ＢＣ＝２时，ＡＣ＝６，ｉ＝
．
７６ 零障碍中考 数学
考点 ２ 方位角 ６．（２０１９·怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河
流的河面宽度，小明在南岸 Ｂ处测得对岸 Ａ处一棵 柳树位于北偏东 ６０°方向，他以每秒 １．５米的速度沿 着河岸向东步行 ４０秒后到达 Ｃ处，此时测得柳树位 于北偏东 ３０°方向，试计算此段河面的宽度．
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
网络授课-学用《零障碍中考-数学》 课时作业-26
８．如图，点 Ｐ是正方形 ＡＢＣＤ的对角线 ＢＤ上的一 点，连接 ＰＡ，ＰＣ． （１）求证：∠ＰＡＢ＝∠ＰＣＢ； （２）在 ＢＣ上截取一点 Ｅ，连接 ＰＥ，使得 ＰＥ＝ＰＣ， 连接 ＡＥ，判断△ＰＡＥ的形状，并说明理由．
２６
若两个小正方形的面积分别为 Ｓ１ 和 Ｓ２，比较 Ｓ１
与 Ｓ２的大小
（ ）Biblioteka Ａ．Ｓ１ ＞Ｓ２Ｂ．Ｓ１ ＝Ｓ２
Ｃ．Ｓ１ ＜Ｓ２
Ｄ．不能确定
３．（２０１８·湖北）如图，Ｅ是正方形 ＡＢＣＤ内一点，如果
△ＡＢＥ为等边三角形，那么∠ＤＣＥ＝
°． ７．（２０１９·孝感）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ、Ｆ
分别在 ＣＤ，ＡＤ上，ＢＥ与 ＣＦ交于点 Ｇ．若 ＢＣ＝
零障碍中考 数学
第 ２６课 正方形
１．已知正方形的一条边长为 ２，则它的对角线长 ６．如图，边长为 ６的大正方形中有两个小正方形，
为
．
２．（２０１９·攀枝花）下列判定错误的是 （ ）
Ａ．平行四边形的对边相等
Ｂ．对角线相等的四边形是矩形
Ｃ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
Ｄ．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形
４，ＤＥ＝ＡＦ＝１，则 ＧＦ的长为
（ ）
Ａ．１５３
４．如图，一顶点重合的两个大小完全相同的边长为
３的正方形 ＡＢＣＤ和正方形 ＡＢ′Ｃ′Ｄ′，∠ＤＡＤ′＝
４５°，边 ＢＣ与 Ｄ′Ｃ′交于点 Ｏ，则四边形 ＡＢＯＤ′的
周长是
．
Ｂ．１５２ Ｃ．１５９ Ｄ．１５６
５．已 知 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是 ⊙Ｏ上 的 四 个 点，∠ＡＤＣ＝ ∠ＢＣＤ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤ．求证：四边形 ＡＢＣＤ是正 方形．
中考总复习数学竞赛辅导讲义及习题解答 第27讲 动态几何问题透视
第二十七讲 动态几何问题透视春去秋，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出．动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性． 2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． 3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看不同的定理统一起，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”． 【例题求解】【例1】 如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在定直线上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到A ″B ″C ″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A 运动到点A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是 ．思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割．Rt ΔABC 的两次转动，顶点A 所经过 的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l 所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作AA ′⊥AB ，BB ′⊥AB ，且AA ′=AP ，BB ′=BP ，连结A ′B ′，当点P 从点A 移到点B 时，A ′B ′的中点的位置( ) A ．在平分AB 的某直线上移动 B ．在垂直AB 的某直线上移动C ．在AmB 上移动D ．保持固定不移动思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律．⌒【例3】 如图，菱形OABC 的长为4厘米，∠AOC ＝60°，动点P 从O 出发，以每秒1厘米的速度沿O →A →B 路线运动，点P 出发2秒后，动点Q 从O 出发，在OA 上以每秒1厘米的速度，在AB 上以每秒2厘米的速度沿O →A →B 路线运动，过P 、Q 两点分别作对角线AC 的平行线．设P 点运动的时间为x 秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y 厘米，请你回答下列问题：(1)当x =3时，y 的值是多少?(2)就下列各种情形：①0≤x ≤2；②2≤x ≤4；③4≤x ≤6；④6≤x ≤8．求y 与x 之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y 与x 的关系．思路点拨 本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】 如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC=2cm ，现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1m ／秒的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2cm ／秒的速度向点C 运动，设点E 离开点B 的时间为2 (秒)． (1)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行?(2)设1<t <2，当t 为何值时，EF 与半圆相切?(3)当1≤t <2时，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP ：PC 的值．思路点拨 动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于t 的方程；对于(3)，点P 的位置是否发生变化，只需看PCAP是否为一定值．注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】 ⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点；如图(1)，连结O 2 O 1并延长交⊙O 1于P 点，连结PA 、PB 并分别延长交⊙O 2于C 、D 两点，连结C O 2并延长交⊙O 2于E 点．已知⊙O 2的半径为R ，设∠CAD=α． (1)求：CD 的长(用含R 、α的式子表示)；(2)试判断CD 与PO 1的位置关系，并说明理由； (3)设点P ′为⊙O 1上(⊙O 2外)的动点，连结P ′A 、P ′B 并分别延长交⊙O 2于C ′、D ′，请你探究∠C ′AD ′是否等于α? C ′D ′与P ′O l 的位置关系如何?并说明理由．思路点拨 对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P 点虽为OO l 上的一个动点，但⊙O 1、⊙O 2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起．学力训练1．如图， ΔABC 中，∠C=90°，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 延长线上的D 处，则AC 边扫过的图形的面积是 cm (π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．2．如图，在Rt Δ ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3 cm ，将ΔABC 绕点B 旋转至ΔA'BC'的位置，且使A 、B 、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm ．3．一块等边三角形的木板，边长为l ，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( )A ．23πB ．34πC ．4D ．232π+4．把ΔABC 沿AB 边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12-B ．22C ．1D ．21⌒5．如图，正三角形ABC的边长为63厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．(1)若r=3厘米，求⊙O首次与BC边相切时AO的长；(2)在O移动过程中，从切点的个数考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S>0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．6．已知：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB的长为x，CD的长为y．(1)求y关于x的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求y的值；(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时y的取值范围；(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE为直径的圆与⊙O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长．7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=x，ON= (y>x≥0)，ΔAOM的面积为S，若cosα、OA是方程0-zz的两个根．+22=52(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ON·MN；(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知：如图①，E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF ＝nAE(n 是正整数)的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动．设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S ．(1)当n=l 、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使? (2)当n=3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)，探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使ABCD S S 矩形21； (3)当n=k (k ≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E 从O 点出发，以1个单位／秒的速度沿x 轴正方向运动，点F 从O 点出发，以2个单位／秒的速度沿y 轴正方向运动，B(4，2)，以BE 为直径作⊙O 1．(1)若点E 、F 同时出发，设线段EF 与线段OB 交于点G ，试判断点G 与⊙O 1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB ，几秒时FB 与⊙O 1相切?(3)如图2，若E 点提前2秒出发，点F 再出发，当点F 出发后，E 点在A 点左侧时，设BA ⊥x 轴于A 点，连结AF 交⊙O 1于点P ，试问PA ·FA 的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．参考答案。
2019届百色市中考数学《第27课时：图形的平移与旋转》精讲精练
第27课时 图形的平移与旋转百色中考考题感知与试做平面直角坐标系中的平移1. （2017·百色中考）如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点C 在y 轴正半轴上,点A 的坐标为（2,0）,将正方形OABC 沿着OB 方向平移12OB 个单位,则点C 的对应点坐标为 （1,3） Ｗ.网格中的平移与旋转2.（2015·百色中考）如图,AB ∥DE,AB ＝DE,BF ＝EC.（1）求证：AC ∥DF ；（2）若CF ＝1个单位长度,能由△ABC 经过图形变换得到△DEF 吗？若能,请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程；若不能,说明原因.（1）证明：∵AB ∥DE ,∴∠B ＝∠E.∵BF ＝EC ,∴BF －FC ＝EC －FC ,即BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中,∴△ABC ≌△DEF （SAS ）.∴∠ACB ＝∠DFE ,∴∠ACF ＝∠DFC ,∴AC ∥DF ；（2）解：能,△ABC 先向右平移1个单位长度,再绕点C 旋转180°即可得到△DEF.核心考点解读图形的平移1.平移：在平面内,一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形变换叫做平移.2.确定平移的要素：（1）方向；（2）距离.3.平移的性质（1）平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,所以平移前后的图形全等,由此可得对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等；（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.4.平移作图的步骤（1）根据题意,确定平移方向和平移距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离,平移各个关键点,得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点,得到平移后的图形.图形的旋转5.旋转：在平面内,一个图形绕一个定点,转动一定的角度,得到另一个图形的变换,叫做旋转.这个定点叫做旋转中心,转动的这个角叫做旋转角.旋转→旋转对称图形→中心对称图形6.旋转是旋转中心,旋转方向和旋转角度所确定.7.旋转的性质（1）旋转只是改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,所以旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角,都等于旋转角.8.旋转作图的步骤（1）根据题意,确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点,得到旋转后的图形.平面直角坐标系中的平移与旋转9.图形的平移与坐标变化【方法点拨】平移时,原图形上的所有点都沿同一个方向移动相同的距离.因此,在平面直角坐标系中,对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出这个图形进行了怎样的平移.尤其对于平行四边形及特殊平行四边形,我们可以把它们的对边看作是可以相互平移得到的两条线段,这样利用平移与点的坐标变化规律求点的坐标会很方便.10.图形的旋转与坐标变化把一个图形以原点O为旋转中心作旋转,原图形上任一点的坐标为（x,y）,以按逆时针方向旋转为例,旋转90°后对应点的坐标为（－y,x）,旋转180°（中心对称）后对应点的坐标为（－x,－y）,旋转270°（顺时针旋转90°）后对应点的坐标为（y,－x）,旋转360°后回到原位,对应点的坐标为（x,y）.1.（2018·温州中考）如图,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点A,B的坐标分别为（－1,0）,（0,3）.现将该三角板向右平移使点A与点O重合,得到△OCB′,则点B的对应点B′的坐标是（C）A.（1,0）B.（3,3）C.（1,3）D.（－1,3）（第1题图）（第2题图）2.如图,将△ABE向右平移2 cm得到△DCF,如果△ABE的周长是16 cm,那么四边形ABFD的周长是（C）A.16 cmB.18 cmC.20 cmD.21 cm3.（2018·贺州中考）如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接BB′,若∠A′B′B＝20°,则∠A的度数是65°.4.（2016·梧州中考）点P（2,－3）先向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到点P′的坐标是（－2,－2）Ｗ.5.（2018·北部湾中考）如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A （1,1）,B（4,1）,C（3,3）.（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2；（3）判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.（无须说明理由）解：（1）如图,△A1B1C1即为所求；（2）如图,△A2B2C2即为所求；（3）以O,A,B为顶点的三角形为等腰直角三角形.[∵OB＝OA1＝16＋1＝17,A1B＝25＋934,即A1B＝2OB＝2OA1,OB2＋OA21＝A1B2,∴此三角形为等腰直角三角形.]典题精讲精练平面直角坐标系中的平移例1如图,将“笑脸”图标向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P′的坐标是（C）A.（－1,6）B.（－9,6）C.（－1,2）D.（－9,2）【解析】根据平移的坐标变化规律“横坐标右移加、左移减,纵坐标上移加、下移减”即可解决问题.由题意,得点P（－5,4）向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P′的坐标是（－1,2）.平移与旋转的性质例2如图,△ABC中,AB＝AC,BC＝12 cm,点D在AC上,DC＝4 cm.将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则△EBF的周长为13cm.【解析】直接利用平移的性质得出EF＝DC＝4 cm,从而得出BE＝EF＝4 cm,进而求出答案.∵将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF,∴EF＝DC＝4 cm,FC＝7 cm.∵AB＝AC,BC＝12 cm,∴∠B＝∠C,BF＝5 cm,∴∠B＝∠BFE,∴BE＝EF＝4 cm,∴△EBF的周长为4＋4＋5＝13（cm）.【点评】此题主要考查了平移的性质,根据题意得出BE的长是解题的关键.例3如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB＝20°,则∠ADC的度数是（C）A.55°B.60°C.65°D.70°【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,∴∠DCE＝∠ACB＝20°,∠BCD＝∠ACE＝90°,AC＝CE,∴∠ACD＝90°－20°＝70°.∵点A,D,E在同一条直线上,∠ACE＝90°,AC＝CE,∴∠DAC＋∠E＝90°,∠E＝∠DAC＝45°.在△ADC中,∠ADC＋∠DAC＋∠ACD＝180°,即45°＋70°＋∠ADC＝180°,解得∠ADC＝65°.【点评】此题考查旋转的性质,关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答.网格中的平移与旋转例4如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A（2,3）,B（1,1）,C（5,1）.（1）把△ABC平移后,其中点 A移到点A1（4,5）,画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,画出旋转后的△A1B2C2.【解析】（1）根据图形平移的坐标变化规律画出平移后的△A1B1C1即可；（2）根据图形旋转的性质在网格中画出旋转后的△A1B2C2即可.【解答】解：（1）如图,△A1B1C1即为所求；（2）如图,△A1B2C2即为所求.1.（2016·贵港中考）在平面直角坐标系中,将点A（1,－2）向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A′,则点A′的坐标是（A）A.（－1,1）B.（－1,－2）C.（－1,2）D.（1,2）2.（2018·梧州中考）如图,在正方形ABCD中,A,B,C三点的坐标分别是（－1,2）,（－1,0）,（－3,0）,将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是（B）A.（－6,2）B.（0,2）C.（2,0）D.（2,2）3.（2018·南京中考）在平面直角坐标系中,点A的坐标是（－1,2）,作点A关于y轴的对称点,得到点A′,再将点A′向下平移4个单位,得到点A″,则点A″的坐标是（1,－2）.4.如图,把三角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,则顶点C 平移的距离CC′＝ 5 .5.（2018·桂林中考）如图,在正方形ABCD 中,AB ＝3,点M 在CD 的边上,且DM ＝1,△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称,将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF 的长为（ C ）A .3B .23C .13D .156.（2017·贵港中考）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C ,M 是BC 的中点,P 是A′B′的中点,连接PM.若BC ＝2,∠BAC ＝30°,则线段PM 的最大值是（ B ）A .4B .3C .2D .17.（2018·黑龙江中考）如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内,△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1,4）,B （1,1）,C （3,1）.（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）在（2）的条件下,求线段BC 扫过的面积（结果保留π）.解：（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；（2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；（3）线段BC 扫过的面积为S 扇形OCC 2－S 扇形OBB 2＝90×π×（10）2360－90×π×（2）2360＝2π. 请完成精练本第49～50页作业。
网络授课-《零障碍中考-数学》 第11课
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
ｋ＞０
（３）在 同 一 坐 标 系 中 画 出 ｙ＝２ｘ与 ｙ＝２ｘ＋１的
图象．
ｋ＜０
ｘ
…
…
ｙ＝２ｘ …
…
（３）ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象：
ｙ＝２ｘ＋１ …
…
ｋ＞０，ｂ＞０
ｋ＞０，ｂ＜０
ｋ＜０，ｂ＞０
ｋ＜０，ｂ＜０
（４）平移规律：
当 ｂ＞０，向上平移 ｂ个单位
（ ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
考点 ２ 待定系数法求一次函数解析式
８．（２０１８· 常 州 ）一 个 正 比 例 函 数 的 图 象 经 过
（２，－１），则它的表达式为
（ ）
Ａ．ｙ＝－２ｘ
Ｂ．ｙ＝２ｘ
Ｃ．ｙ＝－１２ｘ
Ｄ．ｙ＝１ ２ｘ
９．已知一次函数的图象经过点（０，１）与（２，５），
Ｃ．ｙ＝ｘ＋８
Ｄ．ｙ＝－ｘ＋８
２０．两个一次函数 ｙ＝ａｘ＋ｂ和 ｙ＝ｂｘ＋ａ在同一直角
坐标系中的图象可能是
（ ）
１７．已知一次函数的图象经过（１，１）和（－１，－５）． （１）求此函数的解析式； （２）求它与直线 ｙ＝ｘ＋２的交点坐标．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｃ组
１８．某产品每件成本 １０元，试销阶段每件产品的销售 价 ｘ（元）与产品的日销售 量 ｙ（件）之 间 的 关 系 如表：
（１）求它的解析式；
（２）若点（ａ，－３）在该图象上，求 ａ的值．
第一轮 基础复习 ３５ 考点 ４ 一次函数的应用 １３．（２０１７·绍兴）某市规定了每月用水 １８立方米以内
网络授课-《零障碍中考-数学》 第21课(1)
ｂｄ＝２３４６６８零障碍中考数学一、知识要点第２１课相似对应练习１．四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ中，如果其中两条线段的比等于１．下列四组线段中，不成比例的是（）另外两条线段的比，如ａ＝ｃ（或ａ∶ｂ＝ｃ∶ｄ），那么Ａ．３，６，２，４Ｂ．１，槡２，槡３，槡６Ｃ．１，２，３，９Ｄ．３，６，４，８这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．２．平行线分线段成比例定理２．（２０１８·舟山）如图，直线ｌ１∥ｌ２（１）三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等；∥ｌ３，直线ＡＣ交ｌ１，ｌ２，ｌ３于点Ａ，Ｂ，Ｃ；直线ＤＦ交ｌ１，ｌ２，ｌ３于点Ｄ，（２）平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等．Ｅ，Ｆ，已知ＡＢ１ＥＦＡＣ３，则ＤＥ＝．３．相似的概念与性质３．（１）如图，△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，ＡＥ＝４ｃｍ，（１）相似的概念：形状相同（大小不一定相同）的图形称为相似图形．ＥＣ＝２ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ，∠Ｃ＝４０°，∠ＡＥＤ＝，ＤＥ＝．（２）相似多边形的性质：（２）（２０１８·广东）在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ①对应角相等，对应边的比相等② 周长之比等于相似比，面积之比等于相似比分别为ＡＢ和ＡＣ的中点，则△ＡＤＥ与△ＡＢＣ的面积之比为（）的平方．③ 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之Ａ．１Ｂ．１Ｃ．１Ｄ．１比都等于相似比４．相似三角形的判定４．请根据条件证明图中两个三角形相似．（１）（２）（３）文字语言图形（１）判定１：两角对应相等的两个三角形相似（２）判定２：三边对应成比例的两个三角形相似（３）判定３：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（４）判定４：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2014中考数学名师复习课件(第27课时平行四边形
又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行 四边形．
(2)假命题：①四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD
＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形； ②四边形ABCD中，AC交BD于O，如果AO＝CO， AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
全效学习中考学练测
BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.求证：∠BAE ＝∠CDF.
图27－8
全效学习中考学练测
考点管理
归类探究
易错警示
课时作业
证明：在▱ABCD中，AB＝DC，AB∥DC， ∴∠B＝∠DCF. 在△ABE和△DCF中， AB＝DC，∠B＝∠DCF，BE＝CF， ∴△ABE≌△DCF，
∴∠BAE＝∠CDF.
形；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是 平行四边形． 3．解题技巧：(1)解与平行四边形相关问题时，对角线是 解决问题的常用线段；
全效学习中考学练测
考点管理
归类探究
易错警示
课时作业
(2)在涉及三角形中线问题时，常延长并加倍中线，构
成平行四边形，在平行四边形的背景下探索问题，利 用平行四边形的性质为解题服务． 4．常用结论：(1)两条平行线间的平行线段相等；
图27－1 (2)如图27－1，四边形ABCD是平行四边形，则有
S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD.
全效学习中考学练测
考点管理
归类探究
易错警示
课时作业
1．[2010· 湖州]如图27－2，在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB ＝2 cm，则▱ABCD的周长等于 ( A )
图27－2
A．10 cm C．5 cm
数学第二十七章圆复习冀教版九年级上公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
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要点、考点聚焦
(3)圆心角、弧、弦、弦心距.
定理: 在同圆或等圆中，相等圆心角所正确弧 相等，所正确弦相等，所对弦弦心距相等.
(4)圆周角
定理: 一条弧所对圆周角等于它所正确圆心角二分之 推一论. 1: 同弧或等弧所正确圆周角相等；同圆或等圆
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课前热身
1. 如图所表示，矩形ABCD与⊙O交于点A、B.F、E，DE
＝1cm,EF=3cm,则AB＝ 5
cm。
2.若AB分圆为1∶5两部分, 则劣孤AB所对圆周
角为
A
()
A.30° B.150°
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课前热身
3.(多选题) 如图, 以O为圆心两个同心圆半径分别为
11cm和9cm, 若⊙P与这两个圆都相切, 则下列说法中正
弦所正确圆周角为
( )D
A.60° B.120°
C.45° D.60°或120°
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它一个外角 ∠DCE=70°，则∠BOD=( D )
A. 35° C. 110°
B.70° D.140°
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(2)AC=AE (3)DB∥CE.
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【解析】 (1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等， 又已知OA是∠CAE平分线，联想到角平分线性质， 故过O分别作OG⊥AC于G， OH⊥AE于H， ∴OG=OH ∴BC=DE (2)由垂径定理知：BC=DE，G、H分别是BC.DE中点. 再由△AOG≌△AOH AG=AH AB=AD AC=AE. (3)AC=AE ∠C=∠E，再依据圆内接四边形 性质定理知∠C=∠ADB .①② D.②③
网络授课-《零障碍中考-数学》 第31课(1)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
聚焦关键信息联想基本图形组织生成路径——2023年北京市中考数学第27题赏析
聚焦关键信息联想基本图形组织生成路径2023年北京市中考数学第27题赏析安徽省合肥市第四十八中学陶兴高丁永愿(邮编:230002)摘要以2023年北京市中考数学压轴题为例,对题干多视角分析㊁对关键信息发散联想㊁生成多种解题思路.在呈现解决压轴题的过程中,帮助学生复习巩固知识㊁开拓思维㊁提升学生的数学核心素养,最后对如何提高学生解决平面几何问题的能力给出一点思考.关键词基本图形;联想发散;一题多解著名数学教育家波利亚说: 一个专心认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面,通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域[1]. 解题是数学中必不可少的学习活动,具有巩固基础知识㊁培养思想方法㊁发展核心素养的功能.锻炼解题的能力固然要以做题为主,但不能仅仅停留在低层次的数学操作层面,教师在解题研究时,要关注解题思路的形成过程,积累数学活动经验.下面我们以北京市中考数学压轴题为例,阐述具体的探究过程.1原题呈现(2023㊃北京)在әA B C中,øB=øC=α(0ʎ<α<45ʎ),A MʅB C于点M,D是线段M C 上的动点(不与点M,C重合),将线段D M绕点D顺时针旋转2α得到线段D E .图1图2 (1)如图1,当点E在线段A C上时,求证:D 是M C的中点;(2)如图2,若在线段B M上存在点F(不与点B,M重合)满足D F=D C,连接A E,E F,直接写出øA E F的大小,并证明.这是一道优秀的几何压轴题,题干简洁,问题明确,具有低起点㊁多视角㊁高目标的特点,以提高解决问题能力为目标,能够容纳不同思维习惯的学生,该问题内容简明,是以等腰三角形为背景的综合问题,考查了等腰三角形的图形与性质,旋转的性质,三角形的中位线㊁全等三角形的判定与性质等知识,兼顾考查了几何直观,演绎推理的能力,作出辅助线是解决该问题的关键.2试题分析正确解答问题的基础是准确㊁全面地理解题目中所给的信息,如:题目中显现的条件是什么?隐含的条件是什么与题目中信息相关联的知识有哪些?类似题目的解题经验有哪些?图3第(1)较为简单,本文主要探究第(2)问,从条件出发:因为øB=øC=α(0ʎ<α<45ʎ),A MʅB C于点M,可得M是B C的中点,又D是C F的中点,显然这是线段上的双中点结构,易得B F=2M D=2E D.该问题证明到此不能继续,需要构造辅助线,辅助线的构造需要根据问题中的关键信息进行联想,条件中的关键信息有中点,2倍角.中点的联想有倍长中线㊁中位线㊁斜边中线㊁三线合一等;2倍角的联想有等腰三角形㊁角平分线等.从结论出发:由图形可猜测øA E F=90ʎ,证明垂直的思路有三线合一㊁斜边中线逆定理㊁直径所对圆周角㊁相似(全等)三角形对应角相等㊁勾股定理的逆定理㊁反8字型导角(如图3)等.将条件的联想与证明垂直的思路结合构图,可形成不同的解题思路.3解法赏析思路一构造中位线法1如图4,延长F E到H使F E=E H,连接C H㊁A H㊁A F.因为D E是әF C H的中位线,则D EʊC H,C H=2D E,所以øF D E=øF C H=2α,得07中学数学教学2023年第6期图4øB =øA C H =øA C B =α,B F =C H ,得әA B F ɸәA C H (S A S ),A F =A H ,由等腰三角形三线合一得A E ʅF H .法2 如图5,连接图5A F ,取A F 中点I ,连接I D ㊁I E ㊁I M .因为D I 是әF C A 的中位线,所以I D ʊA C ,øI D M =øC =øE D I =α,易证әM D I ɸәE D I (S A S ),所以I M =I E ,又在R t әA M F 中I M =I F =I A ,所以I E =I F =I A =I M ,所以A ㊁E ㊁M ㊁F 四点共圆,由直径所对得圆周角为直径得øA E F =90ʎ.法3 如图5,因为D I 是әF C A 的中位线,易得øI D E =α,B F =2M D =2E D ,B A =C A =2I D ,所以D E B F =I D A B =12,øI D E =øB ,所以әA B F ʐәI D E 且相似比2ʒ1,所以A F =2I E ,I E =I F =I A =I M ,得øA E F =90ʎ.思路二 倍长中线图6法4 如图6,延长E D 至点G ,使得E D =G D ,连接M E ㊁C G ㊁M G .由D M =D E =D G 得øE M G =90ʎ,øD M G =øA M E =øM G D =α,在R t әE M G 中,t a n α=E MG M ,在R t әA C M 中,t a n α=A M C M ,所以E M G M =A MC M,所以әC M G ʐәA M E ,所以øM C G =M A E ,由әD G C ɸәD E F (S A S ),得øM C G =øE F D =øE A M ,所以øA E F =øA M F =90ʎ.思路三 构造角平分线法5 如图7,过D 作A C 的平行线交A M于点G ,连接E G ,易证әG M D ɸәG E D (S A S ),所以øG E D =øG M D =90ʎ,在R t әG E D 中t a n α=G E D E ,A G F D =A G C D =G M D M =t a n α,所以G ED E=图7A GF D ,又øAG E =øF D E =2α,所以әA G E ʐәF D E ,øA E G =øF E D ,所以øA E F =øG E D =90ʎ.图8思路四 构造等腰三角形法6 如图8,过E 作A C 的平行线交B C 于点G ,连接M E .易得øM E G =90ʎ,所以øE G F =øE M A =α,在R t әE G M 中t a n α=M EG E ,又B M =B F +F M =2M D +F M =M G +F M =G F ,在R t әA B M 中,t a n α=A MB M,所以M E G E =A M B M =A MG F,所以әA M E ʐәF G E ,øE A M =øE F G ,得øA E F =øA M F =90ʎ.图9法7 如图9,过D 作B C 的垂线交A C 于点G ,连接F G ㊁F A .易得øG F C =øG C F =α,øA G F =øE D F =2α,E DA G=D M A G =D C C G =c o s α,F DF G=c o s α,所以әE F D ʐәA F G ,由 手拉手 相似三角形一拖二的性质得әA F E ʐәG F D ,所以øA E F =øG D F =90ʎ.图10思路五 创新思路法8 如图10,延长D E 交A C 于点G ,过E 作B C 的平行线交A C 于点H ,连接E M .因为M E ʅA H ,E H ʅA M ,所以点E 是әA MH 的垂心,所以A E ʅMH .又C D =D G ,E H =E G ,所以F M =F D -M D =D G -D E =E G =E H ,所以四边形F M E H 是平行四边形,故E F ʊMH ,A E ʅF E .172023年第6期中学数学教学该法十分简洁,主要运用等腰三角形和平行四边形解决,脱离了繁琐的相似(全等)三角形证明.此外,还可以解析法和向量法进行解决,不过这两种方法涉及到高中知识,明显超纲,可供学有余力的学生自行研究.4问题变式在问题解决之后,如果能及时地引导学生对结论进行深层次的探究概括㊁变式拓展,可以培养学生主动探索知识的欲望,提高学生提出问题,分析问题的能力.变式思路一由静到动将问题(2)的条件 若在线段B M上存在点F满足D F=D C 改为 若在直线B M上存在点F满足D F=D C ,其余条件不变,结论是否依然成立变式思路二由正到反增加第(3)问:如图2,点F在线段B M上(不与点B,M重合),连接A E,E F,若A EʅE F,求证D是C F的中点.5解题反思解题反思是解题活动的延续,是学会怎样解题㊁积累解题经验和培养思维深刻性与批判性的良好途径.通过对解题活动㊁特别是已有的成功实践的深入分析㊁总结反思,对今后的解题可起到一定的启发和指导作用.5.1积累基本图形,奠定构图基础基本图形没有明确的概念,可以看成是解决问题中常用到的图形结构,为提高问题解决的效率,在日常教学中对于基本图形要有意识地积累和理解.一方面由于基本图形是常规图形的延申,如倍长中线模型来源于平行四边形,2倍角模型来源于等腰三角形和角平分线,因此基本图形的产生不应该是机械的记忆,而是要在探究常规图形性质时,有意识地进行图形变化,性质拓展,让学生体会基本图形的生成过程;另一方面应将基本图形赋予不同的几何背景,培养学生对基本图形的提炼和应用的能力,让学生体会基本图形的应用价值㊁应用条件及应用方法,增强学生的模型意识和几何直观.5.2注重一题多解,完善认知结构在‘义务教育数学课程标准(2022年版)“中指出[2],通过合适的主题整合教学内容,帮助学生学会用整体的㊁联系的㊁发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯,发展核心素养.但该问题的参考答案仅仅用八年级数学知识进行解决,并未完全体现该问题蕴藏的知识方法,略显曲高和寡,多数情况下不同的几何构型可以找到不同的解题思路,以达到更广更全的知识复习及方法训练.在该问题中,题干可以挖掘出不同的关键信息;同一关键信息有不同的联想,如由中点可以联想中位线㊁倍长中线㊁斜边中线等;同一联想有不同的作图视角,如法1和法2同为构造中位线,但有着有不同的构图作法;同样的构图有着不同的证明思路,如法2用全等而法3用相似,殊途同归.从找关键信息,到联想构图,再到明确思路,每个环节都可以尝试发散,充分地揭示题目中的信息,丰富完善学生的认知结构,增强学生对新问题敢于联想分析,敢于创新,从而提高学生解决问题的能力.5.3渗透思想方法,提高核心素养解题研究是让学生形成自己的数学思想和方法,学会用数学得眼光看待事物,学会用数学的思维解决问题[3].在探究该问题时,由条件信息联想构图,体现了数形结合的思想;在问题分析的过程中,体现综合分析的方法;从图1到图2再到变式图,其实就是点F位置不断变化的过程,若将第(1)问改为连接E M写出øA E F的大小,则整个题目的探究会显得更加流畅,这一过程渗透了特殊到一般的数学思想.在研究问题的过程中要注重积累解题经验,总结解题规律,感悟数学思想,帮助学生从知识学习走向思维学习.参考文献[1]波利亚.怎样解题 数学教学法的新面貌[M].涂泓,冯承天,译.上海:上海科技教育出版社,2002.[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2022.[3]罗峻,段利芳.对2021年北京中考第27题的剖析[J].数理化学习(初版),2021(11):17-23.(收稿日期:2023-10-12)27中学数学教学2023年第6期。
2024年初中九年级数学上册同步精品讲义(人教版)第27课 随机事件和概率(学生版)
第27课随机事件和概率课程标准（1）通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；（2）初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.知识点01 必然事件、不可能事件和随机事件1．必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中的事件，叫做必然事件．2．不可能事件在每次试验中都的事件叫做不可能事件．3．随机事件在一定条件下，的事件，称为随机事件.【注意】(1)必然发生的事件和不可能发生的事件均为“ ”，随机事件又称为“ ”；(2)要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.知识点02 概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability)，记为.知识精讲目标导航【注意】(1)概率是频率的，而频率是概率的；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个0，且1的数，即，其中P(必然事件)= ，P(不可能事件)= ，0<P(随机事件)<1.能力拓展考法01 随机事件【典例1】下列事件中，是随机事件的是（）A．明天下雨B．15个人中至少有两个人出生在同月C．三角形内角和为180°D．太阳从西方升起【典例2】下列事件为必然事件的是（）A．一名射击运动员射击一次，中靶B．彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票必有15张中奖C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数D．一个三角形，其任意两边之和大于第三边【典例3】事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（）A．确定事件B．随机事件C．必然事件D．不可能事件【典例4】下列事件为确定事件的是（）A．6张相同的小标签分别标有数字1～6，从中任意抽取一张，抽到5号签B．抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上C．篮球运动员投篮一次，命中篮筐D．长度分别是3，4，5的三条线段能围成一个三角形考法02 概率【典例5】在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的小球，其中3个红球、2个白球和1个黄球．从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为（）A．16B．13C．12D．56【典例6】如图是一个质地均匀的转盘，转盘中四个扇形的面积都相等，小明随意转动转盘1次，转盘停止转动后，指针指向的数字为偶数的概率为（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止）（）A．12B．14C．13D．23【典例7】50瓶饮料中有2瓶已过了保质期．从该50瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是（）A．150B．125C．2425D．4950【典例8】五张卡片分别写着-3，-2，0，1，2数字，任意抽取一张是非负数的概率为（）A．12B．35C．25D．15题组A 基础过关练1．下列事件中，属于必然事件的是（）A．购买一张彩票，中奖B．三角形的两边之和大于第三边C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．两个角相等，它们是对顶角2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．春雨绵绵B．春光明媚C．春去夏来D．春耕秋收3．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（）分层提分A．34B．43C．37D．474．小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（）A．0B．1C．12D．135．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（）A．打草惊蛇，叶落归根B．竹篮打水，水中捞月C．瓜熟蒂落，水到渠成D．心想事成，万事如意6．下列事件：①期末测试中，1班优于2班；②等边三角形的三条高交于一点；③二元一次方程有无数个解；④长为3cm,5cm,9cm的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件．．．．有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．小红通过一个设有红绿灯的十字路口时遇到绿灯，这是_______ 事件（填“随机”或“确定”）．8．如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为_________．9．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；②367人中至少有2人的生日相同；③没有水分，种子也会发芽；④某运动员百米赛跑的成绩是5s；⑤同种电荷相互排斥；⑥通常情况下，高铁比普通列车快；⑦用长度分别为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段能围成一个三角形．10．一个不透明的口袋中装有各色小球16只，其中5只红球、3只黑球、4只白球、4只绿球．求：(1)从中取出一球为白球的概率．(2)从中取出一球为红球或黑球的概率．题组B 能力提升练1．在做“抛一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是（）A．随着抛掷次数的增加，反面向下的频率越来越大B．当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为12C．不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同D．连续抛100次硬币都是正面向上，第101次抛掷出现正面向上的概率小于122．如图所示，在三个挡板的后面各藏着一只动物，分别是小猫、小狗、小熊，小明和小刚各猜一次，只要能猜中哪个挡板后面是小猫便可获胜，则两人同时获胜的概率（）A．13B．14C．16D．193．如图，是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形地面示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动，并随机停留在某块瓷砖上，蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是（）A．12B．13C．38D．234．下列事件中，是不确定事件的是（）A．雨后有彩虹B．内错角相等，两条直线平行C．对顶角相等D．三角形的内角和为180°5．下列事件中，是随机事件的是（）A．通常加热到100℃时，水沸腾B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．任意画一个三角形，其内角和是360︒D．明天太阳从东方升起6．下列成语或词语所描述的事件中，不可能发生的是（）A．水中捞月B．旭日东升C．守株待兔D．夕阳西下7．小强投一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数大于1且小于6的概率为_____．8．有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6、833π、3-64、16－2、22．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数是无理数的概率是________．9．“十一”黄金周期间，某购物广场举办迎国庆有奖销售活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，某顾客获得一次转动大转盘的机会，请你根据大转盘来计算：(1)该顾客享受七折优惠的概率；(2)该顾客得10元现金奖的概率；(3)该顾客中奖得现金的概率是多少？10．为了加强新冠疫情的防控，某社区调查统计了A、B、C三栋居民楼全体居民的疫苗接种情况，得到如下统计表（不完整）：A栋B栋C栋合计已接种人数403530105未接种人数2015x y(1)求变量(2)若A、B、C三栋居民楼一共有居民150人，请直接写出x和y的值，并求下列事件发生的概率；事件1：从C栋的居民中随机选择一人，该居民已经接种疫苗；事件2：从A、B、C三栋的居民中随机选择人，该居民未接种疫苗．题组C 培优拔尖练1．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（）A．这张牌是“A”B．这张牌是“大王”C．这张牌是“黑桃”D．这张牌的点数是102．下列事件中，是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，反面朝上B．打开电视，正在播放《美术经典中的党史》C．任意画一个四边形，它的内角和等于360D．在一个只装有白球的口袋中摸出红球3．下列说法正确的是（）A．小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球一定能中6次B．为了解全国中学生的节水意识，应采用普查的方式C．为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是300D．一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大4．如图所示，镖盘为两个半径为1：2的两个同心圆，其中阴影部分为小圆内部一个90的扇形，向大圆上投掷飞镖，则镖针落在阴影部分的概率为（）A．132B．116C．18D．145．在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点C，恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是（）A．623B．15C．923D．7257．如图，数学活动小组自制了一个飞镖盘．若向飞镖盘内投掷飞镖（落在边界线重新投掷），则飞镖落在阴影区域的概率是_____．8．在不透明的袋子中装有北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”的纪念卡片12张，每张卡片除吉祥物外其他完全相同，从中任意拿出一张，拿到“冰墩墩”纪念卡片的概率为P1，拿到“雪容融”纪念卡片的概率为P2，且P1﹣P2＝0.5，那么袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是_____．9．新世纪商场举行有奖销售，发行奖券5万张，其中设一等奖3个，二等奖10个，三等奖50个，四等奖200个，五等奖1000个．(1)获得一、二等奖的概率是多少？(2)获奖的概率是多少？10．某可乐公司利用周末搞促销活动：每购买一瓶可乐，便可参加摇奖一次，摇奖牌是平均分成8个扇形的转盘，如图所示．(1)中奖的概率是多少？(2)中奖得4瓶可乐的概率是多少？(3)如果促销活动当天能卖出可乐1000瓶，那么该促销点当天应准备奖品可乐多少瓶？(4)已知一瓶可乐的成本是1元，售价是2元，摊位费每天100元，在周末两天的促销活动中，每天能卖出可乐1000瓶，公司是赔钱还是赚钱？金额是多少？。
23年北京中考数学27题讲解
23年北京中考数学27题讲解本文将为大家详细解析23年北京中考数学27题，帮助大家更好地理解和掌握这道题目的解题方法和思路。
首先，让我们来看一下题目本身：27. 在平行四边形ABCD中，∠BAD=39°，E是AD的中点，连接EC交BD于F，则∠EAF的度数是________。
接下来，我们将以解题思路为主线，为大家逐步分析这道数学题的解题过程。
解题思路：1. 首先，根据题目所给信息，我们可以知道∠BAD = 39°，且E为AD的中点。
2. 因为ABCD是平行四边形，所以我们可以得知∠BAD = ∠BDC。
3. 此时，我们可以利用前两步的信息，观察两个三角形：△AEF和△DCE。
4. 由于∠BAD = ∠BDC，所以∠BDC = 39°。
5. 由于E是AD的中点，所以∠ADE = ∠EDC（同位角）。
6. 同理，我们还可以得知∠EAF = ∠DCE。
7. 接下来，我们可以观察△AEF和△DCE两个三角形的内角之和。
8. 由于△AEF和△DCE两个三角形的内角之和分别为180°，所以我们可以得到：∠AEF + ∠EAF + ∠EFA = 180°和∠DCE + ∠CED +∠EDC = 180°。
9. 把我们已知的信息代入上述两个等式中，我们可以得到：∠EAF+ 39° + ∠EFA = 180°和∠DCE + ∠CED + 39° = 180°。
10. 再进一步整理上述两个等式，并结合我们已知的信息，我们可以得出：∠EAF + ∠EFA = 141°和∠DCE + ∠CED = 141°。
11. 根据平行四边形的特性，我们可以知道∠EAF + ∠DCE = 180°。
12. 结合前面得到的两个等式，我们可以得出：∠EAF + ∠EFA +∠DCE + ∠CED = 180° + 141°，即∠EAF + ∠EFA + ∠DCE + ∠CED= 321°。
北大绿卡九年级数学下册27.2.3相似三角形应用举例课件(新版)新人教版
∴AB＝21× 2.51.6＝13.44(m)． 即教学大楼 AB 的高度为 13.44 m.
第十七页，共31页。
利用相似三角形的知识解决实际问题的关键是构造相似三角 形数学模型，数学模型有：
(1)利用“太阳光下，同一时刻的物高和影长对应成比例”构 造相似三角形．
(2)利用“标杆在测量 (cèliáng)中的作用”构造相似三角 形．
(3)利用“平面镜的反射原理”构造相似三角形． 相似图形模型如图所示．
第十八页，共31页。
如图所示，有一池塘，要测量两端 A，B 的距离，可先在平地
上取一个可以直接到达点 A，B 的点 C，连接 AC 并延长到点 D，使
1
1
CD＝2CA，连接 BC 并延长到点 E，使 CE＝2CB，连接 ED.如果测量出
第二十页，共31页。
1．在现实生活中，有许多不便于测量的垂直高度或水平距 离．对于这些(zhèxiē)实例，我们可以设计出方便操作的相似形 模型，从而求出它们的垂直高度或水平距离．
2．仰角与俯角：从观察者眼睛的位置画出水平线，位于水 平线上方，视线与水平线的夹角叫做仰角；位于水平线下方，视 线与水平线的夹角叫做俯角．
教学大楼的高度AB.(注意： 根据光的反射定律(fǎn shè dìnɡ lǜ)：反射角 等于入射角)
第十六页，共31页。
解： 根据反射角等于入射角有∠DEF＝∠BEF，而 FE⊥AC， ∴∠DEC＝∠BEA.又∵∠DCE＝∠BAE＝90°，∴△DEC∽△BEA，
DC EC ∴BA＝EA.
∵DC＝1.6 m，EC＝2.5 m，EA＝21 m，
【解析(jiě由x图ī)】易知△ABC∽ △FDE
AB BC DF DE
中考数学冲刺复习 第六章 圆 第27课 圆课件
B组
4.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过O点作OD⊥AC 交于点D，连接BC. (1)求证(qiúzhèng)：OD1＝ BC (2)若∠BAC＝40°2，求∠ABC度数.
（1）证明(zhèngmíng)：∵OD⊥AC，∴DC=DA.
在△ABC中，∵OB=OA. DC=DA，∴OD是△ABC的中位线.
x
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。1.(1)圆是中心对称图形，对称中心是__________。3.如图4, AB是⊙O的直径，点C在圆上， 则∠ACB＝________度.。【变式1】如图，在⊙O中，弦AB的长为。求证(qiúzhèng)：(1)弧DB＝弧AC。解： 连接CD，∵AD是直径，∴∠ACD=90°.。∴△ABE∽△DCE.。解：连接AE，DE，。∵△BCE为等边三角形， ∴∠BEC=60°.
1.如图1，在⊙O中，弦AD平行(píngxíng)于弦BC，若∠AOC＝80°，
则∠DAB＝______4_0_度.
2.如图2, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB 上运动．设∠ACP＝x，则x的取值范围是__________. 30°≤x≤90°
3.如图3，AB为⊙O的直径(zhíjìng)，D点在⊙O上，∠BAC＝50°，则 ∠ADC＝____4_0_°__.
∴AE=BF=CD.
第四页，共十一页。
【变式2】如图，在⊙O中，弦AB＝弦CD， 求证(qiúzhèng)：(1)弧DB＝弧AC；
(2)∠BOD＝∠AOC.
证明(zhèngmíng)：（1）∵在⊙O中，弦AB=弦CD，
∴ AB=C.D
∵
，
BC=CB
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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１６．（２０１９·甘肃）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ、Ｄ是 圆上两点，且∠ＡＯＣ＝１２６°，则∠ＣＤＢ＝ （ ）
Ａ．５４°
Ｂ．６４°
Ｃ．２７°
Ｄ．３７°
１７．（２０１７·金华）如图，在半径为 １３ｃｍ的圆形铁片上
切下一块高为 ８ｃｍ的弓形铁片，则弓形弦 ＡＢ的长
为
（ ）
６．圆内角接所四对边的形弦对是角直互径补，．所对的弧是半圆．６．（２０１８·曲靖）如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，Ｅ为
ＢＣ 延 长 线 上 一 点，若 ∠Ａ ＝ ｎ°，则 ∠ＤＣＥ
＝
°．
８８ 零障碍中考 数学
二、核心考题
考点 １ 圆心角、弦、弧之间的关系
７．如图，ＡＢ，ＣＤ是 ⊙Ｏ的直径，ＡＥ＝ＢＤ，若 ∠ＡＯＥ＝
ＤＣ延长线上一点，且 ＣＢ＝ＣＥ，连接 ＢＥ，若∠Ｅ＝
４０°，则∠Ａ的度数为
（ ）
Ａ．９０°
Ｂ．１００° Ｃ．１１０°
Ｄ．８０°
考点 ４ 圆周角定理及其推论
１２．（２０１９·吉林）如图，在 ⊙Ｏ中，ＡＢ所对的圆周角
∠ＡＣＢ＝５０°，若 Ｐ为 ＡＢ上一点，∠ＡＯＰ＝５５°，则
∠ＰＯＢ的度数为
（ ）
Ａ．３０°
Ｂ．４５°
Ｃ．５５°
Ｄ．６０°
１３．如图，四边形 ＡＢＣＤ内接⊙Ｏ，ＡＢ经过圆心，∠ＢＡＣ
＝２０°，则∠ＡＤＣ的度数为 ．
１４．（２０１９·南京）如图，⊙Ｏ的弦 ＡＢ、ＣＤ的延长线相 交于点 Ｐ，且 ＡＢ＝ＣＤ．求证：ＰＡ＝ＰＣ．
三、中考实战 Ａ组
Ｃ．８０°
Ｄ．１２０°
其余各组量也分别相等．
５．圆周角定理及其推论５．如图，在⊙Ｏ中，已知∠ＡＯＢ＝１２０°，则∠ＡＣＢ
（１）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 ＝
．
角的一半．
（２）推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或
等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
②半圆或直径所对的圆周角是 ９０°；９０°的圆周
Ｂ组
Ｃ组
) ) ) )
２０．（２０１９·聊城）如图，ＢＣ是半圆 Ｏ的直径，Ｄ，Ｅ是
ＢＣ上两点，连接 ＢＤ，ＣＥ并延长交于点 Ａ，连接 ＯＤ，
ＯＥ．如果∠Ａ＝７０°，那么∠ＤＯＥ的度数为 （ ）
Ａ．３５° Ｂ．３８°
Ｃ．４０°
Ｄ．４２°
２１．（２０１９·孝感）如图，点 Ｉ是△ＡＢＣ的内心，ＢＩ的延
（４）劣弧ＢＣ对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆．
等弧．
２．圆的对称性２．（１）下列图形中对称轴最多的是（ ）
（１）圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任意一 Ａ．等边三角形
Ｂ．线段
条直线．
Ｃ．正方形
Ｄ．圆
（２）圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
（２）等边三角形、矩形、菱形和圆四种图形中，既是
第一轮 基础复习 ８７
第 ２７课 与圆有关的概念及性质
一、知识要点
对应练习
１．圆中的有关概念
１．如图，在⊙Ｏ中，
（１）弦：连接圆周上任意两点间的线段叫做弦，经过 （１）半径有：
．
圆心的弦是直径．
（２）直径有：
．
（２）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧 （３）弦有：
．
) )
叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．半圆也是弧． （３）等弧：在同圆或等 圆 中，能 够 完 全 重 合 的 弧 叫
ＣＤ，垂足为 Ｅ，ＡＢ＝ＢＦ，ＣＥ＝１，ＡＢ＝６，则弦 ＡＦ的 长度为 ．
，已知⊙Ｏ的半径为 １，Ａ，Ｐ，
Ｂ，Ｃ是⊙Ｏ上的四个点，∠ＡＰＣ＝∠ＣＰＢ＝６０°．
（１）当点 Ｐ位于ＡＢ的什么位置时，四边形 ＡＰＢＣ的 面积最大？并求出最大面积；
（２）直接写出线段 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ之间的数量关系．
轴对称图形，又是中心对称图形的是
．
３．垂径定理及其推论３．如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝８ｃｍ，ＯＣ⊥ＡＢ，垂足为Ｃ，
（１）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 ＯＣ＝３ｃｍ，则⊙Ｏ的半径为
ｃｍ．
分弦所对的两条弧．
（２）垂径定理 的 推 论：平 分 弦 （不 是 直 径 ）的 直 径 垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
长线与△ＡＢＣ的外接圆⊙Ｏ交于点 Ｄ，与 ＡＣ交于
点 Ｅ，延长 ＣＤ、ＢＡ相交于点 Ｆ，∠ＡＤＦ的平分线交
ＡＦ于点 Ｇ．
（１）求证：ＤＧ∥ＣＡ；
（２）求证：ＡＤ＝ＩＤ；
（３）若 ＤＥ＝４，ＢＥ＝５，求 ＢＩ的长．
２２．（２０１９· 德 州）如 图，ＣＤ为 ⊙Ｏ的 直 径，弦 ＡＢ⊥
⊙Ｏ于 点 Ｃ，连 接 ＯＡ，ＯＢ，ＢＣ，若 ∠ＡＢＣ＝２０°，则
∠ＡＯＢ的度数是 Ａ．４０°
（ ）
Ｂ．５０°
Ｃ．７０°
Ｄ．８０°
１０．（２０１８·朝阳区）如图，⊙Ｏ的半径 ＯＣ⊥ＡＢ，垂足
为点 Ｅ，∠ＢＯＥ＝６０°，ＯＢ＝６，求∠Ｄ的度数及 ＡＢ
的长．
)
)
) )
考点 ３ 圆的内接四边形
１１．如图，四边形 ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形，点 Ｅ是
１５．（２０１８·南充）如图，ＢＣ是⊙Ｏ的直径，Ａ是⊙Ｏ上 的一点，∠ＯＡＣ＝３２°，则∠Ｂ的度数是 ．
第一轮 基础复习 ８９ １９．（２０１９·安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌
溉工具．如图 １，明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图描绘了筒车的工作原理．如图 ２，筒车盛水 桶的运行轨迹是以轴心 Ｏ为圆心的圆．已知圆心 在水面上方，且圆被水面截得的弦 ＡＢ长为 ６米， ∠ＯＡＢ＝４１３°，若点 Ｃ为运行轨道的最高点（Ｃ，Ｏ 的连线垂直于 ＡＢ），求点 Ｃ到弦 ＡＢ所在直线的距 离．（参 考 数 据：ｓｉｎ４１３°≈ ０６６，ｃｏｓ４１３°≈ ０７５， ｔａｎ４１３°≈０８８）
４．弧、弦、圆心角的关系４．如图，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ、Ｄ是ＢＥ上的三等分
（１）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦也相等．
点，∠ＡＯＥ＝６０°，则∠ＣＯＥ等于
Ａ．４０°
Ｂ．６０°
（ ）
（２）推论：在 同 圆 或 等 圆 中，如 果 两 个 圆 心 角、两 条 弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的
Ａ．１０ｃｍ
Ｂ．１６ｃｍ
Ｃ．２４ｃｍ
Ｄ．２６ｃｍ
１８．（２０１９·天水）如图，四边形 ＡＢＣＤ是菱形，⊙Ｏ经
过点 Ａ、Ｃ、Ｄ，与 ＢＣ相 交 于 点 Ｅ，连 接 ＡＣ、ＡＥ．若
∠Ｄ＝８０°，则∠ＥＡＣ度数为
（ ）
Ａ．２０° Ｃ．３０°
Ｂ．２５° Ｄ．３５°
９０ 零障碍中考 数学
３２°，则∠ＣＯＥ的度数是
（ ）
Ａ．３２° Ｂ．６０° Ｃ．６８° Ｄ．６４°
８．如图，Ｄ，Ａ，Ｃ，Ｂ为 ⊙Ｏ上的点，ＤＣ＝ＡＢ，则 ＡＤ与
ＢＣ的大小关系是
（ ）
Ａ．ＡＤ＞ＢＣ
Ｂ．ＡＤ＝ＢＣ
Ｃ．ＡＤ＜ＢＣ Ｄ．不能确定
考点 ２ 垂径定理及其推论
９．（２０１８· 广 州）如 图，ＡＢ是 ⊙Ｏ的 弦，ＯＣ⊥ ＡＢ，交