2021年九年级中考数学专题训练：二次函数的实际应用(含答案)

2021中考数学专题训练：二次函数的实际应用一、选择题
1. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商
品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()
A．130元/个B．120元/个
C．110元/个D．100元/个
2. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建
墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()
A.18 m2
B.18m2
C.24m2
D.m2
3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每
段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()
A．50 m B．100 m
C．160 m D．200 m
4. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：
①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.
其中正确的是()
A ．①④
B ．①②
C ．②③④
D ．②③
5. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不
同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图①所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )
A ．y ＝26
675x 2 B ．y ＝－26
675x 2 C ．y ＝13
1350x 2
D ．y ＝－13
1350x 2
6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度
y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y
＝－112x 2＋23x ＋5
3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A ．6 m
B ．12 m
C ．8 m
D ．10 m
7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离
4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运
动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．此抛物线的解析式是y＝－1
5x
2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2 m
8. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y
＝4x－1
2x
2刻画，斜坡可以用一次函数y＝
1
2x刻画，下列结论错误的是()
A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 m
B．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势
C．小球落地点距点O的水平距离为7 m
D．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同
二、填空题
9. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a元，则可卖出(350－10a)件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．
10. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=m时，矩形土地ABCD的面积最大.
11. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=.
12. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是
s＝60t－3
2t
2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．
13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.
14. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE①AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.
三、解答题
15. 已知某商品的进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每件每涨价1元，每星期可少卖出10件．
(1)要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为多少元？
(2)每星期能否获利7000元？试说明理由．
(3)该商品每件的价格定为多少元时，每星期获利最大，最大利润是多少？16. 交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、流
速、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q(辆/小时)指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v(千米/小时)指通过道路指定断面的车辆速度；密度k(辆/千米)指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
需填上正确答案的序号)
①q＝90v＋100；①q＝32 000
v；①q＝－2v
2＋120v.
(2)请利用(1)中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
(3)已知q，v，k满足q＝vk.请结合(1)中选取的函数关系式继续解决下列问题．
①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；
①在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d(米)均相等，求流量q最大时d 的值．
17. (2019•辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
18. 有一块形状如图所示的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，①A＝①B ＝90°，①C＝135°，①E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．
(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．
2021中考数学专题训练：二次函数的实际应用-
答案
一、选择题
1. 【答案】B[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．
2. 【答案】C[解析]如图，过点C作CE⊥AB于E，设CD=x，
则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x.
在Rt①CBE中，∵∠CEB=90°，∴BE=BC=6-x，
∴AD=CE=BE=6x，AB=AE+BE=x+6-x=x+6，
∴梯形ABCD的面积=(CD+AB)·CE=x+x+6·6x=-x2+3x+18 =-(x-4)2+24，
=24，即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大，∴当x=4时，S
最大
最大面积为24m2，故选C.
3. 【答案】C[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．
4. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；
③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确； ④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40， 把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40. 解得a ＝－40
9
，
∴函数解析式为h ＝－40
9
(t －3)2＋40.
把h ＝30代入解析式，得30＝－40
9(t －3)2＋40，
解得t ＝4.5或t ＝1.5，
∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.
5. 【答案】B
[解析] 设二次函数的解析式为y ＝ax 2.由题可知，点A 的坐标为(－
45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)2，解得a ＝－26
675，∴二次函数解析式为y ＝－26
675x 2.故选B.
6. 【答案】D
[解析] 把y ＝0代入y ＝－112x 2＋23x ＋53，得－112x 2＋23x ＋5
3
＝0，
解得x 1＝10，x 2＝－2.又∵x ＞0，∴x ＝10. 故选D.
7. 【答案】A
[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－1
5x 2＋3.5.可见选项A 正确．
由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．
将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－1
5×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误．
故选A.
8. 【答案】A
[解析] 令y ＝7.5，得4x －1
2x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A
错误．
由y ＝4x －12x 2得y ＝－1
2(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．
联立y ＝4x －12x 2与y ＝1
2x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，
y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为
(0，0)，⎝ ⎛
⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确． 由对称性可知选项D 正确．
综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.
二、填空题
9. 【答案】28 [解析] 设商店所获利润为y 元．根据题意，得 y ＝(a －21)(350－10a)＝－10a 2＋560a －7350＝－10(a －28)2＋490， 即当a ＝28时，可获得最大利润．
又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a ＝28符合要求． 故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．
10. 【答案】150
[解析]设AB=x m ，矩形土地ABCD 的面积为y m 2，由题意，得
y=x ·
=-(x -150)2+33750，∵-<0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，
该函数有最大值.即AB=150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.
11. 【答案】1.6
[解析]设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h ，则第
一个小球的离地高度y=a (t -1.1)2+h (a ≠0)， 由题意a (t -1.1)2+h=a (t -1-1.1)2+h ， 解得t=1.6.
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.
12. 【答案】20
[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －3
2t 2
＝－3
2(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.
13. 【答案】75
[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为
27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－30
2×（－3）＝5时，S 最大，S
最大值
＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲
养室总占地面积最大为75 m 2.
14. 【答案】48
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点
H.
∵AB ＝36 m ，∴AH ＝BH ＝18 m. 由题可知：OH ＝7 m ，CH ＝9 m ， ∴OC ＝9＋7＝16(m)．
设该抛物线的解析式为y ＝ax 2＋k. ∵抛物线的顶点为C(0，16)， ∴抛物线的解析式为y ＝ax 2＋16.
把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a ＋16， ∴7＝324a ＋16， ∴a ＝－1
36， ∴y ＝－
136
x 2
＋16. 当y ＝0时，0＝－1
36x 2＋16， ∴－1
36x 2＝－16，解得x ＝±24， ∴E(24，0)，D(－24，0)， ∴OE ＝OD ＝24 m ，
∴DE ＝OD ＋OE ＝24＋24＝48(m)．
三、解答题
15. 【答案】
解：设该商品每件涨价x 元时，每星期获得的总利润为y 元． (1)由题意，得(60＋x －40)(300－10x)＝6090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9.
60＋1＝61(元)，60＋9＝69(元)．
答：要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为61元或69元． (2)不能．理由：列方程，得(60＋x －40)(300－10x)＝7000， 整理得x 2－10x ＋100＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×1×100＜0， ∴此方程无实数解，
∴销售该商品每星期不能获利7000元．
(3)y ＝(60＋x －40)(300－10x)＝－10x 2＋100x ＋6000＝－10(x －5)2＋6250， ∴当x ＝5时，y 最大＝6250，60＋x ＝65.
答：该商品每件的价格定为65元时，每星期获利最大，最大利润为6250元．
16. 【答案】
【思路分析】(1)可用图象得出函数关系，也可直接代入数据进行检验；(2)由已知的二次函数q ＝－2v 2＋120v 解析式，用配方法或公式法直接可求得最大值；(3)①把q ＝vk 代入q ＝－2v 2＋120v 中，消去q ，得到k 和v 的关系式，再根据v 的取值范围12≤v <18，就可求得k 的取值范围；①由(2)中已知，当v ＝30时，q
的最大值为1800，代入k ＝－2v ＋120中，求得k ＝60，因为d ＝1000
k ，把k ＝60
代入，得d ＝50
3. 解：(1)①；(3分)
【解法提示】解法一：根据数据用描点法画出图象，得出一个开口向下的二次函数图象，故选①；解法二：用代入法进行检验：把表中的数据v ＝5，q ＝550代入，可排除①；由数据v ＝20，q ＝1600可排除①；所以刻画q ，v 关系最准确的是①；
(2)q ＝－2v 2＋120v ＝－2(v －30)2＋1800，(6分) 当v ＝30时，q 最大＝1800；(8分)
(3)①由⎩⎨⎧q ＝－2v 2＋120v q ＝vk
得，k ＝－2v ＋120，
①12≤v <18，①84<－2v ＋120≤96，即84<k ≤96；(10分)
①当v ＝30时，q 最大＝1800，此时k ＝60，d ＝100060＝503.(12分)
17. 【答案】
(1)设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，
由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =，
∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．
(2)设该公司日获利为W 元，由题意得
2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+，
∵20a =-<，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴65x =，
∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大，
∵3060x ≤≤，
∴60x =时，W 有最大值，
22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
18. 【答案】
解：(1)①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图①所示：
过点C 作CF ⊥AE 于点F ，则S 1＝AB·BC ＝6×5＝30；
②若所截矩形材料的一条边是AE ，如图②所示：
过点E作EF∥AB交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG 于点H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH，∠BCH＝90°.
∵∠BCD＝135°，
∴∠FCH＝45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，
∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，
∴S2＝AE·AG＝6×5＝30.
(2)能．
如图③，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C 作CG⊥FM于点G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∴MG＝BC＝5，BM＝CG，∠BCG＝90°.
∵∠BCD＝135°，
∴∠FCG＝45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴FG＝CG.
设AM＝x，矩形AMFN的面积为S，则BM＝6－x，
∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋BM＝11－x，
∴S＝AM·FM＝x(11－x)＝－x2＋11x＝－(x－5.5)2＋30.25，∴当x＝5.5时，S取得最大值，最大值为30.25.
故这些矩形材料面积的最大值为30.25.。