数学与猜想读书笔记

数学与猜想读书笔记

【篇一：读书笔记】

波利亚《数学与猜想》（第1卷）读书笔记

小教122 姚时湾 2号

《数学与猜想》(第1卷)通过许多古代著名的猜想，讨论了论证方法，阐述了作者的观点：不但要学习论证推理，也要学习合情推理，以丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力，《数学与猜想》(第1卷)的例子不仅涉及数学各学科，也涉及到物理学，全书内容丰富，

谈古论今，叙述生动，能使人看到数学中真正的奥妙。

这本书是我的毕业论文《小学数学猜想的教学策略研究》的主要参

考文献，主要内容如下：

在《数学与猜想》这本书里，有三章讨论了归纳法的相关内容。归

纳性猜想是指解决一个问题觉得困难时，可以从问题的特征出发，

用具体的数字或字母代替问题，从简单情况开始，由不完归纳法对

此例子出发，从中归纳出有关问题的形式、结论或方法的猜想。

第一章探讨了归纳方法，归纳法常常从观察开始，一个生物学家会

观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论感

兴趣的数学家会观察整数1，2，3，4，5的性质。我们应该分析所

收集到的观察结果，对它们加以比较和综合，在证明一个数学定理

之前，先得猜测这个定理的内容，在完全作出了详细证明之前，你

先得推测证明的思路，把观察到的结果加以综合然后加以类比，你

得一次又一次地进行尝试，数学家的创造性工作成果是论证推理即

证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。

例如我在实习时碰到过的一个教学案例：观察算式发现什么规律？

12+21=33，13+31=44，14+41=55，15+51=66。学生通过观察会发现这样的规律，两位数加法，各位和十位的位子互换相加，得到另

外一个个位与十位相同的数。再继续加下去：

19+91=110，29+92=131，89+98=18又有什么共同规律呢？把得

数分解质因数，发现它们都是11的倍数。学生就可以大胆的进行归

纳猜想：两个个位和十位互换再相加的两位数，结果是11的倍数。

可再举例验证，并进一步启发学生验证自己的猜想。

第四章探讨了数论中的归纳方法，讨论了边长为整数的直角三角形（在什么情况下一个奇素数才是边长为整数的直角三角形的斜边长？在什么条件下不是？两种情形有何区别？最后得出猜想4n+1形式

的素数可以是边长为整数的直角三角形的斜边长，4n+3的形式不是）。在数论的历史中它起过重要作用，它使人引出许多别的问题。例如，哪些数（不管本身是不是平方数）能表成平方和？不能表成

平方和的数有什么性质？是否还能表成三个平方数之和？还有，不

能表成三个平方和的数又有哪些数？要用多少个平方数来表示所有

的自然数？最后得出了四方定理即方程n=x2+y2+z2+w2最后讨论

了关于四奇数平方和问题，对于任何自然数，或者本身是平方数，

或者总是两个，三个或四个平方数之和，关于四奇数平方和问题。

第七章通过对数学归纳法的了解，我知道了数学归纳与通常的归纳

有什么关系？在检验一个猜想时，我们研究猜想适合的不同情形，

希望知道猜想所主张的关系是否在任何情形下都是稳定的，也就是

说不依赖于各种不同的情形，即不受各种情形的干扰，自然而然地

我们注意到从这种情形到另一种情形的飞跃。在证明某个初等定定

理时要用数学归纳法，考虑从n到n+1的飞跃，也就是两种情形之

间的飞跃。同时数学归纳法是一种论证的方法，通常用在证明数学

上的猜想，而这种猜想是我们用某种归纳方法所获得的。

本书第三章系统的介绍了立体几何中的归纳推理，典型例子通过猜

想多面体面、顶点和棱的数来归纳证明欧拉公式f+v=e+2。第十一

章讲述的是更多种类的合情推理。这两种推理之间的差异相当大而

且是多方面的。无疑，论证推理是可靠的、无可置辩的和

终决的，合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。但是论证推理

本身并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识。我们所学到的

关于世界的任何新东西都包含着合情推理，它是我们日常事务中所

关心的仅有的一种推理。合情推理的标准是不固定的，并且这种推

理在清晰程度上不能与论证逻辑相比或能博得相似的公认。

数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的。在证明一个

数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证

明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合

然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作

成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜

想而发现的；只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。

通过这本书，使我对数学的兴趣更深一步，数学不单单是无聊的数

学公式，也是一种精神上的辅助工具，使我们的思维跳跃，从中领

悟到更多的数学思想。

感想：作为一个数学老师，在育人这一块其实也可以有非常大的作为。像归纳的态度这样一种非常独特、不同一般的态度同样也可以

在教学中渗透给学生，从而潜移默化的影响学生的实际生活以及学

习，甚至在未来成长的道路上给学生带来巨大的帮助。通过《数学

与猜想》这本书，我看到了原来数学在育人这方面也可以做的很优

秀。

现在虽然一直在提倡素质教育，也在朝这个方向发展，但是其中仍

然有很大的一部分是应试教育。绝大部分人，总是认为数学是一门

非常枯燥无味、缺乏想象力的学科，学起来又非常的难，对其敬而

远之。从某种程度上说，这是因为数学的教科书教授的知识往往比

较僵化、一成不变，同时数学这种严谨以及追求正确答案的目的性

太强，使得学生的思维得到了禁锢，使得学生望而却步。

数学是思维的体操。相反，数学在提高学生的创新能力方面有非常

大的促进作用，《数学与猜想》这本书很全面的进行了分析。没有

大胆的猜想，就做不出伟大的发现——牛顿。要想成为一个好的数

学家，你必须首先是一个好的猜想家——波利亚。那什么是猜想呢？猜想是对研究的对象或问题进行观察、分析、比较、类比、归纳等，依据已有的材料和知识做出符合一定的经验与事实的推测性想象的

思维方法。

在归纳猜想的过程中，数学家科学家寻求一种认为是决定性的判定，寻找机会推翻猜想，而且这样的机会越多越好——假如出现一种情

形威胁着要推翻猜想，而经过检验最后与猜想一致，这个猜想的可

靠性就会大大加强。越是危险，就越会被重视，最后这个猜想就越

接近成功。

【篇二：2013年9月22日自己写的李育仁《怎样解题》

读书笔记】

《怎样解题》读书笔记

我的研究生导师要求我读著名数学家和数学教育家波利亚的名著作《怎样解题》。看后很受启发，觉得他的解题方法论有很多值得借

鉴的地方。

波利亚生于1887年，他是匈牙利人，喜爱数学、物理和哲学，最

终获得博士学位。1914年，瑞士联邦理工学院邀请波利亚来校任教。1940年，波利亚由于战争原因定居美国，并在1942年成为斯坦福

大学终身教授。波利亚是一位高产数学家，一生共发表论文200多