04最大流与最小费用流PPT课件
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图 1 所示网络等价于图 2 所示的单源单汇网络。
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5 ,1
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3,0 4,0 1,0
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v 3 图2 4 , 4
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二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。
（2）任一网络至少存在一个流，如零流 ( f (e) 0,eV ) 。
7
例 1：图 1 表示一个网络及网络流
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3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
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4,4 y3
图1
发点集： X {x1, x2} 收点集： Y {y2} 中间点集： I {v1, v2, v3, v4, y1, y2}
（2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集Y 的净流量。
定义 4 设 f 是网络 N 的一个流，则 f 的流的价值 Val f 定义为
Val f ＝ f (e) f (e)
eN ( X )
eN (Y )
即流的价值是发点集的流出量，也是收点集的流入量。
9
注 3：任何一个多源多汇网络 N (V , E, c, X ,Y ) 都等价与一个 单源单汇网络 N ' (V ', E', c', X ',Y ' ) 。在解决实际问题时，常把多源
4
定义 1 称 N (V , E, c, X ,Y ) 为一个网络，如果： （1） G (V , E) 是一个有向图； （2） c 是 E 上的非负函数，称为容量函数，对
每条边 e ， c(e) 称为边 e 的容量； （3）X 与 Y 是V 的两个非空不交子集，分别称
为 G 的发点集与收点集，I V \ ( X Y ) 称为 G 的中 间点集。 X 的顶点称为发点或源，Y 的顶点称为收 点或汇， I 的顶点称为中间点。
定义 5 设 N (V , E, c, s,t) 是一个网络， f 是一个流，若不存在
流 f ' ，使
Val f ' Val f 则称 f 为 N 的最大流。
定义 6 若 A V , s A,t A V A ，则称 N 中弧的集合 ( A, A)
是网络 N 的一个割（cut），记作 K ，称 C( A, )A
多汇网络转化为单源单汇网络。
（1）V ' V {s, t}， s,t 分别是 N ' 的发点与收点； （2） E' E {(s, x) | x X } {( y,t) | y Y}； （3）c' c(e), e E ；c' (s, x) , x X ，c' ( y,t) , y Y 。
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定义 2 设 N 为一个网络， f 是 E 上的非负函数，如果：
（1）容量限制条件： 0 f (e) c(e) ， e E ；
（2）流量守恒条件： f (e) f (e), v I,
eN (v)
（1）设 f 是流， K 是割，若 Val f C(K ) ，则 f 是最大流， K 是
最小割。
（2）网络 N 的最大流的价值等于最小割的容量。
上述定理是图论的重要核心，关于图的许多结果，在适当的选择网络 后，应用这个定理往往能够轻易地获得解决。从这个定理的证明中，可以 引出求网络最大流的一个算法。但这种方法实际做起来有困难，因为没解 决如何寻找增广链的方法。
uij 为割 ( A, A)
(,i) j A
iS , jS
的容量。
设 K 是一个割，若不存在割 K ' ，使得 C(K ' ) C(K ) ，则称 K 是
N 的最小割。
11
注 4：割是从 A 到 A 的有向弧组成的
最大流与最小割的关系：
定理 1 设 f 是 N 的流， ( A, A) 是一个割，则：
最大流与最小费 用流
1
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总体概述
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2
❖ 一、网络及网络流 ❖ 二、最大流与最小割 ❖ 三、最小费用最大流
3
一、网络及网络流
❖ 现实生活中,人们经常见到一些网络,如铁路网、 公路网、通信网、运输网等等。这些网络有 一个共同的特点，就是在网络中都有物资、 人或信息等某种量从一个地方流向另一个地 方，如何安排这些量的流动以便取得最大效 益是一个很有意义的实际问题。50年代福特 （Ford）、富克逊（Fulkerson）建立的“网 络流理论”，是网络应用的重要组成部分。
若 | X | 1,| Y | 1 ，称 N 为多源多汇网络；若 | X | 1,| Y | 1，称 N 为单源单汇网络。
主要研究单源单汇网络。
5
例：单源单汇网络和多元多汇网络。
a
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c
3,3
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y13,01Fra bibliotek02 ,1
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（1） Val f f (e) f (e)
eN ( A)
eN ( A)
（2） Val f C( A, A) 。
式（1）表明运输网络的一个自源 s 到汇 t 的流值，等于任何分离 s 和 t 的
割中流的净值，即割的自 A 到 A 的弧中的流减去自 A 到 A 的流的总体。
定理 2（最大流最小割定理）
eN (v)
其中： N (v) 表示 v 的所有出弧的集， N (v) 表示 v 的所有
入弧的集。则称 f 是网络 N 的一个流， f (e) 是边 e 的流量。
注 1：（1）容量约束表示通过边的流量不能超过改边的
容量；守恒条件表示在每个中间点，流进与流出该点的总流
量相等，即保持中间点的流量平衡。
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定 义 3 设 f 是 网 络 N 的 一 个 流 ， AV ， 则 称
f (e) f (e) 为流出 A 的净流量，称 f (e) f (e)
eN ( A)
eN ( A)
eN ( A)
eN ( A)
为流入 A 的净流量。
注 2：（1）流入、流出任何中间点的净流量为 0；
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二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。
（2）任一网络至少存在一个流，如零流 ( f (e) 0,eV ) 。
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例 1：图 1 表示一个网络及网络流
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y1 2 ,1
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图1
发点集： X {x1, x2} 收点集： Y {y2} 中间点集： I {v1, v2, v3, v4, y1, y2}
（2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集Y 的净流量。
定义 4 设 f 是网络 N 的一个流，则 f 的流的价值 Val f 定义为
Val f ＝ f (e) f (e)
eN ( X )
eN (Y )
即流的价值是发点集的流出量，也是收点集的流入量。
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注 3：任何一个多源多汇网络 N (V , E, c, X ,Y ) 都等价与一个 单源单汇网络 N ' (V ', E', c', X ',Y ' ) 。在解决实际问题时，常把多源
4
定义 1 称 N (V , E, c, X ,Y ) 为一个网络，如果： （1） G (V , E) 是一个有向图； （2） c 是 E 上的非负函数，称为容量函数，对
每条边 e ， c(e) 称为边 e 的容量； （3）X 与 Y 是V 的两个非空不交子集，分别称
为 G 的发点集与收点集，I V \ ( X Y ) 称为 G 的中 间点集。 X 的顶点称为发点或源，Y 的顶点称为收 点或汇， I 的顶点称为中间点。
定义 5 设 N (V , E, c, s,t) 是一个网络， f 是一个流，若不存在
流 f ' ，使
Val f ' Val f 则称 f 为 N 的最大流。
定义 6 若 A V , s A,t A V A ，则称 N 中弧的集合 ( A, A)
是网络 N 的一个割（cut），记作 K ，称 C( A, )A
多汇网络转化为单源单汇网络。
（1）V ' V {s, t}， s,t 分别是 N ' 的发点与收点； （2） E' E {(s, x) | x X } {( y,t) | y Y}； （3）c' c(e), e E ；c' (s, x) , x X ，c' ( y,t) , y Y 。
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定义 2 设 N 为一个网络， f 是 E 上的非负函数，如果：
（1）容量限制条件： 0 f (e) c(e) ， e E ；
（2）流量守恒条件： f (e) f (e), v I,
eN (v)
（1）设 f 是流， K 是割，若 Val f C(K ) ，则 f 是最大流， K 是
最小割。
（2）网络 N 的最大流的价值等于最小割的容量。
上述定理是图论的重要核心，关于图的许多结果，在适当的选择网络 后，应用这个定理往往能够轻易地获得解决。从这个定理的证明中，可以 引出求网络最大流的一个算法。但这种方法实际做起来有困难，因为没解 决如何寻找增广链的方法。
uij 为割 ( A, A)
(,i) j A
iS , jS
的容量。
设 K 是一个割，若不存在割 K ' ，使得 C(K ' ) C(K ) ，则称 K 是
N 的最小割。
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注 4：割是从 A 到 A 的有向弧组成的
最大流与最小割的关系：
定理 1 设 f 是 N 的流， ( A, A) 是一个割，则：
最大流与最小费 用流
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❖ 一、网络及网络流 ❖ 二、最大流与最小割 ❖ 三、最小费用最大流
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一、网络及网络流
❖ 现实生活中,人们经常见到一些网络,如铁路网、 公路网、通信网、运输网等等。这些网络有 一个共同的特点，就是在网络中都有物资、 人或信息等某种量从一个地方流向另一个地 方，如何安排这些量的流动以便取得最大效 益是一个很有意义的实际问题。50年代福特 （Ford）、富克逊（Fulkerson）建立的“网 络流理论”，是网络应用的重要组成部分。
若 | X | 1,| Y | 1 ，称 N 为多源多汇网络；若 | X | 1,| Y | 1，称 N 为单源单汇网络。
主要研究单源单汇网络。
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例：单源单汇网络和多元多汇网络。
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（1） Val f f (e) f (e)
eN ( A)
eN ( A)
（2） Val f C( A, A) 。
式（1）表明运输网络的一个自源 s 到汇 t 的流值，等于任何分离 s 和 t 的
割中流的净值，即割的自 A 到 A 的弧中的流减去自 A 到 A 的流的总体。
定理 2（最大流最小割定理）
eN (v)
其中： N (v) 表示 v 的所有出弧的集， N (v) 表示 v 的所有
入弧的集。则称 f 是网络 N 的一个流， f (e) 是边 e 的流量。
注 1：（1）容量约束表示通过边的流量不能超过改边的
容量；守恒条件表示在每个中间点，流进与流出该点的总流
量相等，即保持中间点的流量平衡。
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定 义 3 设 f 是 网 络 N 的 一 个 流 ， AV ， 则 称
f (e) f (e) 为流出 A 的净流量，称 f (e) f (e)
eN ( A)
eN ( A)
eN ( A)
eN ( A)
为流入 A 的净流量。
注 2：（1）流入、流出任何中间点的净流量为 0；