电容静电能量讲解

W1'

q112

q1
q2
4 R12
W2
q112 q221
qiik qkki
q2 q1
q3
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15
Step3:
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Hebei University of Technology
《工程电磁场导论》
把点电荷q3从无穷远处移到位置3， 受到q1 、q2产生的电场
d 2
dz 2

0
其解为 (z) C1z C2
边界条件zzd0,,((d0))

0 U
极板间的电场强度为
U E ez d
电通密度为
D


ez
U d
DU
d
Q S S U
d
电容为
(z) U z
d

电容器截面图
C Q S
V
整个充电过程中增加的能量就是系统增加的总能量，为
wk.baidu.com
We
1
d
0
dV 1
V
2
dV
V
1 We 2
dV
V
(1-101)
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《工程电磁场导论》
若电荷分布在表面上，其面密度为σ，则
点电荷系统的相互作用能 V指整个场域（无限大）
3.电场力的计算
虚位移法 F We g
qk 常数
F We g
k 常数
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2
回顾
唯一性定理
1. 点(线)电荷与导体叠平加面 定理
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《工程电磁场导论》
多导体系统
1 11q1 12q2 1N qN 2 21q1 22q2 2N qN

q1 111 122 1N N q2 211 222 2N N

N N1q1 N 2q2 NN qN qN N11 N 22 NN N
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同理有
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《工程电磁场导论》
q1 C10 (1 0) C12 (1 2 ) C1N (1 N ) q2 C21(2 1) C20 (2 0) C2N (2 N )
0U
2
ln b a
U
ln b a
U0 (2 )
ln b a
C' q' 0 (2 )
U
ln b
a
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多导体系统的部分电容（p47）
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《工程电磁场导论》
D2


E2

U a ln b
e
内导体表面单位长度上的电荷量 a
q' 1a(2 ) 2a
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《工程电磁场导论》
b a
0
1


2
D1r a(2 ) D2r a
单位长度的电容为

1 2
q3 3
q3
对于n个点电荷的系统
We

1 2
n
k qk
k 1

1 2
n k 1
qk
n
kj
j1, jk

1 2
n k 1
qk
n j1, jk
qj
4 Rkj
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2.分布电荷系统的静电能量
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《工程电磁场导论》
例1 平行板电容器由两块面积为S，相隔距离为d
的平行导体板组成，极板间填充介电常数为ε＝εrε0 的电介质，求电容量。

电容器截面图
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7
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解：忽略电场的边缘效应，拉普拉斯方程简化为：《H工ebei程Uni电versi磁ty of场Tec导hnol论ogy》
dV

1 dV 4 0 V R
对于某些对称场的问题，可直接应用高斯定理中 求解。

D dS q S
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4
静电场分析计算的类型
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《工程电磁场导论》
第二类：
给定空间某一区域内的电荷分布，同时给定该区 域边界上的电位或电场，即边界条件，在这种条件下 求解区域内的电位和电场分布。这类问题也称为边值 问题。
We

1 2
dS
S
(1-102)
若是带电导体系统，每个导体的电位为常数
We

1 2
i


Si

i
dS


1 2
i qi
We

1 2
n
k qk
k 1
(1-103)
对于点电荷系统
We

对它的阻力做功，建立电场能量W3 。
W3 q33 q3(31 32 )

q3
q1 4 R31

q3
q2 4 R32

q1
q3 4 R31

q2
q3 4 R32
q113 q223) W3'
总能量
W W1 W2 W3 q221 q331 q332 q112 q113 q223
A

U ln a
,
B


U ln a
ln
b
b
b

1
2

U
ln
b

ln

b


a
e E1

E2

U
ln
b

a
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例2,
1 D1n D1
2 D2n D2
D1


0E1

0U ln b
e
静电屏蔽
静电屏蔽在工程上有广泛应用。
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1-9 静电能量与力
—— 静电场参数计算之二
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《工程电磁场导论》
电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力，即对任一种电 荷分布总存在着与之相关联的力系统，因此也就有与之相关联的 能量储存在系统中，在静态条件下带电体系的能量完全以势能形 式存在着，称为静电能。
《工程电磁场导论》
设系统完全建立时，最终的电荷分布为ρ,电位函数为φ。如果 在充电过程中使各点的电荷密度按其最终值的同一比例因子α增加, 则各点的电位也按同一因子增加。
对于某体积单元dV，其电位为α φ ，送入微分电荷(d α ρ)dV， 能量增量为(α φ)(d α ρ)dV。
整个空间增加的能量为We ddV
Ud
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例2半径分别为a和b的同轴线，外加电压U，如
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《工程电磁场导论》
图所示，圆柱面电极间在图示θ角部分充满介
电常数为ε 的介质，其余部分为空气，求介质
与空气中的电场和单位长度上的电容量。
解：两个区域的电位方程均为：
3注. 点意电荷有与效导区体球！
q
q
0
= 0 0
-q
R
-q’
q R q
q
d
ob d
b R2 d
2. 点(线)电荷与平面介质
4. 圆柱导体之间(电轴法)
q'' q q'
q
q
1 2
1
= 1
+
2 2
y
a2 b2 h2
a
a
x
b
b
q' 1 2 q 1 2

qn CN1(N 1) CN 2 (N 2 ) CN 0 (N 0)
q1 C10U10 C12U12 C1NU1N
q2 C21U 21 C20U 20 C2NU 2 N

qn CN1U N1 CN 2U N 2 CN 0U N 0
2

1







0
1 2 Aln B
b a
0
1


2
由边界条件



a,1(a) b,1(b)
2(a) 2 (b)
U 0
(a) Aln a B U (b) Aln b B 0

1 2
q2 21

1 2
q3 31

1 2
q3 32

1 2
q112

1 2
q113

1 2
q2 23
2 q2
1 q1
3q3
点电荷系统的相互作用能
1 2
q1 (12
13 )

1 2
q2 ( 21
23 )

1 2
q3 (31
32 )

1 2
q11

1 2
q2 2
1-8 电容与部分电容
电容的定义、计算
1-9 静电能量与力
电场能量的计算式及其相互差异 力的计算——虚位移法。
总结
能量的计算； 虚位移的选择；广义力与广义坐标。
1-9-2(1),(2)， 1-9-4 预习chap.2
场图、实验演示、习题。
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1
总结
1. 电容的计算 C Q
U
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1.电容的定义
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《工程电磁场导论》
CQ U
2.电容的计算
假设Q
高斯定理
关键是场 的计算
q
p E dl
E
φ,U
▽2 =0

E
假设U

E,D Q
CQ U
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6
电容计算举例
h
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3
静电场计算小结
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《工程电磁场导论》
静电场分析计算的类型：
第一类：
给定空间的电荷分布，求电位和电场的分布。
对于这一类问题的求解，可以应用静电场中的积
分方程，即
E(r)
1
40
V

(r')R
R3
授课计划
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《工程电磁场导论》
重点内容回顾 及疑难解答
主
教
要 知
学
识 点
内
容
重点 难点
思考题 与作业
备注
镜像电荷的数量、大小的确定（唯一性定理+叠加定理）； 适用范围（有效区）。
测验：点电荷与介质平面、与接地导体球的镜像、电轴法公式。
电场能量的来源? 由建立电荷系统的过程中外界的能源提供。如电源、外力……
1. 点电荷系统的电场能量表达式
以三个点电荷系统为例。设介质为线性、均匀，原来空间 既无电场也无电荷。
2
1
3
q1 q2 q3
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Step1:
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引入符号Cij ij和Cii i1 i2 iN
q1 (11 12 1N )1 12 (1 2 ) 1N (1 N ) C10 (1 0) C12 (1 2 ) C1N (1 N )
程和法算，分、法其离有，对先中 变 限 如于判解 量 元 镜这断析 法 法 像类题计 、 法(边二1234算模，值目.... 维镜 高 静 求方拟电问类和像 电 解斯法电轴题型三法 场 微定主荷法的，维要法。求， 积 分理问再有和解电 分 方题决直矩，轴 方 程)定接量，一法 程积法数是解分等值直题法。计接方二算(求法一是法解维。间有微问接差分题计分方)
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《工程电磁场导论》
2. 静电能量的计算
We
1 2
dV
V
(1-101)
We

1 2
dS
S
(1-102)
We

1 2
n
k qk
k 1
We
1 2
D EdV
V
(1-103) (1-105)
V，S指场源所在区域（有限）
《工程电磁场导论》
把点电荷q1从无穷远处移到位置1，没受到任何阻力（无电 场），不做功。
Step2:
W1 0
把点电荷q2从无穷远处移到位置2，受到q1产生的电场对它 的阻力，做功 ，建立电场能量W2 。
W2

q221

q2
q1
4 R12
将上述过程调换顺序，有
2 q2
1 q1
3
W2 ' 0
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4. 静电屏蔽
三导体系统的方程为：
q1 C10U10 C12U12 q2 C21U 21 C20U 20
当 q1 0 时， U10 0 ; C12U12 0
所以
C12 C21 0
q1 C10U10 ， q2 C20U20
说明 1 号与 2 号导体之 间无静电联系，实现了静电屏蔽。