2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第14讲 函数模型及应用及答案

第14讲函数模型及其应用

1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用．

知识梳理

1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异

在区间(0，＋∞)，尽管y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增长，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因而总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x1).

2．应用问题的解法

解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后用相应的数学知识去解决，其一般步骤为：

(1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系；

(2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型；

(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论；

(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答．

热身练习

1．当x>0时，比较y＝log5x，y＝5x，y＝x5三个函数，下列说法正确的是(B)

A．y＝5x的图象始终在最上方

B．当x增长到足够大时，y＝5x的图象始终在最上方

C．y＝x5的图象与y＝5x的图象会不断穿插交汇，有无数个交点

D．y＝log5x的图象与y＝x5的图象有一个交点

画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析应选B.

2．方程x2＝2x解的个数为(C)

A．1 B．2

C．3 D．4

画出y ＝x 2和y ＝2x 的图象，结合它们

的增长情况，观察它们有3个交点，所以有3个解．

3．某市生产总值两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产的年平均增长率为(D)

A.p ＋q 2

B.(p ＋1)(q ＋1)－12

C.pq

D.(p ＋1)(q ＋1)－1

设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋

p )(1＋q )，

所以x ＝

(p ＋1)(q ＋1)－1.

4．一种产品的年产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p %，则年产量y 随经过年数x 变化的函数关系式为 y ＝a (1＋p %)x (x ∈N *，且x ≤m ) .

5．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大．设隔墙的长度为x，矩形的面积为S.

(1)S关于x的函数关系为S＝－2x2＋12x(0

(2)当x＝3时，S有最大值18.

二次函数模型

加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分

比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为

A．3.50分钟B．3.75分钟

C．4.00分钟D．4.25分钟

由已知得⎩⎪⎨⎪

⎧

9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，

25a ＋5b ＋c ＝0.5，

解得

⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－0.2，

b ＝1.5，

c ＝－2.

所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15(t －154)2＋13

16.

所以当t ＝15

4＝3.75时，p 最大，

即最佳加工时间为3.75分钟．

B

实际生活中的二次函数问题(如利润、面积、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、最值、零点等知识解决，解题时要注意函数的定义域．

1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(B)

A．45.606(万元) B．45.6(万元)

C．45.56(万元) D．45.51(万元)

依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，

所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)

＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)，

因为x∈N，所以x＝10时，S max＝45.6(万元)．

指数、对数函数模型

现有某种细胞100个，其中每小时有占总

数1

2的细胞分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律下去．回答下列问题： (1)细胞总数y 与时间x (小时)的函数关系为____________；

(2)至少经过________小时，细胞总数可以超过1010个(参考数据：lg 3≈0.4771，lg 2≈0.3010)．

(1)从特殊入手，采用归纳的方法，得到

所求函数关系式．

现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后细胞的总数， 1小时后，细胞总数为 12×100＋12×100×2＝3

2×100； 2小时后，细胞总数为

12×32×100＋12×32×100×2＝9

4×100； 3小时后，细胞总数为

12×94×100＋12×94×100×2＝27

8×100； 4小时后，细胞总数为

12×278×100＋12×278×100×2＝81

16

×100； 可见，细胞总数y 与时间x (小时)之间的函数关系为 y ＝100×(3

2

)x ，x ∈N *.

(2)由100×(32)x >1010，得(3

2)x >108，

两边取以10为底的对数， 得x lg 32>8，所以x >8

lg 3－lg 2

，

因为8lg 3－lg 2≈80.4771－0.3010≈45.43，

所以x >45.43.

即至少经过46小时，细胞总数超过1010个．

(1)y ＝100×(3

2

)x ，x ∈N *； (2)46