5-4 求解目标规划的层次算法

§4．求解目标规划的层次算法
求解目标规划是从高优先级到低优先级逐层优化的， 求解目标规划的层次算法就是根据这样的思想构造的。
层次算法步骤：
第一步： 对目标函数中的 P1 层次进行优化，建立 第一层次的线性规划模型 LP1 并求解。 LP1的目标函数为
min z1 w d w d
l 1 1l 1 1l
求解 LP3 得：
x1 2.0, x2 4.0 , d d d d d 0 d 1.0, d 8.0 , d 5.0 , z 29.0
* 3 1 3 4
1
2
2
3
4
到此时，所有各层次的优化都已经完成，而最后一个
层次的最优值 z3*=29.0 ，因此并没有取得最优解，这个

2
2


3
3

3 4
解：第一层次的优化模型LP1为：
LP1 : min z1 d1
2 x1 2 x 2 12 2 x 3 x d d 2 1 1 15 1 2 x x d d 0 1 2 2 2 s.t . 4 x d d 3 3 16 1 5 x2 d 4 d4 15 x1 , x2 , d i , d i 0 (i 1, ,4)
例.
用层次算法求解下述目标规划。
1 1
min z P d P2 d d 3P3 d d P d 2 x1 2 x2 12 2 x1 3 x2 d1 d1 15 2 x x d d 0 1 2 2 2 s.t . d 3 d 3 16 4 x1 5 x2 d 4 d4 15 x , x , d , d 1 2 i i 0 (i 1,,4)
min z s w d w d
l 1 sl s sl L

s

* w rl d r w rl d r zr (r 1, , s 1) n a x (, )b (i 1, , m ) ij j i j1 s.t . n c x d d g (l 1, , L) lj j l l l j 1 x 0 ( j 1 , , n ) , d , d l l 0 ( l 1, , L) j 当进行到 s=K 时，对 Pk 层次建立的线性规划模型 LPk 的最优解即为目标规划问题的满意解。 K是某一步。
求解后所得最优值与最优解与 LP1 相同，即z2*=0 。
由于z2*=0 ，故对第三层次进行优化的时候，在 LP2
的基础上加上约束 d 2 d2 0 ，得LP3 ：
LP3 : min z3 3 d 3 d 3 d 4


2 x1 2 x 2 12 2 x1 3 x 2 d1 d1 15 2 x x d d 0 2 2 2 1 d 3 d 3 16 4 x1 s.t . 5 x d d 2 4 4 15 d 0 1 d1 d 2 0 x , x , d , d 1 2 i i 0 (i 1, ,4)
值只是该目标规划问题的满意解，这个解与用图解法求出 的解相同，就是图中 F 点。
2

约束条件除含有原目标规划的所有约束条件之外，由 于这一步优化是在前一步优化的基础上进行的，所以前一 步优化的结果应成为一个新的约束条件，即约束条件增加 了一个 1
1l 1
z
* 1
小于等于使得上一步的最优值在计算后不会发生
第三步：依此类推得到第Ps( s ≥2) 层次进行优化 时建立的线性规划模型 LPs 为：
利用线性规划的单纯形法对其求解，得：
x1 1.875, x2 3.75 , d1 d1 d 3 d 4 0,
d 8.5 , d 3.75 ,
3
4
z 0
* 1
(因为 d 最小就只能是 0，因此不用写小于号). 1
因为 z1*=0 ，因此在第二层次的优化模型中加上约束条件 d1=0
L

1

LP1的约束条件含原目标规划的所有约束。
第二步：对 P2 层次进行优化。 由于下一层次的优化应在前面各层次优化的基础上进 行，若第一层次目标函数最优值为 z1* ，则构建的P2 层 次的线性规划模型 LP2 ，其目标函数为
min z2
w
L l 1
2l
d w d
2
2l
LP2 : min z 2 d d
1
2
2 x1 2 x 2 12 2 x 3 x d d 2 1 1 15 1 2 x x d d 0 1 2 2 2 s.t .4 x1 d 3 d 3 16 5 x 2 d 4 d 4 15 d1 0 x1 , x 2 , d i , d i 0 (i 1, ,4)