多项式理论在矩阵问题中的应用分析

因为 厂 Ａ Ａ ２ （ ）＝ 一 Ａ＋３ Ｅ＝０， （ ４ ） （ ）＋１ Ｅ＝０， 故 Ａ一 Ｅ ｇ ａ １
收 稿 日期 ： ０ ９—１ —ｌ ２０ ｌ Ｏ
基 金项 目 ： 京 市 优 秀 教 学 团 队— — 数 学 公 共 基 础 系 列 课 优 秀 教 学 团 队 资 助 北 作 者 简 介 ： 莲 花 （９ ４ ） 女 ， 南 宁 陵 人 ， 京 物 资 学 院信 息学 院 副 教 授 ， 王 １６一 ， 河 北 主要 研 究 方 向 ： 数 教 学 与 研 究 代
＿
故 ２ 利用 多项式 整除理 论 求矩阵 的秩 命题 ３
（ Ａ—Ｅ
＝１ ２
一
一
寻． Ｅ
关键 词 ： 素 ；逆 矩 阵 ； 征 多 项 式 ； 阵 的秩 ；相 似 Βιβλιοθήκη Baidu 特 矩
中 图 分 类 号 ： １ １２ ０ ５ ．１
文 献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：０ ７— ８４ ２ １ ） ｌ ０ ５— ３ １０ ０ ３ （０ ０ Ｏ 一００ ０
在 文献 ［ ］ ， 者讨 论 了矩 阵理论 在 多项式 中 的一些 应用 ． 文将 根 据 多项 式 理 论建 立解 决 某 些矩 阵 １中 作 本 问题 的方 法 ， 通过 具 体例 子展示 其方 法 的优越 性． 并
证明 设 ／ ）＝ 一２ ｇ ）＝ 一２ ２ 贝 （． ， （ ）：１ － （ ，（ ＋ ， ０／ ） ｇ ） （ ，
于是
因为 故
一 （ １ ） ２ 而 ＋ ） （ ） １ ＋ ） ＋（ ＋３ ｇ ＝
，
，Ａ （ ）＝Ａ ２ 一 Ｅ＝０， （ ＋ ＋２Ｅ） （ ）＝Ｅ ｇａ
．
因 （）逆且曰 此Ｂ ｇ 可 ， Ａ
证明 于是
＋ ＋Ｅ ÷・
／ ）：（ ． （ 一４ ｇ ）＋１ ， ）（ １
例２ 设 Ａ ２ ３ 一 Ａ＋ Ｅ＝０， 明 Ａ＋ Ｅ可逆 ， 证 ２ 并把 Ａ＋ Ｅ的逆矩 阵表 示成 Ａ的多项 式． ２
设 ／ ）＝ 一 ｘ＋ ， （ ２ ３ ｇ ）： ＋２ 贝 （ ） ｇ ） ， ４／ ， （ ）＝１ ，
１ 利用 多项 式互素 理 论求抽 象 矩阵 的逆 矩阵
命题 １ 设 ， Ａ） 复 系数多 项式 ， 阶方 阵 Ａ的特 征值 不是 ｆ Ａ） （ 为 ／ １ ， （ 的零 点 ， ｆ Ａ 可 逆 ， 则 （） 且 （ 的逆 矩 Ａ）
阵可 表示 为 Ａ的多项 式．
证明
设 Ａ ， … ， 为 Ａ的特征 值 ， ， Ａ ） 。Ａ ， Ａ 则 （ ｉ ≠０，＝１ ２ … ， ， ｉ ， ， ｎ 于是
即存 在 多项 式 ／ Ａ） ／ 和 （ ） 使 得 ， （ 入 ，
“ ） Ａ （ ｇ Ａ）：１ ， （ ）＋ ） （
贝 有 ０
Ｍ Ａ）（ ）＋ Ａ ｇ Ａ）＝Ｅ， （ ， Ａ （ ） （
根据 哈 密尔顿 定 理知 ｇ ａ）＝０， （ 故 （ ， Ａ）＝ 因此 厂 Ａ （ ． Ａ）（ Ｅ， （ ）＝ Ａ） 根 据上 面 的证 明 ， 命题 １ 然 可以推 广如 下 ： 显 命题 ２ 设 ） ｇ Ｘ 为互 素 的两个 复系 数多项 式 ， 和 （） Ａ为 ｎ阶方 阵 ， ｇ ａ）＝０， 且 （ 则 Ａ 可逆 ， ） 且 Ａ） 的逆矩 阵可 表示 为 Ａ的多 项式． 例 １ 设 Ａ ２ Ｂ＝ Ａ＋ Ｅ， 明 Ｂ可逆 ， ＝ Ｅ， Ａ 一２ ２ 证 并求 曰～．
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河 南 教 育 学 院 学 报 （自然科 学 版 ）
２１ ０ ０生
即
（ 一４ （ ＋２ Ａ Ｅ） Ａ Ｅ）＝ 一１ Ｅ， １
故
（ ２ ～ ＝一 Ａ＋ Ｅ）
＋
．
例 ３ 设方 阵 Ａ的特征 多项式 为 ， Ａ （ ）＝Ａ ３ 一Ａ一１ 用 Ａ的多项 式表 示 （ Ｅ） 一 Ａ ， Ａ— 解 由条件 可得 Ａ）＝ 一 Ａ 一 Ａ ３ Ａ— Ｅ＝０ ． 由 １ 是 Ａ的特征值 ， 不 因而 Ａ— Ｅ可逆． Ａ 由（ 一３ｔ Ａ一１ Ａ一１ －１ 得 ） 一 ， ）ｍ ， ．
Ｉ Ａ） ＝ （ 。厂 Ａ ）・ Ａ ） ， ｆ （ Ｉ 厂 Ａ ） （ ・ ≠０
故 Ａ 可逆． ） 设 ｇ Ａ）＝ｌ Ｅ— ， （ Ａ Ａｊ 由于 ‘ Ａ） ｇ Ａ） 有公 共根 ， ， Ａ） ｇ Ａ 互素 ， 厂 与 （ 没 （ 故 （ 与 （） 即
（ Ａ） ｇ Ａ ）＝１ ，（ ） ，
Ａ ３ 一 一 Ａ Ａ一１ Ａ ＝（ 一２ Ａ一３ （ ） Ａ一１ ４ ）一 ． 因此 即 （ 一 Ａ一３ （ Ｅ）一 Ｅ＝０， Ａ ２ Ｅ） Ａ— ４ （ 一 Ａ一 Ｅ） Ａ— ２ ３ （ Ｅ）＝ Ｅ ４．
０ ｌ Ａ
＝
Ｄ ２ ；
，， ．．． ．．． ． ． ．．． ．．．． ．．． 。．． ．， ．．
Ｖｏ ．１ Ｎｏ １ ９ ．１
Ｍ ａ ． Ｏ１ ．２ Ｏ ｒ
ｄｉ１．９ ９ ｊｉ ｎ １０ ０ ３ ．０ ０ ０ ．０ ｏ ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ０ ７— ８ ４ ２ １ ． １ ０ ２ ｓ
多项 式 理 论 在 矩 阵 问题 中 的 应 用 分 析
王 莲 花
（ 京物 资 学 院 信 息 学 院 ， 京 １ １４ ） 北 北 ０ １９ 摘 要 ： 出 多项 式理 论在 求抽 象矩 阵 的 逆 矩 阵、 阵 的秩 和 判 断 矩 阵 能 否 对 角化 等 问题 中 的应 用 ． 给 矩
第 １ ９卷 第 １ 期
２１ ０ ０年 ３月
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｅ ａ ｓ ｔｔ ｏ ｄ ｃ ｔ ｎ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｏ ｒａ ｏ Ｈ ｎ ｎＩ ｔｕｅ ｆ ｕ ａ ｏ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｉｏ ｎ ｉ Ｅ ｉ ｅ Ｅ ｔｎ