高中数学第一章坐标系第1节平面直角坐标系检测北师大版选修4_4

第一讲第一节 平面直角坐标系

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．点P (2,3)关于y 轴的对称点是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(2，－3)

D ．(－2，－3)

解析： 点(x ，y )关于y 轴的对称点坐标为(－x ，y )． 所以点(2,3)关于y 轴的对称点坐标是(－2,3)． 答案： B

2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨

⎪⎧

x′＝5·x

y′＝3·y

后，曲线C 变为曲线2x ′

2

＋8y ′2

＝1，则曲线C 的方程为( )

A ．50x 2

＋72y 2

＝1 B ．9x 2＋100y 2

＝1 C ．10x 2

＋24y 2

＝1

D ．225x 2＋89

y 2

＝1 解析： 将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．

将⎩⎪⎨⎪⎧

x′＝5·x，

y′＝3·y

直接代入2x ′2＋8y ′2

＝1，

得2·(5x )2

＋8(3y )2

＝1，

则50x 2

＋72y 2

＝1即为所求曲线C 的方程． 答案： A

3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，先保持横坐标不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍；再保

持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的1

2

，则其函数为( )

A ．y ＝23sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫6x ＋π6

B ．y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6

C ．y ＝6sin ⎝

⎛⎭⎪⎫6x ＋π3 D ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

32

x ＋π6

解析： 纵坐标伸长3倍得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，再将横坐标缩为原来的12，得到y ＝

6sin ⎝

⎛⎭⎪⎫6x ＋π6

答案： B

4．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的1

3，得

到的曲线方程为( )

A ．F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2，3y ＝0 B ．F ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ，y 3＝0

C ．F ⎝

⎛⎭⎪⎫3x ，y 2＝0

D ．F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 3，2y ＝0 解析： 由横坐标伸长到原来的2倍知，x ′＝x 2纵坐标缩短到原来的1

3知y ′＝3y .

答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为__________ ________.

解析： 设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点， 变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，

由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨

⎪⎧

x′＝2x ，

y′＝y ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝12x′，

y ＝y′，

代入y ＝log 3x ，得y ′＝log 31

2x ′，

即y ＝log 3x

2.

答案：y ＝log 3x

2

6．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是__________ ________.

解析： 设⎩⎪⎨

⎪⎧

x′＝λx ，λ＞0，y′＝μy ，μ＞0，

则μy ＝sin λx ，

即y ＝1

μ

sin λx .

比较y ＝3sin2x 与y ＝1μsin λx ，则有1

μ＝3，λ＝2.

∴μ＝1

3，λ＝2.∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x′＝2x ，y′＝1

3y.