中考必做的36道数学压轴题

中考必做的36道数学压轴题

第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线

222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．

（1）求点A ，B 的坐标；

（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；

（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<

直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．

（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212m

m

--

=， ∴ B （1，0）． （2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得2,

2.

k b =-⎧⎨=⎩

∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1

抛物体在 2

连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常

数，且a ≠0）.

（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；

②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0.

所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根.

所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4

a

， 所以，点C 的坐标为（

212+m ，－4

a

）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，

2

1×1×4a -＝1.

所以

21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4

a

＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8.

②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，

21×1×4a -＝2

1×1×am am +2

21×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =2

1×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－

2

1

，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分

变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数2

3

(1)2(2)2

y t x

t x =++++

在0x =和2x =时的函数值相等。

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值； （3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在 点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时，n 的取值范围。

【答案】（1）

①方法一：∵二次函数23

(1)2(2)2

y t x t x =++++在0x =和2

x =时的函数值相等

∴

334(1)4(2)22

t t =++++. ∴3

2

t =-.

∴这个二次函数的解析式是213

22

y x x =-++

②方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为1x =

则2(2)

12(1)t t +-

=+

∴3

2

t =-.

∴这个二次函数的解析式是213

22y x x =-++.

（2）∵二次函数的图象过(3,)A m -点.

∴213

(3)(3)622

m =-

-+-+=-. 又∵一次函数6y kx =+的图象经过点A

∴366k -+=-

∴4k =

（3）令213

22y x x =-++=

解得：11x =-23

x =

由题意知，点B 、C 间的部分图象的解析式为1

(3)(1)2

y x x =--+，（13x -≤≤）.

则向左平移后得到图象G 的解析式为：1

(3)(1)2

y x n x n =-

-+++，

（13n x n --≤≤-）. 此时平移后的一次函数的解析式为46y x n =++. 若平移后的直线46y x n =++与平移后的抛物线1

(3)(1)2

y x n x n =--+++相切. 则1

46(3)(1)2x n x n x n ++=-

-+++有两个相等的实数根。 即一元二次方程22119

(3)0222

x n x n --+--=有两个相等的实数的根。

∴判别式=[]2

2119(3)4()()0222

n n -+-⨯---=

解得：0n =与0n >矛盾.

∴平移后的直线46y x n =++与平移后的抛物线1

(3)(1)2

y x n x n =--+++不相切.

∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象G 有公共点，则两个临界交点为(1,0)n --和(3,0)n -.

则4(1)60n n --++=，解得：23

n = 4(3)60n n -++=，解得：6n =

∴

2

63

n ≤≤ 第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破

（例题）（2012湖南湘潭，26，10分） 如图，抛物线)0(22

3

2

≠--

=a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为()0,4. （1）求抛物线的解析式；

（2）试探究ABC ∆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求MBC ∆的面积的最大值，并求出此时