工程控制基础 第5章 系统的稳定性分析

或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
12
5.2 Routh （劳斯）稳定判据
系统稳定的充要条件
特征方程： D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
Routh 表：
sn an
LGH：
limG(s)H(s)
s1 (30) 11 1 30 12 0 0 （ 改 变 符 号 一 次 ）
s0
30 30
00
第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定 2. 系统有两个具有正实部的特征根
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
14
例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
4
5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果：
① 减幅振荡 （收敛，稳定）
② 等幅振荡 （临界稳定）
华中科技大学 易朋兴
③ 增幅振荡 （发散，不稳定）
2019/12/30
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果
。
34.6 7500 7500K 0
(2)
34.6 ，亦即K<34.6。
故能使系统稳华定中的科参技数大K学的取值易范朋围兴为0<K<23041.96/1。2/30
A3

an1an6 anan7 an1

B1

A1an3 an1 A2 A1
B2

A1an5 an1 A3 A1
B3

A1an7 an1 A4 A1

Routh 判据：Routh表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有 正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是Routh表 中第一列各元的符号均为正，且值不为零。
机械工程控制基础
华中科技大学机械学院
机电系 易朋兴、胡友民、熊良才
2019/12/30
机械工程控制基础
2
第五章 系统稳定性分析
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
作业 5.3, 5.8, 5.15(1、3), 5.19, 5.23
系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根
思路：
①特征方程→根的分布（避免求解） ②开环传递函数→闭环系统的稳定性
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
11
5.2 Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
机械工程控制基础
15
5.2 Routh （劳斯）稳定判据
系统稳定的充要条件
特别：
二阶系统(n=2)稳定的充要条件为：
a2>0, a1>0, a0>0, 三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：
a3>0, a2>0, a0>0, a1a2－a0a3>0
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
18
5.3 Nyquist 稳定判据
——几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性） 幅角原理
设有复变函数：
F (s) K (s z1 )( s z2 )(s zm ) (s p1 )( s p2 )(s pn )

lt im
n i 1
A1i e si t

n i 1
A2i e si t振动，系统临界稳定
若有特征根sk =0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]
平面的左半平面
Akeskt Ak

lt im
机械工程控制基础
5
5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统不稳定现象
结论：
1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数）， 与输入无关
2. 不稳定现象的存在是由于反馈作用
3. 稳定性是指自由响应的收敛性
定义： 系统在初始状态作用下
无输入时的初态 输入引起的初态
输出
收敛（回复平衡位置）
（响应） 发散（偏离越来越大）
系统开环传递函数：
GK (s)
Xo(s) E(s)


2 n
(
s

K
)
s2(s 2n )
系统闭环传递函数：
GB(s)
Xo(s) Xi (s)

s3

2 n
(
s

K
)

2
n s 2


2 n
s

K
2 n
特征方程：
D(s)

s3

2 ns2


2 n
s

K
2 n

0
即： D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
3
5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0) →阀口2、4打开
→活塞右移
→阀口关闭（回复平衡位置）
→（惯性）活塞继续右移
→阀口1、3开启
→活塞左移
→平衡位置
→（惯性）活塞继续左移
→阀口2、4开启……
an2 an4 an6
sn1 an1 an3 an5 an7
sn2 A1 A2 A3 A4
sn3 B1 B2 B3 B4

s2 D1 D2 s1 E1 s0 F1
其中：
A1

an1an2 anan3 an1
A2

an1an4 anan5 an1
16
5.2 Routh （劳斯）稳定判据
特例1：某行第一列元素为0
• 如果在Routh表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为 0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。于是
Routh表的计算无法继续。
•为了克服这一困难，可以用一个很小的正数 代替第一列等于0的 元素，然后计算 表的其余各元。若 上下各元符号不变，切第一列
系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
sn

an1 an
s n1

a1 an
s
a0 an
(s s1 )( s
s2 )(s sn )
s1,s2,…,sn：特征根
因为
n
n
n
(s s1 )( s s2 )(s sn ) sn ( si )sn1 ( si s j )sn2 (1)n si
线性定常系统稳定的充要条件：
若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）均具有 负实部（位于[s]平面的左半平面），则系统稳定。 如何判别？
求出闭环极点？ ①高阶难求 ②不必要
实验？ 如果不稳定，可能导致严重后果
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
10
5.1 系统的稳定性与稳定条件
Ls 映射 LF
[ s]平 面
[F ( s )]平 面
Ls：[s]平面上一封闭曲线 （不经过F(s)的奇点）
幅角原理：ｓ按顺时针方向沿Ls变 化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋 转N周，即包围原点N次。
N=Z-P Z：Ls内的F(s)的零点数 P：Ls内的F(s)的极点数
华中科技大学 易朋兴
当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位
于[s]平面的左半平面）

lt im
n i 1
A1i e si t

n i 1
A2i e si t

0
自由响应收敛，系统稳定
若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）
lim e skt
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
20
5.3 Nyquist 稳定判据
[s]平面上的Nyquist轨迹的选取 [F(s)]与[GH]平面上的Nyquist轨迹
F(s)=1+Gk(s)
① s 沿虚轴L1：s=jω，（ω从－∞到+∞）；LGH：G(j ω)H(j ω)
s
沿L2：s→0；
取 F(s)=1＋G(s)H(s)=1+Gk(s)
F (s) (s p1 )(s p2 )(s pn ) K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
(s s1 )(s s2 )(s sn ) (n n) (s p1 )(s p2 )(s pn )
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
13
5.2 Routh （劳斯）稳定判据
系统稳定的充要条件
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0
Routh 表：
s4
1
19 30
s3 s2
1 1 (19) 111
1

30
11 30
0 0 （改变符号一次）
i 1
i j
i 1
i1, j2
比较系数：
an1
an
n

i 1
si ,
an3
an
n
si s j sk ,
i jk
i1, j2,k 3
an
an
a0
an
2

n

i j i1, j
(1)n
si s
2 n
i 1
j
si

系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零
系统稳定 系统不稳定
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
6
5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根
线性定常系统：
anxo(n) (t ) an 1 xo(n1) (t ) a1 xo(t ) a0 xo(t ) xi(t )
元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。此时，系统为
临界稳定系统。
• P164 例4
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
17
5.2 Routh （劳斯）稳定判据
特例2：某行元素全为0
如果在Routh表中任意一行的所有元素均为0， Routh表的计算无法继续。 • 出现上述情况，一般是由于系统的特征根中
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
7
5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根
• 存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定) • 存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定） • 存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡， 此时，系统临界稳定）
• 以上几种根的组合等 • 利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式 • 用多项式方程的导数的系数组成 表的下一行 • 这些特殊的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到 • P164例5
t
ltim
n i 1
A1i e si t

n i 1
A2i e si t



自由响应发散，系统不稳定
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
8
5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根
若有特征根sk =±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点 位于[s]平面的左半平面
n i 1
A1i e si t

n i 1
A2i e si t


Ak
自由响应收敛于常值，系统稳定
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
9
5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根
结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。
2019/12/30
机械工程控制基础
19
5.3 Nyquist 稳定判据
开、闭环零极点与F(s)
GK (s)
G(s)H(s)
K (s z1 )( s z2 )(s zm ) (s p1 )( s p2 )(s pn )
(n m)
G(s) GB(s) 1 G(s)H(s)