巧用补形法解平面几何题

巧用补形法解平面几何题

王立文王兴林

补形法就是根据题设的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，将其拓展为围更广的、其特征更明显、更为熟悉的几何图形，从而沟通条件和结论之间的联系．下面就补形法，谈谈它在解平面几何题中的应用．

一、补成直角三角形

例1如图1，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，CD=1，AB=2，求BC、AD的长。

解：延长BC交AD的延长线于E。

∵∠A=60°，∠B=90°，

∴∠E=30°

在△CED中，

∵∠CDE=∠ADC=90°，CD=1，

∴CE=2CD=2，DE=。

在△AEB中，同理有：AE=2AB=4，。

∴BC=BE－EC=2－2，

AD=AE－DE=4－。

二、补成等腰三角形

例2已知：如图2，△ABC中，，∠ABC的平分线交AC于E，CD⊥BE于D，求证：BE=ED。

证明：延长BA交CD的延长线于F。

易证△BCF是等腰三角形（ASA）。

∴。

∵，

∴。

作DG∥CA交BF于点G。

∴，

∴BE=ED。

三、补成等边三角形

例3如图3，凸五边形ABCDE，有∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，

CD=DE=4，求这个五边形的面积。

简解延长DE、BA相交于K，延长DC、AB相交于M。易知△DKM为等边三角形。

S五边形ABCDE=S等边三角形DKM－2S等边三角形AKE

=

四、补成平行四边形

例4如图4，已知六边形ABCDEF中，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，且AB+BC=11，AF－CD=3，求BC+DE的长。

解：延长FA、CB交于点P，延长CD、FE交于点Q。

∵∠A=∠B=120°，

∴∠PAB=∠PBA=60°，

∴∠P=60°，

∴△ABP是等边三角形。

同理可得：△DEQ是等边三角形。

∴∠P=∠Q=60°。

∵∠C=∠F=120°，

∴四边形PCQF为平行四边形。

∴PF=CQ。

于是PA+AF=CD+DQ，

∴AF－CD=DQ－PA=DE－AB。

∵AF－CD=3，∴DE－AB=3。

∵AB+BC=11，

∴BC+DE=14。

五、补成矩形

例5如图5，在四边形ABCD中，∠BCD=∠CDA=120°，BC=5，CD=4，DA=6，求AB的长。

解：过D作BC延长线的垂线，垂足为M，过点A作MD延长线的垂线，垂足为N，过B作NA延长线的垂线，垂足为P，则四边形PBMN为矩形。

由已知及含30°角的直角三角形的性质。

又∵CM=2，DM=，AN=3，。

∴AP=5+2－3=4。

BP=DM=DN=。

∴。

六、补成正方形

例6在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=45°，BD=2cm，CD=3cm，求△ABC

的面积。

解：如图6，作△ABD，△ACD关于AB、AC对称的△ABE、△ACH，延长FB、HC交于F，则四边形AHFE是正方形。

设AD=x，知正方形的边长等于x，CF=HF－CH=x－3，BF=EF－BE=x－2。在Rt△BCF中，

，

∴，

解得x=6。

∴S△ABC=·AD

七、补成圆形

例7已知：如图7，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AC=AD=3，BC=2，求对角线BD的长。

解：以A为圆心，AB长为半径作⊙A。

∵AB=AC=AD=3，

∴C、D两点也在⊙A上。

延长BA交⊙A于E，

则BE=2AB=6。

∵AB∥DC，

∴。

∴DE=BC=2。

又∵BE为⊙A的直径，

∴∠BDE=90°。

∴BD=。

年级初中学科数学版本期数

容标题巧用补形法解平面几何题

分类索引

号

G.622.46 分类索引描述辅导与自学

主题词巧用补形法解平面几何题栏目名

称

学法指导

供稿老师审稿老

师