数学物理方法姚端正CH 作业解答
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数理方法CH3作业解答
P51习题3.2
1. 确定下列级数的收敛半径：
（2）∑∞
=12k k
k z k （4）∑∞
=+0
)(k k k z a k
解：（2）∑
∞
=12
k k
k
z k 收敛半径为：212lim |)21/(2
|lim ||
lim 11=+=+==∞→+∞→+∞
→k k k k a a R k k k k k k k （4）∑∞
=+0
)(k k k z a k
解：收敛半径为：|)1(|lim ||lim 1
1
+∞→+∞→+++==k k
k k k k a k a k a a R 若1||≤a ，则
1|)1(|lim 1
=++++∞→k k
k a k a k 若1||>a ，则
|
|1
|
)1()1(|lim |)1(11|lim |)1(|lim 1211a ka k a k k a k ka a k a k k k k k k k k k k =+−=+++=+++−−∞→−∞→+∞→罗比塔法则罗比塔法则
2.∑∞
=1k k k z a 的收敛半径为R )0(∞<≤R ，确定下列级数的收敛半径：
（1）∑∞
=0
k k k n z a k
解：||lim |)1(|lim |||)1(|lim |))1(|lim 111+∞→∞→+∞→+∞→⋅+=⋅+=+k k k n k k k n k k n k n k a a k k a a k k a k a k 收敛半径为：
而 1|)1(
|lim =+∞
→n k k k R a a
k k k =+∞→||lim 1
所以，所求收敛半径为R
P55习题3.3
1.将下列函数在0=z 点展开成幂级数，并指出其收敛范围： （1）
2
)
1(1
z − 解：解法之一：利用多项式的乘法：
已知 ∑∞
==−011
k k z z 1|| =−2 )1(1z )()(0 0∑∑∞ =∞=⋅k k k k z z ...)1(...432132+++++++=k z k z z z ∑∞ =+=0)1(k k z k 解法之二：逐项求导： 11 ()1(12z z −=− 则=−2 )1(1z ==∑∑∞ =−∞=1 10)'(k k k k kz z (43211) 32++++++=−k kz z z z 由于 2 )1(1 z −在复平面内有唯一的奇点1=z ，它与展开中心的距离为1，故该级 数的收敛范围为1|| b az +1 解：∑∑∞ =+∞=−=−=+=+0 10)1()()1(1)1(11k k k k k k k k z b a z b a b z b a b b az 收敛范围：1|| b z < （5） 2 11 z z ++ 解：3 3321111111z z z z z z z −−−=−−=++ 令3 z t =，则 ∑∞ ==−0 11 k k t t ， 故 ∑∞ ==−0 3311k k z z =−3 1z z ∑∞ =+0 1 3k k z 所以，= ++2 11z z ∑∞ =0 3k k z ∑∞ =+−0 13k k z 收敛范围为1|| 2. 将下列函数按)1(−z 的幂展开，并指明其收敛范围： （1）z cos 解：1sin )1sin(1cos )1cos(]1)1cos[(cos −−−=+−=z z z z ∑∑∞ =+∞ =+−−−−−=0 1 202)!12()1()1(1sin )!2()1()1(1cos k k k k k k k z k z 收敛范围： ∞<−|1|z 3.应用泰勒级数求下列积分： （3）∫= z dz z z Siz 0sin 解：利用正弦函数的泰勒展开式： ∑∞ =++−=012)!12()1(sin k k k k z z ，得到 z z sin ∑∞ =+−=0 2)!12()1(k k k k z 则 ∑∑∫∫∑∫∞=+∞=∞=++−=+−=+−=01 20020020)12()!12()1()!12()1()!12()1(sin k k k k z k k z k k k z k k z dz k z dz k z dz z z 4.函数α)1(z +在α不等于整数时是多值函数，试证明普遍的二项式定理： ...]! 3)2)(1(!2)1(!11[1)1(3 2+−−+−++ =+z z z z αααααααα 式中，α为任意复数；πααk i e 21= 解： )1ln(2]2)1[ln()1()1(z k i k i z z Ln e e e e z ++++⋅===+απαπααα 下面将)1ln(z e +α在1 记∑∞ =+==0 ) 1ln()(k k k z z a e z f α， 其中，!)0()(k f a k k = )(11)(')1ln(z f z e z z f z +=+= +α αα ① ⇒ α=)0('f 同时由①式有： )()(')1(z f z f z α=+ ② 将②式两边再对z 求导： )(')(')('')1(z f z f z f z α=++ 得到 )(')1()('')1(z f z f z −=+α ③