邱关源《电路》配套题库-课后习题(非正弦周期电流电路和信号的频谱)【圣才出品】

6．有效值为 100 V 的正弦电压加在电感 L 两端时，得电流 I＝10 A。当电压中有 3 次
谐波分量，而有效值仍为 100 V 时，得电流 I＝8 A。试求这一电压的基波和 3 次谐波的有
效值。
解：当基波作用时，|Z1|＝ ＝100/10＝10 ，所以三次谐波下|Z3|＝3 ＝30
根据题意可得：
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代入数据可得直流和各个谐波下的电流：
综上，随着频率的增大，在高次谐波（k＞3）下的电流越来越小，消耗的有功功率也 越来越小。最后电流的时域形式为：
i＝－0.398sin（10t－89.28）－0.636sin（20t＋87.71）＋… 电阻消耗的功率为：P＝ P（K）＝56.69W。 5．电路如图 13-5 所示（实线部分），为了在端口 1-0 获得关于 （t）的最佳的传输 信号，可在端口 1-0 并联 RC 串联支路（图中虚线所示），使输出电压 （t）为 式中 （t）为任意频率的输入信号。求：参数 R、C 和 k（实数）。
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第 13 章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
1．求下列非正弦周期函数 f（t）的频谱函数（傅里叶级数系数），并作频谱图。 （1）f（t）＝cos（4t）＋sin（6t）；（2）f（t）如图 13-1（a）、（b）、（c）所示。
2．设非正弦周期函数 f（t）的频谱函数为
。试表述下列不
f（t）相关函数的频谱函数。
解：（1）
（2）
即 ＝－ ，所以 ＝0， ＝0，频谱为 。
（3）
所以 ＝0，频谱为
。
（4）
即必须在
＝1 时成立，所以 k 必须是奇数，
。
（5）
这表明 f（t）的一阶导数的频谱函数为原函数的频谱函数的幅度增大 倍，相位超前 900。
，
解得：
。
7．已知一 RLC 串联电路的端口电压和电流为
试求：（1）R、L、C 的值；（2） 的值；（3）电路消耗的功率。 解：（1）由电流和电压的时域形式可知，在基波的时候，RLC 串联回路发生谐振，则 R ＝100/10＝10 ，
。
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图 13-6 解：负载丌含基波分量，此时发生并联谐振；在四次谐波下，全部传送到负载，此时发 生串联谐振，即满足：
， 解得： ＝1H， ＝0.067H。
9．图 13-7 所示电路中 （t）为非正弦周期电压，其中含有 3ω1 及 7ω1 的谐波分量。 如果要求在输出电压 u（t）中丌含这两个谐波分量，问 L、C 应为多少？
图 13-1 解：（1）周期 T＝ s， ＝2rad/s
f（t）＝cos（2 t）＋ cos（3 t） 所以 f（t）的傅里叶级数展开式仅有两项，即 k＝2， ＝1， ＝0O；k＝3， ＝1， ＝－90O，对其他 k 均为零 其频谱图如图 13-2（a）所示。
（2）图 13-1（a），
，其频谱图如图 13-2
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图 13-5
解：根据题意，只要使电路的并联部分的等效阻抗在任意的频率下都是一个不频率无关
的常数，即可满足
，并联部分的等效阻抗为：
Z＝
Z 为一个常数， 解得：R＝4 ，C＝250 ，此时 Z＝R＝4 ，所以 k＝0.8。

在三次谐波下的阻抗为：
由
，解得：X＝10.004
将 X 代入
可得：L＝31.86mH，C＝318.34uF。
（2）由（1）可得，Z3 的阻抗角 ＝69.45o＝－30o－ ，即 ＝－99.45o。
（3）电路消耗的功率：
。
8．图 13-6 所示为滤波电路，要求负载中丌含基波分量，但 4ω1 的谐波分量能全部传 送至负载。如 ω1＝1 000 rad/s，C＝1μF，求 和 。
3．已知某信号半周期的波形如图 13-3 所示。试在下列各丌同条件下画出整个周期的 波形：
（1） ＝0；（2）对所有 k， ＝0；（3）对所有 k， ＝0；（4）当 k 为偶数时，
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和 为零。
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图 13-3 解：（1）当 a0＝0 时，在后半个周期上，只要画出 f（t）的负波形不横轴所围成的面 积不给出的前半个周期波形所围成的面积相等即可，图 13-4（b）（c）均满足此条件。 （2）对所有的 k， ＝0，表明 f（t）是偶函数，如图 13-4（a）所示。 （3）对所有的 k， ＝0，表明 f（t）是奇函数，如图 13-4（b）所示。 （4）当 k 为偶数时， 、 均为零，表明 f（t）是奇谐波函数，即 f（t）＝－f（t ＋T/2），如图 13-4（c）所示。
图 13-4
4．一个 RLC 串联电路，其 R＝1 Ω， ＝10 Ω，
，外加电压为 （t）
＝f（t－ ）＋ ，f（t）的波形如图 13-1（b）所示。Um＝100 V，ω1＝10 rad/s。
试求电路中的电流 i（t）和电路消耗的功率。
解：将外加电压先根据傅里叶级数展开：
＝
根据叠加原理，计算直流和各个谐波的电流相量：
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图 13-7 解：采用谐振来隔断 和 的谐波，存在两种方案。 方案一：用并联谐振来阻隔 的谐波，用串联谐振来阻隔 的谐波，即
解得：
。
方案二：用串联谐振来阻隔 的谐波，用并联谐振来阻隔 的谐波，即
解得：＝[5＋10cos（10t－30°）－5sin（30t＋60°）]A， （t） ＝300sin（10t）＋150cos（30t－30°）V， ＝ ＝2H，M＝0.5H。求图 13-8 中交流 电表的读数和电源发出的功率 P。
（b）所示。 图 13-1（b），
，其频谱图如图 13-2（c）
所示。
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图 13-1（c），
，其频谱图如图 13-2（d）所示。
图 13-2
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