椭圆几何性质课件

它的长轴长：
焦距：
2 5
2 6
。短轴：
。离心率：
2
30 6
。
。
(0, 6) ( 1, 0)。 焦点坐标： (0, 5 ) 。顶点坐标：
外切矩形的面积：
4 6
。
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
1 (1)焦点在x轴上，c = 3 ,e= ； 3 3 (2)长轴长等于20，离心率等于 5
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： Q(0, 2) ； （1）经过点 P(3, 0) 、 3 （2）长轴长等于 20 ,离心率等于 5 ．
它的长轴长：
焦距： 6
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10
；短轴长：
；离心率：
3 5
8
；
；
焦点坐标： ( 3, 0)
；顶点坐标：(5, 0) (0, 4) ；
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
2 2 x y 16 x 2 25 y 2 400 1 25 16
于是a=5，b=4，c=3.
练习 1.已知椭圆方程为6x2+y2=6
x2 y 2 (1) 1； 9 4
x2 y 2 y 2 x2 (2) 1 或 1 100 64 100 64
2 2 2 2 x y x y （） 1 9 x 2 y 2 36与 1；(2) x 2 9 y 2 36与 1 16 12 6 10
4.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆， 哪一个更扁？
A1
( a ,0 )
y
B2 (0, b)
b
a
F1
o c
B1 (0,b)
A2
F2
( a ,0 )
x
四个顶点坐标分别为(-a, 0) (a, 0) (0, -b) (0, b)
c e 叫做椭圆的离心率。 椭圆的焦距与长轴长的比： a
(1)离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e <1
2.1.2椭圆的简单 几何性质(一)
复习引入
1.椭圆定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |） 的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a (2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程： x2 y2 当焦点在X轴上时 a 2 b 2 1(a b 0) y2 x2 当焦点在Y轴上时 a 2 b 2 1(a b 0)
(2)离心率对椭圆形状的影响：
4.椭圆的离心率
①e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
②e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭
圆就越圆
③特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合， 椭圆变为圆，方程变为 x 2 y 2 a 2
典例分析
例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
2 2
2
2
即 a x a , b y b
说明：椭圆落在x =±a,y =±b组成的矩形中
y
B2 A1
b F1
a F2
o c
B1
A2
x
2.椭圆的对称性
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b
Y P1（-x，y）
从图形上看： 椭圆关于x轴、y轴、 原点对称，既是轴 对称图形，又是中
O P3（-x，-y）
P（x，y）
X
心对称图形。
P2 x, y
从方程上看： （1）椭圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是 P 1 ( x, y )
x
a2
2
即 P1 在椭圆上,则椭圆关于y轴对称 P2 ( x, y ) （2）椭圆上任意一点P(x,y) 关于 x 轴的对称点是 2 2 即 P2在椭圆上,则椭圆关于x轴对称 （3）椭圆上任意一点P(x,y)关于原点的对称点是 P3 ( x, y )
3、椭圆的顶点
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b
椭圆与 y轴的交点是什么？令 x=0，得y =±b 椭圆与 x轴的交点是什么？令 y=0，得 x =±a
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b、c分别叫做椭圆的长半 轴长、短半轴长、半焦距。
关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点 成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
离心率 a、b、c的 关系
c e a
a2=b2+c2
比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
2 2 2 2 x y x y （1）9 x 2 y 2 36与 1； (2) x 2 9 y 2 36与 1 16 12 6 10 c1 2 2 1 分析 (1) e1 , e2 a1 3 2
2 2 x y ( x) ( y ) 2 2 1 2 2 a b a b 即 P3 在椭圆上,则椭圆关于原点对称
2 2
x2 y2 y2 2 2 2 1 a b b
x y x2 ( y )2 2 2 1 2 2 a b a b
结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
y
x
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y2 2 1(a b 0) 2 b a
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x 轴、y 轴成轴对称； 关于原点成中心对称
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
2 2 2 3.椭圆中a,b,c的关系: a =b +c
椭圆的简单几何性质 观察椭圆的图像，以焦点在x轴上为例
y
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
O
x
你能从它的图像上看出它的范围吗？ 它具有怎样的对称性？
椭圆上哪些点比较特殊？
1.范围
x y x y 1 和 1 1 2 2 2 2 a b a b
e c a
（1）基本量：a、b、c、e（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） y B1(0,b)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
作业 ： 书42页 习题2.1A组4、5
谢谢！
根据前面所学有关知识画出下列图形
x2 y2 1 （1） 25 16 x2 y2 1 （2） 25 4
y
A1
4 B2 3 2 1
y
4 3 B 2 2 1
A2
x
A1
A2
x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
总结：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图， 只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.
2 2 1 e1 , e2 3 2 e1 e2 , 前者更圆
2 2 2 10 , e2 3 10 e1 e2 , 前者更圆 e1
标准方程 图象 范围 对称性 顶点坐标
x y 1(a b 0) 2 2 a b
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
焦点坐标 半轴长
焦距 a,b,c关系 离心率
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (b,0)、(-b,0)、 (0,b)、(0,-b) (0,a)、(0,-a) (c,0)、(-c,0) (0 , c)、(0, -c) 长半轴长为a,短半轴长为b. 焦距为2c; a2=b2+c2
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c e a
a、b、c的关系
a2=b2+c2
同前
小结
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
e1 e2 , 前者更圆 c1 2 2 2 10 (2) e1 , e2 a1 3 10 e1 e2 , 前者更圆