下册第二十八章 解直角三角形人教版九级数学全一册课件
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人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
人教版九年级下册数学课件：28.2解直角三角形(共17张PPT)
由于
AC 2.4 cos a 0 .4 AB 6
A α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
C
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
探究
在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的 其他元素吗？
（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
三、精讲点拨
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A=75°，斜边AB＝6，求 ∠A的对边BC的长．
BC 由 sin A 得 AB
α
b sin B c
b 20 20 c 35.1 sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗？
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A C B
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
所以 BC≈6×0.97≈5.8 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与 地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已 知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
B的对边 b tan B B的邻边 a
人教版九年级下册
28.2 的对边
sinA
斜边
斜边
AC 2.4 cos a 0 .4 AB 6
A α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
C
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
探究
在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的 其他元素吗？
（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
三、精讲点拨
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A=75°，斜边AB＝6，求 ∠A的对边BC的长．
BC 由 sin A 得 AB
α
b sin B c
b 20 20 c 35.1 sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗？
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A C B
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
所以 BC≈6×0.97≈5.8 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与 地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已 知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
B的对边 b tan B B的邻边 a
人教版九年级下册
28.2 的对边
sinA
斜边
斜边
人教版九年级下册 28.2.1 解直角三角形17张PPT
2 ，
BC 6 3， 解： tan A AC 2 A 60 ，
AB 2 AC 2 2.
A
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30 ，
练习
在△ Rt△ ABC中，∠C＝90°， a 2， b2 3 ，
解这个直角三角形（即求∠A、∠B、c边）.
a 2 3 解：∵tanA= = = , b 2 3 3
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形. A AC 6 3 cos CAD ， 解：
AD 4 3 2
CAD 30，
∵
6 C
4 3
AD平分∠BAC，
CAB 60，B 30，
D
B
AB 12，BC 6 3.
a c
b cos A c
a tan A b
B
交流与发现
A
c
a
b
C
在直角三角形中，知道其中哪些元素，可以求 出其余的元素?
在Rt△ABC中,
一角一边
BC
A
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, 你能求出这三个角的其他元素吗？
∠B AC
2
C
6
两边
6
B
（2）根据AC=
2 ，BC=
你能求出这个三角形的其他元素吗？
方法一：设a=x，c=2x
b=
.解这个直角三角形 .
B
a ab
方法二：tan A
由勾股定理得：
2 2
tan30 即：
2 x x 4 3 解得：x 4或x 4(舍去 )
人教版九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形 上课课件
第四部分 知识小结
知识小结
本节课你有什么收获？
1.解直角三角形的定义 （注意：已知的两个元素中至少有一个是边）
2.解直角三角形的两种类型 （1）一边一锐角；（2）已知两边
3.当要计算的边不在直角三角形中时，要 构造直角三角形.
建模思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论 思想
第五部分 随堂演练
随堂演练
的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形.
解：cos CAD AC 6 3 ，
A
AD 4 3 2
CAD 30，
6 43
∵ AD平分∠BAC，
CD
B
CAB 60，B 30，
AB 12，BC 6 3.
随堂演练
4. 已 知 ： 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ ．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求 △ABC的周长（结果保留根号） 【解析】要求△ABC的周长，只要 求得BC及AB的长度即可．根据 Rt△ADC中∠ADC的正弦值，可以 求得AD的长度，再求CD的长度； 再根据已知条件求得BD的长度，继 而求得BC的长度；运用勾股定理可 以求得AB的长度，求得△ABC的周 长．
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA =3 ，BC=6，则
5
AB的值为
( D)
A．4 B．6
C．8 D．10
2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sinB＝
，4则菱形的周长是 5
( C)
A．10
B．20
C．40
D．28
随堂演练
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC
第三部分 新课进行时
人教版数学九年级下册28 解直角三角形课件
课堂小结
在直角三角形中，由已知元素求出未
解
知元素的过程，叫做解直角三角形.
直
角
三
两边：两直角边或斜边、一直角边
角
形
一边一角：直角边、一锐角或斜边、
一锐角
拓展延伸
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=
1 5
，求
AD的长.
tan∠DBC= 1 5
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山。 宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树， 转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱是 靠追的，不是等来的！
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
R·九年级下册
新课导入
如图是意大利的比萨斜塔，设 塔顶中心点为B，塔身中心线与垂 直中心线的交点为A ，过B点向垂 直中心线引垂线，垂足为C，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2 米，AB=54.5米.
知道以上条件，你能求出∠A的度数吗？
解：sinA
BC AB
5.2 54.5
0.0954,
利用计算器可得∠A ≈ 5°28′.
A
一般地，直角三角形中，除直角外，共有 五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角 形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫
做五个元素之间
有哪些a关2+系b2？=c2（勾股定理） ；
知识点2 解直角三角形 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=
新人教版九年级下册数学 28.2 解直角三角形及其应用参考课件(共30张PPT)
2.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的 另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m, ∠d=50°,那么开挖点E离D多远正好能A,C,E使成一直线,(精 确到0.1m)?
例5.如图,一般海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯 塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距 离灯塔P有多远(结果取整数)?
问题 要想使人平安地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子与地面所成的角α,一般要满足50°≤α≤75°. 现有一个长6m的梯子.问
(1)使用这个梯子最高可以平安攀上多高的墙(精确到0.1m)
对于问题(1),当梯子与地面成的角α为75°时,梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,己知∠A=75°,斜边 AB=6,求∠A的对边BC的长.
(1)坡度α和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形问题); (2)根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
例3 2022年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞 一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟〞九号与“天宫〞一 号的组合体当在离地球外表343km的圆形轨道上运行.如图,当组 合体运行到地球外表上P点的正上方时，从中能直接看到的地球 外表最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半 径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
解 : 如图在RtAPC中
人教版九年级下册数学28.2.1 解直角三角形 教学课件 (共18张PPT)
AD 4 3 2
C A D30，
6
43
因为AD平分∠BAC
CD
B
C A B 6 0 , B 3 0 ，
AB12,BC6 3.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
B
解：根据勾股定理
ca 2 b 23 0 2 2 0 2 1 01 3 , tanAa3031.5,
b 20 2
c a=30
A b=20 C
∴A56.3.
∴ B 9 0 A 9 0 5 6 . 3 3 3 . 7 ；
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
(2) ∠B＝72°，c = 14.
解： s in B b ,
c
A
b c s i n B 1 4 s i n 7 2 1 3 . 3 .
∴ ABx1 的长15为421 ,5x22. 1542（ 舍 去 ） . 知 数 思一 值想边，求与一解一般. 锐可角结三合角方函程 4
练一练
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3 ，BC=6， 5
则
D
AB=（ ）
2.如A图．，4在菱B形．A6BCD中，C．AE8 ⊥BC于D．点1E0，EC=4，
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD=
AD tanB
2 3
6.
B
∴BC=CD+BD=3 2 6.
A
C D
课堂小结
解直角三 角形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法:只要知道五个元素中的两个 元素（至少有一个是边），就可 以求出余下的三个未知元素
下册第章解直角三角形人教版九年级数学全一册完美课件
第二十八章 锐角三角 函数
第4课时 解直角三角形
学习目标
1．理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直 角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2．通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐 角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力.
知识要点
知识点一：解直角三角形的概念 解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五 个元素(两条直角边、斜边、两个锐角)，如果知道其中两个元 素(其中至少有一条边)，求出其余三个未知元素的过程，叫做 解直角三角形．
演讲完毕，谢谢观看！
对点训练
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，∠A＝30°，则： (1)∠B＝ 60°； (2)AB＝ 2 ； (3)AC＝ 3 .
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
知识点二：解直角三角形的主要依据
(1)三边关系： a2＋b2＝c.2(勾股定理) (2)两锐角关系： ∠A＋∠B＝90.°
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
★9.如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°，求 AD，CD 的长．
AD＝5 3＋10，CD＝10 3＋5
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
5.【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2，AB ＝2，解这个直角三角形．
BC＝ 2，∠A＝45°，∠B＝45°
第4课时 解直角三角形
学习目标
1．理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直 角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2．通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐 角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力.
知识要点
知识点一：解直角三角形的概念 解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五 个元素(两条直角边、斜边、两个锐角)，如果知道其中两个元 素(其中至少有一条边)，求出其余三个未知元素的过程，叫做 解直角三角形．
演讲完毕，谢谢观看！
对点训练
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，∠A＝30°，则： (1)∠B＝ 60°； (2)AB＝ 2 ； (3)AC＝ 3 .
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
知识点二：解直角三角形的主要依据
(1)三边关系： a2＋b2＝c.2(勾股定理) (2)两锐角关系： ∠A＋∠B＝90.°
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
★9.如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°，求 AD，CD 的长．
AD＝5 3＋10，CD＝10 3＋5
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
5.【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2，AB ＝2，解这个直角三角形．
BC＝ 2，∠A＝45°，∠B＝45°
下册28.2.1解直角三角形-2020秋人教版九年级数学全一册课件(共28张PPT)
10．[2019·乐山]如图 28－2－3，在△ABC 中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝35.求边 AB 的长．
图 28－2－3
解：如答图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在 Rt△ADC 中， ∵∠ADC＝90°，cosC＝35，AC＝2， ∴DC＝35×2＝65，AD＝ AC2－CD2＝ 22－652＝85， 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝90°，∠B＝30°. ∵sinB＝AADB＝12，∴AB＝2AD＝156.
∴BC＝BD＋CD＝5 3＋ 3＝6 3， ∴S△ABC＝12BC·AD ＝12×6 3×5＝15 3；
第 11 题答图①
第 11 题答图②
Ⅱ.如答图②所示，作 AD⊥BC 的延长线于点 D， 同Ⅰ得 AD＝5， ∴BC＝BD－CD＝5 3－ 3＝4 3， ∴S△ABC＝12BC·AD＝12×4 3×5＝10 3. 综上所述，△ABC 的面积等于 15 3或 10 3.
第10题答图
11．[2018·无锡改编]已知△ABC 中，AB＝10，AC＝2 7，∠B＝30°，求△ABC 的面 积． 解：分两种情况求解： Ⅰ.如答图①所示，作 AD⊥BC 于点 D， ∵AB＝10，∠B＝30°， ∴AD＝12AB＝12×10＝5， BD＝ AB2－AD2＝ 102－52＝5 3. 又∵AC＝2 7， ∴CD＝ AC2－AD2＝ （2 7）2－52＝ 3.
图28－2－4
解：∵在 Rt△ABC 中，BC＝2，∠A＝30°， ∴AC＝taBnCA＝2 3，则 EF＝AC＝2 3， ∵∠E＝45°， ∴FC＝EF·sinE＝ 6， ∴AF＝AC－FC＝2 3－ 6.
13．某学校的校门是伸缩门(如图 28－2
人教版九年级数学全一册课件：28.2.1 解直角三角形
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
学习目标
1.知道直角三角形的边角关系 2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角
函数解直角三角形.
学习重点
直角三角形的解法.
学习了锐角三角函数的有关知识后,小敏又得出了一个结 论:“已知直角三角形的除直角外的两个条件(边或角),就可 以求出这个直角三角形的其他边和角.”小聪看了看教材中 的例题,认为确实是这样,你认为他们的结论正确吗?你能 举例说明吗?
则 AC 的长为( A )
A.7sin 35° C.7cos 35°
B. ������
������������������������������°
D.7 tan 35°
2.在△ABC 中,∠C=90°,c=6,∠B=30°,则
a= 3 ������ ,∠A= 60° .
3.在△ABC 中,∠C=90°,3b= ������a,则∠A= 60° .
a ������������������A
两边
两直角边(如a,b) 一斜边和一直角边(如c,a)
2.解直角三角形时要尽量利用原始数据,以防止“累 积误差”,一般地,有弦(斜边)用 正弦、余弦 ,无弦用 正切 ,“宁乘毋除,取原避中”是解直角三角形的 原则,必要时,画图帮助分析.
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,
������ ������
∴∠B=60°. (2)∵a=24,c=24 ������,根据勾股定理得 b=24, ∴∠A=∠B=45°.
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的 平分线,CD=5 cm,求AB的长.
解:∵在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°, BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠ABD=∠CBD=30°,∴AD=DB. 又∵Rt△CBD 中,CD=5 cm,∴BD=10 cm. ∴BC=5 ������ cm,AB=2BC=10 ������ cm.
28.2.1 解直角三角形
学习目标
1.知道直角三角形的边角关系 2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角
函数解直角三角形.
学习重点
直角三角形的解法.
学习了锐角三角函数的有关知识后,小敏又得出了一个结 论:“已知直角三角形的除直角外的两个条件(边或角),就可 以求出这个直角三角形的其他边和角.”小聪看了看教材中 的例题,认为确实是这样,你认为他们的结论正确吗?你能 举例说明吗?
则 AC 的长为( A )
A.7sin 35° C.7cos 35°
B. ������
������������������������������°
D.7 tan 35°
2.在△ABC 中,∠C=90°,c=6,∠B=30°,则
a= 3 ������ ,∠A= 60° .
3.在△ABC 中,∠C=90°,3b= ������a,则∠A= 60° .
a ������������������A
两边
两直角边(如a,b) 一斜边和一直角边(如c,a)
2.解直角三角形时要尽量利用原始数据,以防止“累 积误差”,一般地,有弦(斜边)用 正弦、余弦 ,无弦用 正切 ,“宁乘毋除,取原避中”是解直角三角形的 原则,必要时,画图帮助分析.
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,
������ ������
∴∠B=60°. (2)∵a=24,c=24 ������,根据勾股定理得 b=24, ∴∠A=∠B=45°.
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的 平分线,CD=5 cm,求AB的长.
解:∵在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°, BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠ABD=∠CBD=30°,∴AD=DB. 又∵Rt△CBD 中,CD=5 cm,∴BD=10 cm. ∴BC=5 ������ cm,AB=2BC=10 ������ cm.
下册第章解直角三角形的应用人教版九年级数学全一册课件PPT
下册第28章 第6课时 解直角三角形的应用(2)-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共13张 PPT)
下册第28章 第6课时 解直角三角形的应用(2)-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共13张 PPT)
(1)求新坡面的坡角 α； (2)原天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要 拆除？请说明理由．( 3≈1.732) (1)30° (2)AB＝6 3－6<8，不需要拆除． 小结：解决有关坡度的实际问题时，通常是过顶点作高构造 与坡角相关的直角三角形.
下册第28章 第6课时 解直角三角形的应用(2)-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共13张 PPT)
精典范例
3【. 例 1】如图，海中一渔船在 A 处且与小岛 C 相距 70 n mile， 若该渔船由西向东航行 30 n mile 到达 B 处，此时测得小岛 C 位于 B 的北偏东 30°方向上，求该渔船此时与小岛 C 之间的距 离． 50 n mile 小结：解决有关方位角的实际问题时，通常 过固定目标点作垂线构造直角三角形.
对点训练
1.观察如图所示的方位角． (1)点 A 在 O 的 北偏东60方°向上； (2)点 B 在 O 的 东南 方向上； (3)点 C 在 O 的 南偏西30方°向上．
下册第28章 第6课时 解直角三角形的应用(2)-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共13张 角形的应用(2)-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共13张 PPT)
(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α. (3)注意：坡角 α 的正切等于坡度 i，即 i＝hl ＝tan α.显然，坡 度越大，坡角就越大，坡面就越陡． (4)区别：坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与 坡角相混淆.
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(1)求新坡面的坡角 α； (2)原天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要 拆除？请说明理由．( 3≈1.732) (1)30° (2)AB＝6 3－6<8，不需要拆除． 小结：解决有关坡度的实际问题时，通常是过顶点作高构造 与坡角相关的直角三角形.
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精典范例
3【. 例 1】如图，海中一渔船在 A 处且与小岛 C 相距 70 n mile， 若该渔船由西向东航行 30 n mile 到达 B 处，此时测得小岛 C 位于 B 的北偏东 30°方向上，求该渔船此时与小岛 C 之间的距 离． 50 n mile 小结：解决有关方位角的实际问题时，通常 过固定目标点作垂线构造直角三角形.
对点训练
1.观察如图所示的方位角． (1)点 A 在 O 的 北偏东60方°向上； (2)点 B 在 O 的 东南 方向上； (3)点 C 在 O 的 南偏西30方°向上．
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(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α. (3)注意：坡角 α 的正切等于坡度 i，即 i＝hl ＝tan α.显然，坡 度越大，坡角就越大，坡面就越陡． (4)区别：坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与 坡角相混淆.
人教版九年级数学下册第28章：解直角三角形的应用课件 (共16张PPT)
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
例3.如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形ABCD表示它 的横断面,原计划设计的坡角为A=22°37′,坡长AD=6. 5米, 现考虑到在短期内车流量会增加,需增加路面宽度,故改变 设计方案,将图中1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面 EFGH为等腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工 程的用土量不变,问:路面宽将增加多少?
450
D
C
2、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=7， AC=13， BC=5√2 ，求CD。
C
D
B
A
附加题
由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘 暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B 处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心 150km的范围为受影响区域。
答案:这艘船航行的速度约31 海里/时
（第 2 题）
小结:
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念
2.实际问题向数学模型的转化 3.解直角三角形的边角关系
1、 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为 300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A
300
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,
在Rt△ABC中， ∠B = 30°,
∴AC=
1 2
AB =
1 2
x
240
=
120
∵AC = 120 < 150
∴A城受到沙尘暴影响
人教版九年级下册数学 28. 2 解直角三角形及应用 (共15张PPT)
作业：
如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C处的距离. 解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。
28.2.2 解直角三角形的应用
一、创设情景，导入新课
画出方位角（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南 方向、西北方向、北偏东60度、南偏东30度方向的射线.
西
北
北
东 西
东
南
南
合作探究 达成目标
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它
65°
A
沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， P
练习： 1、如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ___ _ 。
北
C A
北
D
B
2、如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向， 距离灯塔40 2 海里的 A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东3 0 ° 方 向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海 里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中， ∵AP=40 ，∠APC=45° ∴AC=PC=40 在Rt△BPC中， ∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60° ∴BC=PC•tan60°=40× =40 ∴AB=AC+BC=40+40 （海里） 答：海轮行驶的路程AB为 (40+40
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c，且 a∶b∶c=3∶4∶5，求证：sin A+sin B=7.
5
证明：设a=3k， b=4k， c=5k（k＞0）， ∵a2+b2=（3k）2+（4k）2=25k2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
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2
3
α+β 的度数. 小聪、小明、小慧三位同学都通过构
造一个几何图形，使这个代数问题快速、简捷地得到
了解决，请你思考他们的方法，选择其中一个图形进
行
解答）
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4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°. （1）若 a=36，∠B=30°，求∠A，b，c； （2）若 a=6 2，b=6 6，求∠A，∠B，c.
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6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.
（1）已知∠B=45°，a+b=6，解这个直角三角形； （2）已知 sin A=1，c=6，求 a，b.
2
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在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素（即
3 条边、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素
（至少有 1 个是边），就可以求出其余的 3 个未
知元素. 由已知的元素，求出直角三角形其他
所有边和角的过程叫 解直角三角形
.
3. （例 1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据表中的数据求其
他元素的值：
10. 在△ABC 中，AB=12 2，AC=13，cos B= 2，求
2
BC 的长.
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三级检测练
一级基础巩固练
11. （1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，
∠C 的对边，则下列各式正确的是（ C ）
A. b=a·tan A C. b=c·cos A
B. b=c·sin A D. a=c·cos A
（ 2 ） 在 Rt△ABC 中 ， ∠C=90° ， ∠B=37° ， BC=32 ， 则
解：（1）∠A=180°-∠C-∠B=60°.
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5. （例 2）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cos A=1，
3
BC=5，试求 AB 的长.
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第二十八章 锐角三角函数
第5课 解直角三角形
新课学习
1. 如图，在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），
其中∠C=90°.
（1）三边关系：
c2=a2+b2
；
（2）两锐角关系：∠A+∠B= 90° ；
（3）边角关系：sin A=
，
cos A=
，
tan A=
.
2. 解直角三角形的概念：
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7.（例 3）如图，在△ABC 中，∠C=30°，∠B=135°， AB=2 2，求 AC 和 BC 的长.
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AC= 24 .（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
tan 37°≈0.75）
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12. （1）如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点都 在格点上，则 cos B 的值为（ B ）
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8. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=8，∠B=45°， ∠C=120°，求 CD 的长.
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重难易错 9. 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，
___________米.
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二级能力题提升练
13. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=5，且 cos2 A-2 2cos A+1=0. 求∠A 的对边 .
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A. 2
B. 2
2
C. 3
2
D. 1
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=31，c=31 2，则 ∠A= 45 度，∠B= 45 度，b= 31 .
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11. 如图，某同学在楼房 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯 角为 30°，荷塘另一端 D 处与 C，B 在同一直线上， 已 知 AC=36 米 ， CD=18 米 ， 则 荷 塘 宽 BD 为
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14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=105°，∠B=30°，AB=6， 求△ABC 的面积.
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三级拓展延伸练
15. 已知 α，β 均为锐角，且 tanα=1，tan β=1，求
5
证明：设a=3k， b=4k， c=5k（k＞0）， ∵a2+b2=（3k）2+（4k）2=25k2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
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2
3
α+β 的度数. 小聪、小明、小慧三位同学都通过构
造一个几何图形，使这个代数问题快速、简捷地得到
了解决，请你思考他们的方法，选择其中一个图形进
行
解答）
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4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°. （1）若 a=36，∠B=30°，求∠A，b，c； （2）若 a=6 2，b=6 6，求∠A，∠B，c.
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6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.
（1）已知∠B=45°，a+b=6，解这个直角三角形； （2）已知 sin A=1，c=6，求 a，b.
2
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在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素（即
3 条边、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素
（至少有 1 个是边），就可以求出其余的 3 个未
知元素. 由已知的元素，求出直角三角形其他
所有边和角的过程叫 解直角三角形
.
3. （例 1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据表中的数据求其
他元素的值：
10. 在△ABC 中，AB=12 2，AC=13，cos B= 2，求
2
BC 的长.
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三级检测练
一级基础巩固练
11. （1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，
∠C 的对边，则下列各式正确的是（ C ）
A. b=a·tan A C. b=c·cos A
B. b=c·sin A D. a=c·cos A
（ 2 ） 在 Rt△ABC 中 ， ∠C=90° ， ∠B=37° ， BC=32 ， 则
解：（1）∠A=180°-∠C-∠B=60°.
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5. （例 2）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cos A=1，
3
BC=5，试求 AB 的长.
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第二十八章 锐角三角函数
第5课 解直角三角形
新课学习
1. 如图，在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），
其中∠C=90°.
（1）三边关系：
c2=a2+b2
；
（2）两锐角关系：∠A+∠B= 90° ；
（3）边角关系：sin A=
，
cos A=
，
tan A=
.
2. 解直角三角形的概念：
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7.（例 3）如图，在△ABC 中，∠C=30°，∠B=135°， AB=2 2，求 AC 和 BC 的长.
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AC= 24 .（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
tan 37°≈0.75）
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12. （1）如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点都 在格点上，则 cos B 的值为（ B ）
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8. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=8，∠B=45°， ∠C=120°，求 CD 的长.
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重难易错 9. 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，
___________米.
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13. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=5，且 cos2 A-2 2cos A+1=0. 求∠A 的对边 .
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A. 2
B. 2
2
C. 3
2
D. 1
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=31，c=31 2，则 ∠A= 45 度，∠B= 45 度，b= 31 .
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11. 如图，某同学在楼房 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯 角为 30°，荷塘另一端 D 处与 C，B 在同一直线上， 已 知 AC=36 米 ， CD=18 米 ， 则 荷 塘 宽 BD 为
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14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=105°，∠B=30°，AB=6， 求△ABC 的面积.
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三级拓展延伸练
15. 已知 α，β 均为锐角，且 tanα=1，tan β=1，求