专题六 第一讲 排列组合二项式定理
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－ － －
n 的值为________．
2 2 3 n 2 n 1 解析：∵C1 Cn ＋3n 1＝85， n＋3Cn＋3 Cn＋„＋3
－ － －
1 2 n 1 n 1 ∴3Cn ＋32Cn ＋33C3 Cn ＋3n＝255. n＋„＋3
－ －
1 2 2 3 3 n 1 n 1 n ∴30C0 ＋ 3C ＋ 3 C ＋ 3 C ＋ „ ＋ 3 C ＋ 3 ＝256. n n n n n
A．1 440 种
C．720 种
B．960 种
D．480 种
解析：采用插空法，志愿者先排，有A 5 5 种，有4个空，将2位老人
2 5 插入，共有A2 A5×4＝960 种．
答案： B
4．(2011· 西安模拟)在某种信息传输过程中，用4个数字的一 个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同 信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对 应位置上的数字相同的信息个数为________．
n r 2 r 又 Tr＋1＝Cr (－1)r，当 n＝2 时，Tr＋1＝Cr (－1)r， n(x＋2) 2(x＋2)
－ －
含 x＋2 项的系数为－C1 2＝－2.
10 n＝11 时，含 x＋2 项的系数为 C10 ( － 1) ＝11， 11
∴a1＝11＋(－2)＝9.
[答案] A
[点评] 本题将方程根的个数求法与二项式相结合．通过构
4 1 4 3 C5 · 1 ＋ C4 12＋C7 · 1 ＝5＋15＋35＝55， 6·
∴由3n－5＝55得n＝20.
答案：D
点击下图进入战考场
求某项系数、常数项及系数
和是命题热点
选择题、填空题
[联知识
串点成面]
分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原 理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用
其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针
对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只 有各个步骤都完成才算做完这件事．
[做考题
n－r r Tr＋1＝Cr a b ，其中 Cr n n(r＝0,1,2，„，n)叫做二项式系数．
3．各二项式系数之和：
1 2 n n (1)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝2 . 3 0 2 n－1 (2)C1 ＋ C ＋„＝ C ＋ C ＋„＝ 2 . n n n n
4．二项式系数的性质：
n r (1)二项式系数首末两端“等距离”相等，即 Cr n＝Cn .
4．排列与组合综合应用问题的常见解法： (1)特殊元素(特殊位置)优先安排法； (2)合理分类与准确分步法；
(3)排列与组合混合问题先选后排法；
(4)相邻问题捆绑法；(5)不相邻问题插空法； (6)定序问题缩倍法；(7)多排问题一排法； (8)“小集团”问题先整体后局部法；(9)构造模型法； (10)正难则反，等价转化法．
造、创设展开式转化为求某项的系数．命题构思新颖，创
新性强．
已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5 ＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列
的
A．第9项 C．第19项 B．第10项 D．第20项
(
)
解析：∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是
(2011· 山东五县联考)已知0<a<1，则方程a|x|＝|logax|的实
根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2
＋„＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1＝ A．9 C．11 B．－10 D．－12 ( )
[解析] 如图， 作出 y＝a|x|， y＝|logax|(0<a<1) 的图像，知有两个交点，故 n＝2. ∴(x＋1)2＋(x＋1)11 ＝[(x＋2)－1]2＋[(x＋2)－1]11 故 a1 为含(x＋2)1 项的系数．
[做考题
查漏补缺]
(1)(2011· 全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集 邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则
不同的赠送方法共有
A．4种 C．18种 B．10种 D．20种
(
)
(2)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不 与5相邻的六位偶数的个数是 ( )
A．72
)
x 2 6 解析：在( － ) 的展开式中，第 r＋1 项为 2 x Tr＋1＝Cr 6( x 6－r 2 1 6－r 3－r ) (－ )r＝Cr ( x (－2)r， 6 ) 2 2 x
当 r＝1 时，为含 x2 的项，其系数是 3 1 1 5 C6( ) (－2)＝－ . 2 8
答案：C
2 2 3 n 2 n 1 6．(2011· 杭州模拟)若 C1 Cn ＋3n 1＝85，则 n＋3Cn＋3 Cn＋„＋3
查漏补缺]
(2011· 全国卷)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中 选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A．12种 C．30种 B．24种 D．36种 ( )
[解析]
依题意，满足题意的选法共有C2 C1 C1 4· 2· 2
＝24种．
[答案] B
1．(2011· 广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在 任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正 五棱柱对角线的条数共有 A．20 C．12 B．15 D．10 ( )
r 5－2r
1 1 5 ，要得到展开式的常数项，则x＋ x 的x与(2x－ x ) 展开式的
1 1 1 1 5 相乘， x ＋ 的 与 (2 x － x x x x ) 展开式的x相乘，故令5－2r＝－1得r＝ 3，令5－2r＝1得r＝2，从而可得常数项为
2 3 2 3 2 C3 5×2 ×(－1) ＋C5×2 ×(－1) ＝40.
[解析]
21－r (x－1)21的展开式的通项为Tr＋1＝C r x · (－1)r.由题意知 21
a10，a11分别是含x10和x11项的系数，
10 所以a10＝－C11 21，a11＝C21， 11 所以a10＋a11＝C10 － C 21 21＝0.
[答案] 0
x 2 5．(2011· 天津高考)在( 2 － )6的二项展开式中，x2的系数为( x 15 A．－ 4 3 C．－8 15 B. 4 3 D.8
两个偶数全排列，有A2 2种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有
3 2 2 A3 种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A2 · A3 种方法，故满足题 1 2 2 2 意的偶数个数有C3 · A2 (A3 ＋ A · A 3 2 3)＝108个．
[答案]
(1)B
C
3．(2011· 龙岩模拟)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老 人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不 同的排法共有 ( )
意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
[联知识 1．排列数公式： Am n ＝n(n－1)„(n－m＋1)＝ 2．组合数公式：
串点成面]
n！ . n－m！
m nn－1„n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ . m！ m！n－m！ m
3．组合数的性质：
n－ m m－1 ① Cm ；②Cm ＝ Cm n ＝ Cn n ＋ Cn n＋1.
(
)
A．6 C．16
B．12 D．15
n 解析：∵C m 6 ，C 6 共有4个不同的值，根据分步计数原理共有4×4
＝16种可能．
答案： C
[悟方法
触类旁通]
1．在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．每一 步当中又可能用到分类计数原理． 2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示
知考情 专题 六 排列 组合 二项 式定 理概 率与 统计 第1讲 排列 研考题
组合
二项 式定 理 战考场
析考向
高频考点
考情解读
考查方式 选择题、填空题
两个计数原 多与排列组合、概率求法相 理的应用 排列、组合 结合考查，单独考查较少 常考查排列组合应用题，多 与概率统计结合
选择题、填空题
二项式定理
解析：如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点
A出发的对角线有两条：AC1、AD1， 同理从B、C、D、E点出发的对角线 也有两条，共2×5＝10条．
答案：D
2．(2011· 重庆模拟)设m、n都是不大于6的自然数，则方
2 n 2 程 Cm 6 x －C6 y ＝1表示双曲线的个数是
解析：由题意得与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的 信息个数为：24－C3 4－1＝11.
[答案]
11
[悟方法
触类旁通]
解决排列组合应用题通常分以下三步： (1)分清问题的性质是分类还是分步，大多有条件的问题既 要分类又要分步，然后寻找特殊元素或特殊位置进行分 类．注意分类时不要重复、遗漏．
－
(2)二项式系数最值问题
n n 2 当 n 为偶数时，中间一项即第 ＋1 项的二项式系数 Cn 最大；当 2
n 1 n1 n＋ 1 n＋ 3 Cn 2 n 为奇数时， 中间两项即第 ， 项的二项式系数 C n 2 ， 2 2
相等且最大．
[做考题
查漏补缺]
(2011· 安徽高考)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a21x21，则a10＋a11＝__________.
(2)进行分类计算，通常是先选后排，写出每一类或每一步
的方法种数，并计算． (3)将各类方法种数相加或各步方法种数相乘，即得结论.
[联知识 1．二项式定理：
串点成面]
0 n 0 n－1 n－r r n (a＋b)n＝Cn a b ＋C1 b＋„＋Cr b ＋„＋Cn na na nb .
2．通项与二项式系数：
－ －
∴(1＋3)n＝256.∴n＝4.
答案：4
a 15 7．(2011· 新课标全国卷)(x＋x)(2x－x) 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 A．－40 C．20 B．－20 D．40 ( )
a 15 解析：对于(x＋x)(2x－x) ，可令x＝1得1＋a＝2， 1 1r 5－ r r 5－r 故a＝1.(2x－ x )5的展开式的通项Tr＋1＝C r (2 x ) · ( － ) ＝ C × (－ 5 52 x 1) ×x
C．108
B．96
D．144
[解析]
(1)依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一
Hale Waihona Puke Baidu
类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种； 第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有
2 C4 ＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)．
1 (2)从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C3 种方法，将其余
答案：D
[悟方法
触类旁通]
在应用通项公式时，要注意以下几点 (1)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随 之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项而不是第r项．
(3)二项式系数与项的系数不同，项的系数除包含二项式系数 外，还与a、b中的系数有关．
二项式定理是高考每年命题的热点，常涉及展开式 中项的系数，常数项的求法，也可与其他知识交汇命题， 如定积分计算，数列知识，方程根的个数等．
n 的值为________．
2 2 3 n 2 n 1 解析：∵C1 Cn ＋3n 1＝85， n＋3Cn＋3 Cn＋„＋3
－ － －
1 2 n 1 n 1 ∴3Cn ＋32Cn ＋33C3 Cn ＋3n＝255. n＋„＋3
－ －
1 2 2 3 3 n 1 n 1 n ∴30C0 ＋ 3C ＋ 3 C ＋ 3 C ＋ „ ＋ 3 C ＋ 3 ＝256. n n n n n
A．1 440 种
C．720 种
B．960 种
D．480 种
解析：采用插空法，志愿者先排，有A 5 5 种，有4个空，将2位老人
2 5 插入，共有A2 A5×4＝960 种．
答案： B
4．(2011· 西安模拟)在某种信息传输过程中，用4个数字的一 个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同 信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对 应位置上的数字相同的信息个数为________．
n r 2 r 又 Tr＋1＝Cr (－1)r，当 n＝2 时，Tr＋1＝Cr (－1)r， n(x＋2) 2(x＋2)
－ －
含 x＋2 项的系数为－C1 2＝－2.
10 n＝11 时，含 x＋2 项的系数为 C10 ( － 1) ＝11， 11
∴a1＝11＋(－2)＝9.
[答案] A
[点评] 本题将方程根的个数求法与二项式相结合．通过构
4 1 4 3 C5 · 1 ＋ C4 12＋C7 · 1 ＝5＋15＋35＝55， 6·
∴由3n－5＝55得n＝20.
答案：D
点击下图进入战考场
求某项系数、常数项及系数
和是命题热点
选择题、填空题
[联知识
串点成面]
分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原 理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用
其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针
对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只 有各个步骤都完成才算做完这件事．
[做考题
n－r r Tr＋1＝Cr a b ，其中 Cr n n(r＝0,1,2，„，n)叫做二项式系数．
3．各二项式系数之和：
1 2 n n (1)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝2 . 3 0 2 n－1 (2)C1 ＋ C ＋„＝ C ＋ C ＋„＝ 2 . n n n n
4．二项式系数的性质：
n r (1)二项式系数首末两端“等距离”相等，即 Cr n＝Cn .
4．排列与组合综合应用问题的常见解法： (1)特殊元素(特殊位置)优先安排法； (2)合理分类与准确分步法；
(3)排列与组合混合问题先选后排法；
(4)相邻问题捆绑法；(5)不相邻问题插空法； (6)定序问题缩倍法；(7)多排问题一排法； (8)“小集团”问题先整体后局部法；(9)构造模型法； (10)正难则反，等价转化法．
造、创设展开式转化为求某项的系数．命题构思新颖，创
新性强．
已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5 ＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列
的
A．第9项 C．第19项 B．第10项 D．第20项
(
)
解析：∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是
(2011· 山东五县联考)已知0<a<1，则方程a|x|＝|logax|的实
根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2
＋„＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1＝ A．9 C．11 B．－10 D．－12 ( )
[解析] 如图， 作出 y＝a|x|， y＝|logax|(0<a<1) 的图像，知有两个交点，故 n＝2. ∴(x＋1)2＋(x＋1)11 ＝[(x＋2)－1]2＋[(x＋2)－1]11 故 a1 为含(x＋2)1 项的系数．
[做考题
查漏补缺]
(1)(2011· 全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集 邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则
不同的赠送方法共有
A．4种 C．18种 B．10种 D．20种
(
)
(2)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不 与5相邻的六位偶数的个数是 ( )
A．72
)
x 2 6 解析：在( － ) 的展开式中，第 r＋1 项为 2 x Tr＋1＝Cr 6( x 6－r 2 1 6－r 3－r ) (－ )r＝Cr ( x (－2)r， 6 ) 2 2 x
当 r＝1 时，为含 x2 的项，其系数是 3 1 1 5 C6( ) (－2)＝－ . 2 8
答案：C
2 2 3 n 2 n 1 6．(2011· 杭州模拟)若 C1 Cn ＋3n 1＝85，则 n＋3Cn＋3 Cn＋„＋3
查漏补缺]
(2011· 全国卷)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中 选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A．12种 C．30种 B．24种 D．36种 ( )
[解析]
依题意，满足题意的选法共有C2 C1 C1 4· 2· 2
＝24种．
[答案] B
1．(2011· 广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在 任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正 五棱柱对角线的条数共有 A．20 C．12 B．15 D．10 ( )
r 5－2r
1 1 5 ，要得到展开式的常数项，则x＋ x 的x与(2x－ x ) 展开式的
1 1 1 1 5 相乘， x ＋ 的 与 (2 x － x x x x ) 展开式的x相乘，故令5－2r＝－1得r＝ 3，令5－2r＝1得r＝2，从而可得常数项为
2 3 2 3 2 C3 5×2 ×(－1) ＋C5×2 ×(－1) ＝40.
[解析]
21－r (x－1)21的展开式的通项为Tr＋1＝C r x · (－1)r.由题意知 21
a10，a11分别是含x10和x11项的系数，
10 所以a10＝－C11 21，a11＝C21， 11 所以a10＋a11＝C10 － C 21 21＝0.
[答案] 0
x 2 5．(2011· 天津高考)在( 2 － )6的二项展开式中，x2的系数为( x 15 A．－ 4 3 C．－8 15 B. 4 3 D.8
两个偶数全排列，有A2 2种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有
3 2 2 A3 种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A2 · A3 种方法，故满足题 1 2 2 2 意的偶数个数有C3 · A2 (A3 ＋ A · A 3 2 3)＝108个．
[答案]
(1)B
C
3．(2011· 龙岩模拟)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老 人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不 同的排法共有 ( )
意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
[联知识 1．排列数公式： Am n ＝n(n－1)„(n－m＋1)＝ 2．组合数公式：
串点成面]
n！ . n－m！
m nn－1„n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ . m！ m！n－m！ m
3．组合数的性质：
n－ m m－1 ① Cm ；②Cm ＝ Cm n ＝ Cn n ＋ Cn n＋1.
(
)
A．6 C．16
B．12 D．15
n 解析：∵C m 6 ，C 6 共有4个不同的值，根据分步计数原理共有4×4
＝16种可能．
答案： C
[悟方法
触类旁通]
1．在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．每一 步当中又可能用到分类计数原理． 2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示
知考情 专题 六 排列 组合 二项 式定 理概 率与 统计 第1讲 排列 研考题
组合
二项 式定 理 战考场
析考向
高频考点
考情解读
考查方式 选择题、填空题
两个计数原 多与排列组合、概率求法相 理的应用 排列、组合 结合考查，单独考查较少 常考查排列组合应用题，多 与概率统计结合
选择题、填空题
二项式定理
解析：如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点
A出发的对角线有两条：AC1、AD1， 同理从B、C、D、E点出发的对角线 也有两条，共2×5＝10条．
答案：D
2．(2011· 重庆模拟)设m、n都是不大于6的自然数，则方
2 n 2 程 Cm 6 x －C6 y ＝1表示双曲线的个数是
解析：由题意得与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的 信息个数为：24－C3 4－1＝11.
[答案]
11
[悟方法
触类旁通]
解决排列组合应用题通常分以下三步： (1)分清问题的性质是分类还是分步，大多有条件的问题既 要分类又要分步，然后寻找特殊元素或特殊位置进行分 类．注意分类时不要重复、遗漏．
－
(2)二项式系数最值问题
n n 2 当 n 为偶数时，中间一项即第 ＋1 项的二项式系数 Cn 最大；当 2
n 1 n1 n＋ 1 n＋ 3 Cn 2 n 为奇数时， 中间两项即第 ， 项的二项式系数 C n 2 ， 2 2
相等且最大．
[做考题
查漏补缺]
(2011· 安徽高考)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a21x21，则a10＋a11＝__________.
(2)进行分类计算，通常是先选后排，写出每一类或每一步
的方法种数，并计算． (3)将各类方法种数相加或各步方法种数相乘，即得结论.
[联知识 1．二项式定理：
串点成面]
0 n 0 n－1 n－r r n (a＋b)n＝Cn a b ＋C1 b＋„＋Cr b ＋„＋Cn na na nb .
2．通项与二项式系数：
－ －
∴(1＋3)n＝256.∴n＝4.
答案：4
a 15 7．(2011· 新课标全国卷)(x＋x)(2x－x) 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 A．－40 C．20 B．－20 D．40 ( )
a 15 解析：对于(x＋x)(2x－x) ，可令x＝1得1＋a＝2， 1 1r 5－ r r 5－r 故a＝1.(2x－ x )5的展开式的通项Tr＋1＝C r (2 x ) · ( － ) ＝ C × (－ 5 52 x 1) ×x
C．108
B．96
D．144
[解析]
(1)依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一
Hale Waihona Puke Baidu
类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种； 第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有
2 C4 ＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)．
1 (2)从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C3 种方法，将其余
答案：D
[悟方法
触类旁通]
在应用通项公式时，要注意以下几点 (1)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随 之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项而不是第r项．
(3)二项式系数与项的系数不同，项的系数除包含二项式系数 外，还与a、b中的系数有关．
二项式定理是高考每年命题的热点，常涉及展开式 中项的系数，常数项的求法，也可与其他知识交汇命题， 如定积分计算，数列知识，方程根的个数等．