1.元素法、面积
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（1）转化成曲边扇形问题
（2）利用曲边扇形面积公式：A 1[()]2 d. 2 作业：P284:T2(2),T3,T4,T8(1), T9
8
围成一曲边扇形，求其面积．
d
其中() 连续 面积元素 dA 1[()]2 d
2
()
d
面积 A 1[()]2 d. 2
o
x
例3 求阿基米德螺线 a (a > 0)上相应于 从0到 2 的一段与极轴围成图形的面积
解
30
y2 2x y x4
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA ( y 4 y2 )dy
2
A
4
(y
4
y2 )dy
2
2
y2 2
4y
y3 4
6
2
=18
选 x 为积分变量
dA1 2 2xdx
dA2 ( 2x x 4)dx
2
8
A 0 2 2xdx 2( 2x x 4)dx
a
2
2
sin
0
1 2
a
2
(1 cos 2)d
0
a2
1 a2 2
1 2
a
2
sin
2
0
3 a2 . 2
求下列图形面积：
1.螺线 a 的第一与第二圈之间及极轴所围图形
2. 由 3cos 及 1cos 所确定图形.
30
A 1 4(a)2 d 1 2 (a)2 d 20
y2 2x
y x4
dx dx
例2 求椭圆 x2 y2 1 的面积. a2 b2
解
椭圆方程
x
y
a cos t bsin t
a
A 40 ydx
令x a cost
0
xat 0
4 bsin td(a cos t) 2
x0t 2
4ab
A 2 1(a)2 d. 02
20
10
a2 3 2
0
60
-10
a
o
-20
-30
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
例4 求心形线 a(1 cos) 所围图形的面积( a > 0)
解 A 2 1 a2(1 cos )2 d 02 a2 (1 2cos cos2 )d 0
y f (x)
xi1
xi
i
xn1 b
x
定积分的概念
设想[a,b]分的无限细，
(1)将[a,b]分成n个小区间 (2)任取ξi ∈[xi-1, xi],
计算f(ξi)Δxi
(1)(2)两步合为： 计算 f ( x)dx
(3)(4)两步合为：b f ( x)dx a
n
(3)作和 S f (i )xi
2 sin2
0
tdt
4ab 1 2
2
ab.
求出下列图形的面积： 1.由曲线 y e x , y ex 及直线x=1所围成的图形 2.由 y =ex与该曲线过原点的切线及y轴围成的图形。
2.设切点为( x0 , y0 ), y e x , 切线斜率为：k e x0 , 切线方程为：y e x0 x,
y0 e x0 , y0 e x0 x0 , x0 1, y0 e,
面积为： 1(e x ex)dx (e 1) e e 1
0
22
2. 极坐标系情形
记 | OP |
y
记OP与极轴的夹角为
称数组(,) 为点P的极坐标。
直角坐标与极坐标的关系： o
(3) 在区间[a,b]上作定积分，得
即得所求的量
U
b
a
f
( x)dx
第二节 定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y
y f2(x)
oa
y f1( x)
dx b x
dA [ f2( x) f1( x)]dx
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
y
d
x g1( y)
dy
x g2( y)
c
o
x
dA [g2( y) g1( y)]dy
d
A c [g2( y) g1( y)]dy
例1 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4
所围成的图形的面积.
解
y2 2x
(2,2), (8,4). dy
y x4
2 2
20
10
A
3 (1 cos )2 d
0
9
2cos2d. 0
o
3
-10
9
4 9
5 -20
( 3) ( 3)
28
38
4
-30
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
小结 面积的求法：先画出图形 一、直角坐标： （1）选择合适的积分变量，写出面积元素 （2）积分计算。 二、极坐标：
x y
cos sin
x2 y2 2
P (,)
(x, y)
x
在极坐标下画出下列方程的图形：
a,
, 4
acos,
o
xo
x
oa
x
2
a
a sin,
2
o
x
设由曲线 () () 0 及射线 与
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
定积分的概念
(1)将[a,b]分成n个小区间
(2)任取ξi ∈[xi-1, xi],
计算f(ξi)Δxi
n
(3)作和 S f (i )xi
i 1
(4)取极限
n
lim
0 i1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
y o a x1
i 1
(4)取极限
y
y f (x)
n
lim
0 i1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
oa
x x dx
bx
元素法的一般步骤
（1）选取一个变量 x为积分变量， 并确定它的变化区间[a,b]；
（2）设想把区间[a,b]分的无限细，在任一小区间
[x,x+dx]上，求出部分量: dU=f(x)dx；
（2）利用曲边扇形面积公式：A 1[()]2 d. 2 作业：P284:T2(2),T3,T4,T8(1), T9
8
围成一曲边扇形，求其面积．
d
其中() 连续 面积元素 dA 1[()]2 d
2
()
d
面积 A 1[()]2 d. 2
o
x
例3 求阿基米德螺线 a (a > 0)上相应于 从0到 2 的一段与极轴围成图形的面积
解
30
y2 2x y x4
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA ( y 4 y2 )dy
2
A
4
(y
4
y2 )dy
2
2
y2 2
4y
y3 4
6
2
=18
选 x 为积分变量
dA1 2 2xdx
dA2 ( 2x x 4)dx
2
8
A 0 2 2xdx 2( 2x x 4)dx
a
2
2
sin
0
1 2
a
2
(1 cos 2)d
0
a2
1 a2 2
1 2
a
2
sin
2
0
3 a2 . 2
求下列图形面积：
1.螺线 a 的第一与第二圈之间及极轴所围图形
2. 由 3cos 及 1cos 所确定图形.
30
A 1 4(a)2 d 1 2 (a)2 d 20
y2 2x
y x4
dx dx
例2 求椭圆 x2 y2 1 的面积. a2 b2
解
椭圆方程
x
y
a cos t bsin t
a
A 40 ydx
令x a cost
0
xat 0
4 bsin td(a cos t) 2
x0t 2
4ab
A 2 1(a)2 d. 02
20
10
a2 3 2
0
60
-10
a
o
-20
-30
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
例4 求心形线 a(1 cos) 所围图形的面积( a > 0)
解 A 2 1 a2(1 cos )2 d 02 a2 (1 2cos cos2 )d 0
y f (x)
xi1
xi
i
xn1 b
x
定积分的概念
设想[a,b]分的无限细，
(1)将[a,b]分成n个小区间 (2)任取ξi ∈[xi-1, xi],
计算f(ξi)Δxi
(1)(2)两步合为： 计算 f ( x)dx
(3)(4)两步合为：b f ( x)dx a
n
(3)作和 S f (i )xi
2 sin2
0
tdt
4ab 1 2
2
ab.
求出下列图形的面积： 1.由曲线 y e x , y ex 及直线x=1所围成的图形 2.由 y =ex与该曲线过原点的切线及y轴围成的图形。
2.设切点为( x0 , y0 ), y e x , 切线斜率为：k e x0 , 切线方程为：y e x0 x,
y0 e x0 , y0 e x0 x0 , x0 1, y0 e,
面积为： 1(e x ex)dx (e 1) e e 1
0
22
2. 极坐标系情形
记 | OP |
y
记OP与极轴的夹角为
称数组(,) 为点P的极坐标。
直角坐标与极坐标的关系： o
(3) 在区间[a,b]上作定积分，得
即得所求的量
U
b
a
f
( x)dx
第二节 定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y
y f2(x)
oa
y f1( x)
dx b x
dA [ f2( x) f1( x)]dx
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
y
d
x g1( y)
dy
x g2( y)
c
o
x
dA [g2( y) g1( y)]dy
d
A c [g2( y) g1( y)]dy
例1 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4
所围成的图形的面积.
解
y2 2x
(2,2), (8,4). dy
y x4
2 2
20
10
A
3 (1 cos )2 d
0
9
2cos2d. 0
o
3
-10
9
4 9
5 -20
( 3) ( 3)
28
38
4
-30
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
小结 面积的求法：先画出图形 一、直角坐标： （1）选择合适的积分变量，写出面积元素 （2）积分计算。 二、极坐标：
x y
cos sin
x2 y2 2
P (,)
(x, y)
x
在极坐标下画出下列方程的图形：
a,
, 4
acos,
o
xo
x
oa
x
2
a
a sin,
2
o
x
设由曲线 () () 0 及射线 与
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
定积分的概念
(1)将[a,b]分成n个小区间
(2)任取ξi ∈[xi-1, xi],
计算f(ξi)Δxi
n
(3)作和 S f (i )xi
i 1
(4)取极限
n
lim
0 i1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
y o a x1
i 1
(4)取极限
y
y f (x)
n
lim
0 i1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
oa
x x dx
bx
元素法的一般步骤
（1）选取一个变量 x为积分变量， 并确定它的变化区间[a,b]；
（2）设想把区间[a,b]分的无限细，在任一小区间
[x,x+dx]上，求出部分量: dU=f(x)dx；