容斥原理的应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２，… ，ｋ．
解令ｓ ＝｛∞·口，∞·６，∞·ｃ｝，￣ｌＪ Ｓ＇的组合数为（ｎ＋，ｒ－１）＝（４＋４３－１）＝ｌ５，设集合Ａ是 的
组合全体 ，则 ＩＡｌ＝１５，现在要求在 ４一组合中 ａ的个数 ≤２，ｂ的个数 ≤２，ｃ的个数 ≤４～的组合数 ，定义 性质集合 Ｐ＝｛Ｐ。，Ｐ ，Ｐ，｝，其中 Ｐ ，Ｐ ，Ｐ，分别表示 ４一组合数 中 ａ的个数 ＞ １３，ｂ的个数＞１３，ｃ的个数 ＞１５的集合．将满足性质 Ｐ 的 ４一组合全体记为Ａｉ（ｉ＝１，２，３）．那么，Ａ，中的元素可以看作是 由Ｓ 的４ — ３＝１组合 再拼上 ３个 口构 成 的 ，所 以有 ：
（证 明见文献［１］）
ｌ 容斥原理在错排 问题 中的应用
利 用 答 斥 原 理 司以 轻 而易 举 得 地 得 出在 依 次 给 以标 号 １，２，… ，ｎ的 ｎ个 兀 素 的全 排 列 中 ，每 个 兀 素
都不在 自己原来 位置上 的排 列数 ，其递 推公式 为 ：
Ｄｎ＝ｎｌ（１一 １＋ １一
耋 ＋鬲［ 卜…＋（＿１） 【 ］· ．
类似地 ，对于任意的正整数 ，还可以应用容斥原理求出集合 ［１，乃］中不能够被 ａｉ整除的正整数的 个数，其中 ａ 为一组两两互素的正整数．
例 ３ 求不超 过 １ ０００的 自然数 中不能 被 ３整 除也不能被 ５整 除 的个数 ．
＝ （４＿４３＿ ３一 ）＝３，一 ＝４－４３一＋３３－１）＝３，·Ａ。，＝４＿４ ３一 ）＝。，
故 Ｉ ｌ ｎＡ２ Ｉ－ ４－３－ ３＋３一 ）＝ｏ，同理ｌ ｌ ｎ ３ Ｉ＝ｏ，Ｊ ２ ｎＡ３ Ｉ＿０，ＪＡ１ ｎＡ２／ｑＡ３ Ｉ＝０．而口的个数
４ ３ 一
３ 一
≤２，ｂ的个数≤２，ｃ的个数 ≤４组合全体为 ｎ ｎＡ一３，由容斥原理 ，它的元素个数为
·＋（ 一
１）
）．
（证明见文献 ［２］）
例 １ 数 １、２，３、…、９的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置上的错排列数 目．
解析 ￣－ ＿ｋｇ Ｉ、３、５、７、９五个数 的错排问题 ，由递推公式得其总数为 ：Ｄｓ＝５ １ ×（１一 １＋ １
一
＋ 者一 ）＝４４．
收稿 日期 ：２００９－１１－２８ 作者简介 ：邬毅 （１９８２一 ），男 ，重庆人 ，重 庆科技学 院数理系讲师 ，硕士．研究方 向 ：组合数学
西安 文理 学院学报 ：自然科 学版
第 １３卷
此外 ，答斥原理在有限制条件的排列ｌ司越 和有禁 区的羽｝夕ＵＩ司越中都有厂泛的应 用 ，举 例详见有关文就
２ 容斥原理在多重集 的 ｒ组合数 中的应用
例 ２ 确定多重集 Ｓ＝｛２·ｎ，２·ｂ，４·ｃ｝的４一组合数． 分析 设有多重集 Ｓ＝｛ ·ａ。，ｎ ·口 ，…， ·ａ ｝，要求它的 ｒ一组合数 ，如果某个 ｎ ＞ｒ，可用 ｒ来 代替 得到多重集 Ｓ ．不难看出 Ｓ 的 卜．组合数就是 Ｓ的 ｒ一组合数 ，所以不妨假设所有 的 ≤ｒ，ｉ＝１，
ｉ＝１ ‘
１＜ｉ＜ｊ＜ －ｍ ’
１ｓ．ｉ． ＜，＜七 ｍ 。 』
‘
‘ ‘
”。
－
（证 明见 文献 ［１］）
定理 ２… （容斥原理的一般形式）设集合 Ｉｓ中具有性质集合 Ｐ＝｛Ｐ ，Ｐ２，…，Ｐ ｝中恰好 ｒ个性质
的元素个数为 Ⅳ（ｒ），则
Ⅳ（ｒ）
＋１）＋（ （ｒ＋２）－．．．＋（－１广 （
３ 容斥原理在数论 中的应用
问题 给定正整数 ｎ∈Ｎ，确定 欧拉 函数 （ｎ），即求 出小于 ｎ且与 ｎ互素 的正整数个数．若 几＝
ｐｉｌ －
ｉ２ ｚ
…ｐ 是将ｎ分解为． ｉ｝个不同素因子的分解式，则ＩＡ Ｉ＝ｎ，ＩＡｉ Ｉ＝［ 】，ＩＡ ｎ Ｉ＝【
］，…，ｌＡ ｎ
… ｎＡ Ｉ＝【 】，再由容斥原理， （ｎ）＝ＩＡＩ一轰ＩＡ ｌ＋鬲’Ａｉ ｎ Ｉ…。＋（一１） ＩＡｔ ｎ…ＮＡ Ｉ： 一
（Ｉ）Ｊｓ中不 具有 性质 Ｐ，，Ｐ２，… ，Ｐ 的元 素数是
ＩＡ１ ｎ
Ａ２…
Ｎ
Ａ Ｉ＝
ＩＳ
Ｉ—
Ｅ ＩＡ‘Ｉ＋
ｆ： ｌ
１
ｆ葛 ＩＡｉ ｎａｉ ｌ一１ ｌ录ｋ＂ＺｍＩＡｉ ｎＡｊ ｎＡ Ｉ＋…＋（一１） ＩＡｌ ＮＡ２ ｎ…ＮＡｍ Ｉ
（Ⅱ）在 Ｉｓ中至少具有一条性质 的元素数是
ＩＡ１ ｕＡ２ ‘ ｕ … ｕＡ ”’ Ｉ＝ ∑ ＩＡｉ Ｉ一 ∑ ＩＡｉ ＮＡｙ Ｉ＋ ；．．１Ａｌ ｎＡ，ＮＡ ｌ一… ＋（一１） ＩＡ１ ＮＡ２ ｎ… ＮＡ ｌ
中图分类号 ：Ｏ１５７．１
文献标识码 ：Ａ
首先给出容斥原理的两种等价形式 ，即下面的定理 １和定理 ２． 定理 １［】 （容斥原理的简单形式）：设 Ｊｓ是有限集合 ，Ｐ ，Ｐ２，…，Ｐ 是同集合 ｓ有关的 ｍ个性质．
设 Ａｉ表示 Ｊｓ中具有性质 Ｐ 的元素构成 的集合（１≤ｉ≤ｍ），Ａ 是 ．ｓ中不具有性质 Ｐ 的元素构成 的集合 （Ｉ≤ ≤ｍ），则有 ：
容斥 原 理 的应 用
邬 毅 ，于静静
（重庆科技 学院 数理 系，重庆 ４０１３３１）
摘 要 ：容斥原理是组合数学 的一个基本的计数 原理．容斥原理在排列组合 、数论 、图论以及 代数 中有关解决有限集 合计数 问题方 面的应用 ．
关键词 ：容斥原理 ；有限集合计数 ；组合数
ｌ ｎ ｎＡ一３ １＝ＩＡ Ｉ一（ＩＡｌ ｌ＋ＩＡ２ Ｉ＋ＩＡ３ Ｉ）＋（ＩＡｌ ｆ＇ＩＡ２ ｌ＋ＩＡ１ ＶＩＡ３ Ｉ＋ＩＡ２ ＣｌＡ３ Ｉ）一ＩＡ１ ＮＡ２ ＣｌＡ３ Ｉ＝９
它们分 别是 （Ｏ，０，５），（Ｏ，１，４），（０，２，３），（１，０，４），（１，１，３），（１，２，２），（２，Ｏ，３），（２，１，２），（２，２，１）．
第 １３卷第２期 ２０１０年 ４月
西安文理学院学报 ：自然科学版 Ｊｏｕｒ ｎａｌ ｏｆ Ｘｉ’ａｌｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ＆ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔ Ｓｃｉ Ｅａ）
文章编号 ：１００８－５５６４（２０１０）０２－００２５－０３
Ｖ０Ｉ．１３ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２０１０
解令ｓ ＝｛∞·口，∞·６，∞·ｃ｝，￣ｌＪ Ｓ＇的组合数为（ｎ＋，ｒ－１）＝（４＋４３－１）＝ｌ５，设集合Ａ是 的
组合全体 ，则 ＩＡｌ＝１５，现在要求在 ４一组合中 ａ的个数 ≤２，ｂ的个数 ≤２，ｃ的个数 ≤４～的组合数 ，定义 性质集合 Ｐ＝｛Ｐ。，Ｐ ，Ｐ，｝，其中 Ｐ ，Ｐ ，Ｐ，分别表示 ４一组合数 中 ａ的个数 ＞ １３，ｂ的个数＞１３，ｃ的个数 ＞１５的集合．将满足性质 Ｐ 的 ４一组合全体记为Ａｉ（ｉ＝１，２，３）．那么，Ａ，中的元素可以看作是 由Ｓ 的４ — ３＝１组合 再拼上 ３个 口构 成 的 ，所 以有 ：
（证 明见文献［１］）
ｌ 容斥原理在错排 问题 中的应用
利 用 答 斥 原 理 司以 轻 而易 举 得 地 得 出在 依 次 给 以标 号 １，２，… ，ｎ的 ｎ个 兀 素 的全 排 列 中 ，每 个 兀 素
都不在 自己原来 位置上 的排 列数 ，其递 推公式 为 ：
Ｄｎ＝ｎｌ（１一 １＋ １一
耋 ＋鬲［ 卜…＋（＿１） 【 ］· ．
类似地 ，对于任意的正整数 ，还可以应用容斥原理求出集合 ［１，乃］中不能够被 ａｉ整除的正整数的 个数，其中 ａ 为一组两两互素的正整数．
例 ３ 求不超 过 １ ０００的 自然数 中不能 被 ３整 除也不能被 ５整 除 的个数 ．
＝ （４＿４３＿ ３一 ）＝３，一 ＝４－４３一＋３３－１）＝３，·Ａ。，＝４＿４ ３一 ）＝。，
故 Ｉ ｌ ｎＡ２ Ｉ－ ４－３－ ３＋３一 ）＝ｏ，同理ｌ ｌ ｎ ３ Ｉ＝ｏ，Ｊ ２ ｎＡ３ Ｉ＿０，ＪＡ１ ｎＡ２／ｑＡ３ Ｉ＝０．而口的个数
４ ３ 一
３ 一
≤２，ｂ的个数≤２，ｃ的个数 ≤４组合全体为 ｎ ｎＡ一３，由容斥原理 ，它的元素个数为
·＋（ 一
１）
）．
（证明见文献 ［２］）
例 １ 数 １、２，３、…、９的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置上的错排列数 目．
解析 ￣－ ＿ｋｇ Ｉ、３、５、７、９五个数 的错排问题 ，由递推公式得其总数为 ：Ｄｓ＝５ １ ×（１一 １＋ １
一
＋ 者一 ）＝４４．
收稿 日期 ：２００９－１１－２８ 作者简介 ：邬毅 （１９８２一 ），男 ，重庆人 ，重 庆科技学 院数理系讲师 ，硕士．研究方 向 ：组合数学
西安 文理 学院学报 ：自然科 学版
第 １３卷
此外 ，答斥原理在有限制条件的排列ｌ司越 和有禁 区的羽｝夕ＵＩ司越中都有厂泛的应 用 ，举 例详见有关文就
２ 容斥原理在多重集 的 ｒ组合数 中的应用
例 ２ 确定多重集 Ｓ＝｛２·ｎ，２·ｂ，４·ｃ｝的４一组合数． 分析 设有多重集 Ｓ＝｛ ·ａ。，ｎ ·口 ，…， ·ａ ｝，要求它的 ｒ一组合数 ，如果某个 ｎ ＞ｒ，可用 ｒ来 代替 得到多重集 Ｓ ．不难看出 Ｓ 的 卜．组合数就是 Ｓ的 ｒ一组合数 ，所以不妨假设所有 的 ≤ｒ，ｉ＝１，
ｉ＝１ ‘
１＜ｉ＜ｊ＜ －ｍ ’
１ｓ．ｉ． ＜，＜七 ｍ 。 』
‘
‘ ‘
”。
－
（证 明见 文献 ［１］）
定理 ２… （容斥原理的一般形式）设集合 Ｉｓ中具有性质集合 Ｐ＝｛Ｐ ，Ｐ２，…，Ｐ ｝中恰好 ｒ个性质
的元素个数为 Ⅳ（ｒ），则
Ⅳ（ｒ）
＋１）＋（ （ｒ＋２）－．．．＋（－１广 （
３ 容斥原理在数论 中的应用
问题 给定正整数 ｎ∈Ｎ，确定 欧拉 函数 （ｎ），即求 出小于 ｎ且与 ｎ互素 的正整数个数．若 几＝
ｐｉｌ －
ｉ２ ｚ
…ｐ 是将ｎ分解为． ｉ｝个不同素因子的分解式，则ＩＡ Ｉ＝ｎ，ＩＡｉ Ｉ＝［ 】，ＩＡ ｎ Ｉ＝【
］，…，ｌＡ ｎ
… ｎＡ Ｉ＝【 】，再由容斥原理， （ｎ）＝ＩＡＩ一轰ＩＡ ｌ＋鬲’Ａｉ ｎ Ｉ…。＋（一１） ＩＡｔ ｎ…ＮＡ Ｉ： 一
（Ｉ）Ｊｓ中不 具有 性质 Ｐ，，Ｐ２，… ，Ｐ 的元 素数是
ＩＡ１ ｎ
Ａ２…
Ｎ
Ａ Ｉ＝
ＩＳ
Ｉ—
Ｅ ＩＡ‘Ｉ＋
ｆ： ｌ
１
ｆ葛 ＩＡｉ ｎａｉ ｌ一１ ｌ录ｋ＂ＺｍＩＡｉ ｎＡｊ ｎＡ Ｉ＋…＋（一１） ＩＡｌ ＮＡ２ ｎ…ＮＡｍ Ｉ
（Ⅱ）在 Ｉｓ中至少具有一条性质 的元素数是
ＩＡ１ ｕＡ２ ‘ ｕ … ｕＡ ”’ Ｉ＝ ∑ ＩＡｉ Ｉ一 ∑ ＩＡｉ ＮＡｙ Ｉ＋ ；．．１Ａｌ ｎＡ，ＮＡ ｌ一… ＋（一１） ＩＡ１ ＮＡ２ ｎ… ＮＡ ｌ
中图分类号 ：Ｏ１５７．１
文献标识码 ：Ａ
首先给出容斥原理的两种等价形式 ，即下面的定理 １和定理 ２． 定理 １［】 （容斥原理的简单形式）：设 Ｊｓ是有限集合 ，Ｐ ，Ｐ２，…，Ｐ 是同集合 ｓ有关的 ｍ个性质．
设 Ａｉ表示 Ｊｓ中具有性质 Ｐ 的元素构成 的集合（１≤ｉ≤ｍ），Ａ 是 ．ｓ中不具有性质 Ｐ 的元素构成 的集合 （Ｉ≤ ≤ｍ），则有 ：
容斥 原 理 的应 用
邬 毅 ，于静静
（重庆科技 学院 数理 系，重庆 ４０１３３１）
摘 要 ：容斥原理是组合数学 的一个基本的计数 原理．容斥原理在排列组合 、数论 、图论以及 代数 中有关解决有限集 合计数 问题方 面的应用 ．
关键词 ：容斥原理 ；有限集合计数 ；组合数
ｌ ｎ ｎＡ一３ １＝ＩＡ Ｉ一（ＩＡｌ ｌ＋ＩＡ２ Ｉ＋ＩＡ３ Ｉ）＋（ＩＡｌ ｆ＇ＩＡ２ ｌ＋ＩＡ１ ＶＩＡ３ Ｉ＋ＩＡ２ ＣｌＡ３ Ｉ）一ＩＡ１ ＮＡ２ ＣｌＡ３ Ｉ＝９
它们分 别是 （Ｏ，０，５），（Ｏ，１，４），（０，２，３），（１，０，４），（１，１，３），（１，２，２），（２，Ｏ，３），（２，１，２），（２，２，１）．
第 １３卷第２期 ２０１０年 ４月
西安文理学院学报 ：自然科学版 Ｊｏｕｒ ｎａｌ ｏｆ Ｘｉ’ａｌｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ＆ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔ Ｓｃｉ Ｅａ）
文章编号 ：１００８－５５６４（２０１０）０２－００２５－０３
Ｖ０Ｉ．１３ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２０１０