空间直线的方向向量及平面的法向量

的中点，求证: 平面DAE 平
解：如图，建立空间直角坐标系.
面A1
D1
F
z
则D(0,0,0), A(4,0,0),C(0,4,0),
D1
C1
B(4,4,0), D1(0,0,4), A1(4,0,4), A1
E
B1
C1(0,4,4), B1(4,4,4) E (4,4,2), F (0,2,0), 设 平 面ADE的 一 个 法 向 量 为
r uuur
点A到平面BCD的距离d | n rAB | 6
|n| 7
y
C
D1
uuur
uuuur
A1B (0, 4, 8) BC1 (4,0,8)
A1
E
B1
r
设平r 面uAu1uBr C1r的法uu向uur量为rn.
F
n A1B n BC1 设n (m, n, k)



4n 8k 0 令k 4m 8k 0

1

m n
2 2
O D
r
A uuur
B
n uuur
设EF ,
(2, 2,1) E r n的夹角为
(4,
2,8) Fx
cos
(0uu,u0r, 4r) uEuuFr nr

EF 8
(4,
2,
4)
| EF || n | 9
设直线EF和平面A1BC1所成角为 sin

直线EF和平面A1BC1所成角为

|
n rB1B | |n|
8 3
C1 B1
y
C B
1、已知三棱锥A BCD的三条侧棱AB、AC、zAD两两垂直，且AB 1, AC 2,
AD 3,求顶点A到平面BCD的距离.
D
解： 如图，建立空间直角坐标系.
A (0,0,0) B (1,0,0) C (0, 2,0) D (0,0,3)
分别为A1B1, DD1的中点，求：点B1到平面A1BzC1的距离.
解：如图，建立空间直角坐标系.
D1
A1 (4,0,8) B (4, 4,0) C1 (0, 4,8)
uuur
uuuur

A1B
(0,
4,
8)
BC1

(4, 0, 8) r
A1
设平r 面uAu1uBr C1r的法uu向uur量为rn.
设n (m, n, k)
2n 4k 0
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r 令k 1 m 4 n 2 n (4, 2,1)
m 4k 0
三个基础命题
基础命题1 两条直线平行或重合 它们的方向向量互相平行 基础命题2 一条直线与一个平面平行或在一个平面内 这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量 基础命题3 两个平面平行或重合 它们的法向量互相平行.
uuur
uuuur

A1B
(0,
4,
8)
BC1

(4, 0, 8) r
A1
设平r 面uAu1uBr C1r的法uu向uur量为rn.
n A1B n BC1 设n (m, n, k)
O



4n 8k 0 令k 4m 8k 0

1

m n
2 2
A
uuur
uuur
BD (1,0,3) BC (1, 2,0)
r
设平面BCD的法向量为n.
O
r uuur n BD
r uuur n BC
r 设n (m, n, k)
A
B



m m
3k 2n

0令m 0

6
xkn

2 3
r
uuur
n (6,3, 2) AB (1,0,0)
A1(2a,0,2c), B1(0,2a,2c)
M
N
M (a,0, c), N (0,2a, c), MN (a,2a,0)
O
y
C
N
B
A
易知平面ABC的一个法向量为n (0,0,1)
x
MN • n 0 MN // 平面ABC
例：在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB 4, E, F分别是BB1,CD
arcsin
8 9
|
cos
|
8 9
C1
y
C
6、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB 4, AD 4, AA1 8, E, F
分别为A1B1, DD1的中点，求：二面角A1 BC1z C的大小.
解：如图，建立空间直角坐标系.
D1
A1 (4,0,8) B (4, 4,0) C1 (0, 4,8)
空间直线的方向向量和平面的法向量
1、空间直线的方向向量 ur
与直线l平行的非z零向量d
D1 A1
例：直线A1C的方向向量
C1
B1
A1 (1,0,1)
C (0,1,0)
O D A
y
C ur B d (1,1, 1)
x
z
2、平面的法向量
r
所在直线和平面垂直的向量n
D1
C1
已知：正方体ABCD A1B1C1D1 A1
n A1B n BC1 设n (m, n, k)
O



4n 8k 0 令k 4m 8k 0

1

m n
2 2
A
D
r
n (2, 2,1)
x
uuur
B1 (4, 4,8) B1B (0,0,8) r uuur
点B1到平面A1BC的距离d
n2 (0,2,1),,
平 面ADE 平 面A1D1F
5、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB 4, AD 4, AA1 8, E, F
分解：别如为图A1，B1建, D立D1的空中间点直，角求坐：标直系线. EF和平面zA1BC1所成角的大小.
A1 (4,0,8) B (4, 4,0) C1 (0, 4,8)
D
r
ur
n r
设n,
nur1的(2夹, 2,角1)为平面BcCoCs1的法x| nrnr向||nu量nur1r1 为|n231

(0,1,
0)
二面角A1 BC C的大小为
arccos 2 3
C1 B1
y
C B
7、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB 4, AD 4, AA1 8, E, F
E
F B1
的边长为4, E是中点，F是四分 r
点，求平面BEF的法向量n.
B (4, 4,0) E (4, 2, 4) F (3, 4, 4)
uuur BE (0, 2, 4)
O
o'
D
y
C
uuur
BF (1,0, 4)
A
B
r uuur r uuur
n BE r
n BF x
例：在直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB 90, AC BC,
M, N分别是C1 A, BB1的中点，
解： 如图，建立空间直角坐标系.
求证: MN
z
//
平
面ABC
设AC 2a,CC1 2c,
C1
B1
L
M
则C(0,0,0), A(2a,0,0),
A1
B(0,2a,0), C1 (0,0,2c),
n1 ( x, y, z),,
F
E
O D
F
y
C
DA (4,0,0), DE (4,4,2)
A
B
n1 同
• DA 理可
x 4x 0
n1 • DE 0 4x 4 y 2z 得 平 面A1D1F的 一 个 法 向 量 为
令y 0 n1 • n2
1, n1 (0,1,2) 0 n1 n2