公共基础——数学第一章空间解析几何 学习笔记

知识点总结 1.1空间解析几何

1.1.1向量代数

点：A : (x 1,y 1,z 1)，B : (x 2,y 2,z 2)

向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x 2−x 1, y 2−y 1

,z 2−z 1) 向量的模|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(x 2−x 1)2+( y 2−y 1)2+(z 2−z 1)2 a =(a x ,a y ,a z ); b ⃗ =(b x ,b y ,b z

) a ⃗ ·b ⃗ = a x b x +a y b y + a z b z =|a ⃗ ||b

⃗ | cos θ a ⃗ x b ⃗ = |i j k

a x a y a z

b x b y b z

| = ()i +()j =()k

|a

⃗ x b ⃗ | = |a ⃗ ||b ⃗ | sin θ [a ⃗ b ⃗ c

⃗⃗⃗ ]= |a x a y a z

b x b y b z

c x c y c z

| a ⃗ 与 b ⃗ 平行 a ⃗ 与 b ⃗ 垂直

1.1.2 平面

1.1.3 直线

1.1.4 柱面、旋转曲面、二次曲面

1.平面曲线的定义：

圆：到定点的距离等于定长的点的集合

(x−a)2+(y−b)2=r2椭圆：平面内到两定点的距离之和等于常数的点的集合

(x−a)2+(y−b)2=r2

(x

r2+

(y−b)2

r2

=1

(x−h)2

a2+

(y−k)2

b2

=1

如图，焦点到椭圆中心的距离c2=a2−b2椭圆的标准方程

x2 a2+

y2

b2

=1

双曲线：平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的集合

平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e=c/a（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线

x2 a2−

y2

b2

=1

抛物线：到定点与定直线的距离相等的点的集合

y=ax2+bx+c

a/2为焦准距

2.旋转曲面

旋转曲面的母线C的方程：

{

f(y,z)=0

x=0

旋转轴为 y轴，那么形成的旋转曲面的方程就是：

将f(y,z)=0中的z换成√x2+z2即可

3.二次曲面

定义：三元二次方程表示的曲面

球面一般方程

圆的方程

x2+y2=r2

x2+y2+z2=r2

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2球面的标准方程

x2+y2+z2=R2

椭球面的一般方程

x2 + y2+z2=R2

2

R2+

y2

R2

+

z2

R2

=1

既然是椭球面，肯定是不对称的就有了椭球面的一般方程

x2 a2+

y2

b2

+

z2

c2

=1

当a、b、c中有任意两个相等时，就变成了旋转曲面（即可以通过某一平面曲线旋转而成的曲面），因此就有了：

椭球面的标准方程

x2 a2+

y2+z2

b2

=1

圆锥面

x2 a2+

y2

a2

=z2

再特殊点，圆锥面方程就成了x2+y2−z2=0椭圆锥面

x2 a2+

y2

b2

=z2

椭圆抛物面

x2 a2+

y2

b2

=z

x2 a2+

y2

b2

=−z

双曲抛物面

x2 a2−

y2

b2

=z

单叶双曲面

x2 a2+

y2

b2

−

z2

c2

=1

Figure 1单叶双曲面双叶双曲面

x2 a2−

y2

b2

−

z2

c2

=1

Figure 2双叶双曲面

1.1.5 空间曲线

1.定义：两空间曲面相交形成的曲线。一般式：

{

F(x,y,z)=0

G(x,y,z)=0参数式：

{x=x(t) y=y(t) z=z(t)

参数式举例：

{x=a sinθ

y=a cosθ

z=bθ

表示螺旋线

2. 空间曲线在坐标面上的投影

空间曲线C

{

F(x,y,z)=0

G(x,y,z)=0

消去z可得

H(x,y)=0

它表示一个面（与z无关），什么面呢？母线平行于z 轴，准线为空间曲线C 的面，是空间曲线C 关于xoy平面的投影柱面，而投影柱面与xoy平面的交线成为曲线C 在xoy平面上的投影。因此：

H(x,y)=0必定包含投影柱面

{

H(x,y)=0

z=0

必定包含曲线C 在xoy平面上的投影

3.投影是一个区域，可以用点的集合来表示。

例如：{(x,y,0)|x2+y2≤1}表示以圆x2+y2=1为边界的区域的点的集合