不等式证明的基本方法 经典例题透析

经典例题透析
类型一：比较法证明不等式
1、用作差比较法证明下列不等式：
（1）；
（2）(a，b均为正数，且a≠b)
思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。

证明：
（1）
当且仅当a=b=c时等号成立，
（当且仅当a=b=c取等号）.
（2）
∵a>0, b>0, a≠b,
∴a+b>0, (a-b)2>0,
∴，
∴.
总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。

举一反三：
【变式1】证明下列不等式：
(1)a2+b2+2≥2(a+b)
(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)
(3)a2+b2≥ab+a+b-1
【答案】
（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0
∴a2+b2+2≥2(a+b)
（2）证法同（1）
（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1
【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2
【答案】
ax2+by2-(ax+by)2
=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy
=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy
=ab(x-y)2≥0
∴ax2+by2≥(ax+by)2
2、用作商比较法证明下列不等式：
（1）(a，b均为正实数，且a≠b)
（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）
证明：
（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.
∴，
∵a, b为不等正数，∴，∴
∴
（2）证明：
不妨设a>b>c，则
∴
所以，
总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1
结论。

举一反三：
【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b<ab
【答案】
∵a>2，b>2
∴
∴
∴
【变式2】已知a，b均为正实数，求证：a a b b≥a b b a
【答案】
∵a>0, b>0, ∴a a b b与a b b a均为正，
∴，
分类讨论可知（分a>b>0, a=b>0, 0<a<b）
，当且仅当a=b等号成立，
∴a a b b≥a b b a.
类型二：综合法证明不等式
3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc
证明：
法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，
同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc
∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，
三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
法二：∵a，b，c是不全相等的正数，
∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，
由三个数的平均不等式得：
a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)
∴不等式成立.
总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。

举一反三：
【变式1】a , b, m∈R+，且a<b，求证：.
【答案】
∵0<a<b, m>0, ∴am<bm,
∴am+ab<bm+ab, 即a(b+m)<b(a+m),
∵b+m>0, ∴.
【变式2】求证lg9·lg11<1.
【答案】
∵lg9>0, lg11>0,
∴,
∴, ∴lg9·lg11<1.
4、若a>b>0，求证：.
思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.
证明：，
∵a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ,
∴,
∴（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）
举一反三：
【变式】x, y,z∈R+, 求证：
证明：∵x, y,z∈R+,∴,
同理，
∴,
∴
类型三：分析法证明不等式
5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：
证明：要证，
只需证：
即证：，a2-2ac+c2<c2-ab，即证a2+ab<2ac，
∵a>0，只需证a+b<2c
∵已知上式成立，∴原不等式成立。

总结升华：
1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的
问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。

2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。

3．基本思路：执果索因
4. 格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

举一反三：
【变式1】求证：a3+b3>a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)
【答案】
要证a3+b3>a2b+ab2，即证(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)
∵a，b∈，∴a+b>0
只需证a2+b2-ab≥ab，只需证a2+b2≥2ab
只需证(a-b)2≥0，
∵(a-b)2≥0显然成立
所以原不等式成立。

【变式2】a , b, m∈R+，且a<b，求证：.
【答案】
∵b>0且b+m>0,
∴
，∴成立
∴.
【变式3】求证：
【答案】
要证，只需证，只需证，只需证，而显然成立，所以原不等式得证。

【变式4】若a>1，b>1，c>1，ab=10求证：log a c+log b c≥4lgc
【答案】
要证log a c+log b c≥4lgc，只需证
只需证，只需证
∵，
∴成立
所以原不等式成立
【变式5】设x>0，y>0，x≠y，求证：
证明：要证，只需证
只需证
只需证
因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立
所以
类型四：反证法证明不等式
6、已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。

思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。

证明：假设原结论不成立，即，
则三式相乘有：……①
又∵0<a,b,c<1, ∴.
同理有：，
以上三式相乘得，这与①矛盾，
∴假设错误，原结论成立。

总结升华：反证法的基本思路是：“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。

由于本题题目
的结论是：三个数中“至少有一个不大于”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组
成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于”，结构简单明了，为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。

举一反三：
【变式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0
【答案】
假设a≤0
若a<0，∵abc>0，∴bc<0
又由a+b+c>0，则b+c>-a>0
∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 ，与题设矛盾
若a=0，则与abc>0矛盾，
∴必有a>0
同理可证：b>0，c>0
类型五：放缩法证明不等式
7、若a,b,c,d R+，求证：
思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。

证明：记
∵a,b,c,d R+，
∴
∴1<m<2，即原式成立。

总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即进行放缩。

常用的放缩技巧主要有：
①f(x)为增函数，则f(x-1)<f(x)<f(x+1)；
②分式放缩如；
③根式放缩如
举一反三：
【变式1】求证：
【答案】
∴
【变式2】当n>2时，求证：log n(n-1)log n(n+1)<1
【答案】
∵n>2，∴log n(n-1)>0，log n(n+1)>0
∴
∴n>2时，log n(n-1)log n(n+1)<1
类型六：其他证明不等式的方法
1. 构造函数法
8、已知a>2，b>2，求证：a+b<ab
证明：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b，
∵1-b<0，∴f(a)是减函数
当a>2时，f(a)<f(2)=2-b<0
∴a+b<ab
总结升华：不等式证明方法很灵活。

分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。

举一反三：
【变式】已知a≥3，求证：。

【答案】
令（x≥0).
∵f(x)在x∈[0,+∞)上是递减函数，∴f(a-1)<f(a-3),
故。

2、三角换元法：
9、求证：
证明：∵-1≤x≤1，∴令x=cos,[0,π]，则
∵-1≤sin≤1，
10、若x2+y2≤1，求证：
证明：设
则
11、若x>1，y>1，求证：
证明：设
则
12、已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：
证明：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设
则
总结升华：
①若0≤x≤1，则可令
②若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)
③若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)
④若x≥1，则可令，若x R，则可令
举一反三：
【变式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd 【答案】
∵x2=a2+b2，∴不妨设
∵y2=c2+d2，∴不妨设
∴
∴xy≥ac+bd
【变式2】已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：
【答案】
由x>0,y>0，2x+y=1，可设
则
类型六：一题多证
13、若a>0，b>0，求证：
思路点拨：由于a>0，b>0，所以求证的不等式两边的值都大于零，本题用作差法，作商法和综合法，分析法给出证明。

证明：
证法一：作差法
∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0
∴，得证。

证法二：作商法
∵a>0,b>0,∴a+b>0，
∴得证。

证法三：分析法
要证，只需证a3+b3≥(a+b)ab
只需证(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)ab(∵a+b>0)
只需证a2-ab+b2≥ab
只需证(a-b)2≥0
∵(a-b)2≥0成立，∴得证
证法四：综合法
∵a>0,b>0，
∴同向不等式相加得：
举一反三：
【变式】已知都是实数，且求证：【答案】
证法一：
，
同理
即.
证法二：
证法三：
要证，只需证
只需证
所以原不等式成立.
证法四：
原不等式等价于不等式
用比较法证明且
又
所以即
证法五：
故可考虑用三角换元法. 设
则
证法六：
用向量的数量积来证明
设，。