不等式证明的基本方法 经典例题透析

经典例题透析

类型一：比较法证明不等式

1、用作差比较法证明下列不等式：

（1）；

（2）(a，b均为正数，且a≠b)

思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。

证明：

（1）

当且仅当a=b=c时等号成立，

（当且仅当a=b=c取等号）.

（2）

∵a>0, b>0, a≠b,

∴a+b>0, (a-b)2>0,

∴，

∴.

总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。

举一反三：

【变式1】证明下列不等式：

(1)a2+b2+2≥2(a+b)

(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)

(3)a2+b2≥ab+a+b-1

【答案】

（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0

∴a2+b2+2≥2(a+b)

（2）证法同（1）

（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1

【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2

【答案】

ax2+by2-(ax+by)2

=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy

=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy

=ab(x-y)2≥0

∴ax2+by2≥(ax+by)2

2、用作商比较法证明下列不等式：

（1）(a，b均为正实数，且a≠b)

（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）

证明：

（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.

∴，

∵a, b为不等正数，∴，∴

∴

（2）证明：

不妨设a>b>c，则

∴

所以，

总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1

结论。

举一反三：

【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b

【答案】

∵a>2，b>2

∴

∴

∴

【变式2】已知a，b均为正实数，求证：a a b b≥a b b a

【答案】

∵a>0, b>0, ∴a a b b与a b b a均为正，

∴，

分类讨论可知（分a>b>0, a=b>0, 0

，当且仅当a=b等号成立，

∴a a b b≥a b b a.

类型二：综合法证明不等式

3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

证明：

法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，

同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc

∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，

三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.

法二：∵a，b，c是不全相等的正数，

∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，

由三个数的平均不等式得：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)

∴不等式成立.

总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。

举一反三：

【变式1】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵00, ∴am

∴am+ab

∵b+m>0, ∴.

【变式2】求证lg9·lg11<1.

【答案】

∵lg9>0, lg11>0,

∴,

∴, ∴lg9·lg11<1.

4、若a>b>0，求证：.

思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.

证明：，

∵a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ,

∴,

∴（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）

举一反三：

【变式】x, y,z∈R+, 求证：

证明：∵x, y,z∈R+,∴,

同理，

∴,

∴

类型三：分析法证明不等式

5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：

证明：要证，

只需证：

即证：，a2-2ac+c2

∵a>0，只需证a+b<2c

∵已知上式成立，∴原不等式成立。

总结升华：

1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的

问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。

2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。

3．基本思路：执果索因

4. 格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

举一反三：

【变式1】求证：a3+b3>a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)

【答案】

要证a3+b3>a2b+ab2，即证(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)

∵a，b∈，∴a+b>0

只需证a2+b2-ab≥ab，只需证a2+b2≥2ab

只需证(a-b)2≥0，

∵(a-b)2≥0显然成立

所以原不等式成立。