大一高等数学第四章不定积分习题

x2
C3 ,
x 1
又 F ( x)须处处连续，有
lim ( x
x1
C2 )
lim (
x1
1 2
x2
C1 )
即
1
C2
1 2
C1
,
1 lim ( 2 x1
x2
C3 )
lim ( x
x1
C2 )
即
1 2
C3
1
C2
,
联立并令 C1 C,
可得
C2
1＋C , 2
C3 1 C.
1 2
x2
C,
x 1
故
max{1,
原式 arctan xd[1 (`1 x2 ) ln(1 x2 ) 1 x2 ]
2
2
1 [(`1 x2 ) ln(1 x2 ) x2 ]arctan x 2
1 [ln(1 x2 )
x2 ]dx
2
1 x2
1 arctan x[(`1 x2 )ln(1 x2 ) x2 3] 2
cos
x
1 1
u2 u2
dx
1
2 u2
du
R(sin
x,cos
x)dx
R
1
2u u2
,1 1
u2 u2
1
2 u2
du
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
解决方法：作代换去掉根号．
令t n ax b;
令t n ax b; cx e
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x) 在区间I 内的不定积分，记
为 f ( x)dx ．
f ( x)dx F( x) C
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
x
}dx
x 1 C, 2
1 x 1.
1 2
x2
1
C,
x 1
测验题
一、选择题：
1、设F1( x) , F2( x)是区间I 内连续函数 f ( x)的两个不 同的原函数，且 f ( x) 0 ,则在区间I 内必有（ ）
（A） F1( x) F2( x) C ； （B） F1( x) F2( x) C ； （C） F1( x) CF2 ( x)； （D） F1( x) F2 ( x) C .
2、若F '( x) f ( x) , 则 dF( x) =（ ）
（A） f ( x)；
（B） F ( x) ；
（C） f ( x) C ； （D） F ( x) C .
3、 f ( x)在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的
t
7、分部积分法
uvdx uv uvdx
udv uv vdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数；
I----反三角函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
(2x p)dx ( x2 px q)n
(
N x2
Mp 2
px
q)n
dx
此两积分都可积,后者有递推公式
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
2u sin x 1 u2
x 2arctan u
d dx
f
( x)dx
f
(x)
d[ f (x)dx] f (x)dx
F( x)dx F( x) C dF( x) F( x) C
(3) 不定积分的性质
10 [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx 20 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
f (1)
4.
x x2
dx;
6. f (a x )a xdx;
7. f (tan x)sec2 xdx; 8. f (arctan x) dx; 1 x2
6、第二类换元法
定理 设 x (t )是单调的、可导的函数，并 且 (t ) 0 ，又设 f [ (t )] (t ) 具有原函数，
则有换元公式
x 1 C.
2
2 x1
例9
求
x 1
sin cos
x x
dx.
xx
x 2 sin cos
解 原式
2 2dx 2 cos2 x
2
x 2 cos2
xdx
tan
xdx 2
2
x
tan
x 2
Байду номын сангаас
tan
xdx 2
tan
xdx 2
x tan x C. 2
例10
求
f ( x) f 2 ( x) f ( x)
x
3 ln(1
x
e6 )
3 ln(1
x
e3)
x
3 arctan e 6
C.
2
例6 求 x arctan x ln(1 x2 )dx.
解 x ln(1 x2 )dx 1 ln(1 x2 )d(1 x2 ) 2
1 (1 x2 ) ln(1 x2 ) 1 x2 C.
2
2
(23)
(18) sec xdx ln(sec x tan x) C
(24)
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C
1
x
dx arcsin C
a2 x2
a
1 dx
x2 a2
ln( x x 2 a 2 ) C
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x ) 第二类换元公式
其中 ( x)是x (t)的反函数.
常用代换:
1.x (at b) , R.
2.三角函数代换 如f ( x) a2 x2 , 令x a sin t. 3.双曲函数代换 如f ( x) a2 x2 , 令x asht. 4.倒置代换 令x 1.
5、第一类换元法
定理 1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)]( x)dx [ f (u)du]u( x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1. f ( xn1 )xndx;
3. f (ln x) dx; x
5. f (sin x)cos xdx;
2. f ( x ) dx; x
[
f ( x)
f 3 ( x) ]dx.
解
原式
f ( x) f 2 ( x) f 2 ( x) f ( x)
f 3(x)
dx
f (x) f ( x)
f 2( x) f ( x) f ( x)
f 2(x)
dx
f (x) d[ f ( x)
f (x) ] f ( x)
1 [ f ( x) ]2 C. 2 f ( x)
四种类型分式的不定积分
1.
Adx Aln x a C; 2. xa
Adx (x a)n
A (1 n)( x a)n1
C;
3.
Mx N x2 px
dx q
M 2
ln
x2
px
q
N
Mp 2
arctan
x
p 2
C;
q
p2 4
q
p2 4
Mx N
M
4. ( x2 px q)n dx 2
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
1、原函数
定义 如果在区间I 内，可导函数F ( x) 的导函数为 f ( x) ， 即 x I ， 都 有 F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx ，那么函数F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数. 原函数存在定理 如果函数 f ( x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F ( x) ，使x I ，都有 F ( x) f ( x).
x2 1
1
arcsin C.
x
x
例5 求
dx
x
x
x.
1 e2 e3 e6
x
解 令 e6 t,
x 6 ln t, dx 6 dt,
t
原式
1
t3
1
t2
t
6 dt t
6
t
(1
t
)(1
t
2
dt )
设
6
A B Ct D
t(1 t)(1 t 2 ) t t 1 1 t 2
2 [ln( x
3
1 x 2 ) 5]2 C .
3
例4 求 x 1 dx.
x2 x2 1
解 令x 1 ,
t
(倒代换)
1
原式
1
1 t (1)2
( 1
1 t2
)dt
1 t dt
1 t2
t2 t
1 dt d(1 t 2 ) arcsin t
1 t2
2 1 t2
1 t2 C
二、典型例题
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
解
原式
(3)x
2 ( 3)2 x
dx 1
1 ln 3
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
ln 3 2
dt t2 1
2
1 ln
3
( t
1 1
t
1 )dt 1
1
ln t
2(ln 3 ln 2) t
1 1
C
2
1
3x 2x
2
2
d
(e
x
tan
x) 2
e x tan x C. 2
例3 求
ln( x 1 x2 ) 5 dx.
1 x2
解 [ln( x 1 x2 ) 5]
1
(1 2x ) 1 ,
x 1 x2
2 1 x2
1 x2
原式 ln( x 1 x2 ) 5 d[ln( x 1 x2 ) 5]
例8 求
dx
.
3 ( x 1)2 ( x 1)4
解 3 ( x 1)2 ( x 1)4 3 ( x 1)4 ( x 1)2 . x1
令 t x 1, x1
则有
dt
(
x
2 1)2
dx,
原式
dx
1
4
t 3dt
3 ( x 1)4 ( x 1)2 2
x1
3
1
t3
C
3 3
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
P(x) Q( x)
a0 x n a1 x n1 b0 x m b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 , , an 及 b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(5)
1
1
dx x2
arcsin
x
C
(11) csc x cot xdx csc x C
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a
2dx
1 2a
ln
x x
a a
C
(22)
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17) cot xdx lnsin x C
6 A(1 t)(1 t 2 ) Bt(1 t 2 ) (Ct D)t(t 1)
解得 A 6, B 3, C 3, D 3.
原式
(6 t
1
3
t
3t 1 t
3 2 )dt
6 ln t 3 ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3 arctan t C 2
例11 求 max{1, x }dx.
解 设 f ( x) max{1, x },
x, x 1
则
f
(
x)
1 , 1 x 1,
x , x 1
f ( x)在(,)上连续, 则必存在原函数 F ( x).
1 2
x2
C1 ,
x 1
F
(
x)
x C2,
1 x 1.
1 2
x ln(1 x2 ) x C.
2
2
例7
求
dx
x(2
x
10
. )
解
原式
x9dx 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
1 [ln x10 ln( x10 2)] C 20
1 ln x 1 ln( x10 2) C .
2
20
3、基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数) (7) sin xdx cos x C
(2)
x dx
x 1
1
C
( 1) (8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C
(3)
dx x
ln
x
C
(9)
dx sin2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(4)
1
1 x
2
dx
arctan x
ln
C.
2(ln 3 ln 2) 3x 2x
例2
求
e
x (1 sin x 1 cos x
)
dx.
e x (1 2 sin x cos x)
解 原式
2 2 dx 2 cos2 x
2
(e x
1
e
x
tan
x )dx
2 cos2 x
2
2
[(e xd(tan x) tan x de x ]